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        論數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2021-02-22 21:03:51何賢慶
        科教創(chuàng)新與實踐 2021年45期
        關(guān)鍵詞:數(shù)軸交點代數(shù)

        何賢慶

        數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,數(shù)形分家萬事休.” 可見數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義。

        首先,“數(shù)形結(jié)合”能更好幫助學(xué)生對所學(xué)知識的掌握與記憶。

        例如:在研究函數(shù)時,可以利用函數(shù)圖形來記憶有關(guān)函數(shù)的知識點.

        其次,應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維.

        第三,數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

        第四,應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

        體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中, 包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面.此外還應(yīng)該注意體會“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性,相互補充.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合對啟發(fā)思路,理解題意,分析思考,判斷反饋都有著重要的作用.

        一、 “以形助數(shù)”思想的應(yīng)用

        幾何圖形具有直觀易懂的特點,所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時,更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”,利用幾何圖形解決代數(shù)問題,常常會產(chǎn)生“出奇制勝”的效果,使人愉悅.幾何直觀運用于代數(shù)主要有以下幾個方面:

        利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義,通過構(gòu)造幾何圖形,依靠直觀幫助解決代數(shù)問題,或者簡化代數(shù)運算.比如:

        絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點之間的距離;

        數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點的左右關(guān)系,可以用數(shù)軸上的線段表示實數(shù)的取值范圍;互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱(更一般地:實數(shù)a與b在數(shù)軸上關(guān)于對稱,換句話說,數(shù)軸上實數(shù)a關(guān)于b的對稱點為2b-a);

        利用函數(shù)圖像的特點把握函數(shù)的性質(zhì):一次函數(shù)的斜率(傾斜程度)、二次函數(shù)的對稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離,等等;

        一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與x軸的交點;

        函數(shù)解析式中常數(shù)項的幾何意義是函數(shù)圖像與y軸的交點(函數(shù)在x=0時有意義);

        銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例.

        例1.已知拋物線y=2x2+x-2m+1與x軸的兩個交點,在原點的兩側(cè),則m的取值范圍是( )

        A m> B m<

        C m>- D m>

        【分析】按常規(guī),此題要用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組解之,若用數(shù)形結(jié)合的方法,先畫出拋物線y=2x2+x-2m+1的草圖,易知當(dāng)x=0時,y<0,因此,只要解不等式-2m+1<0即可,即m>,故選A

        例2.設(shè)方程|x2-1|=k+1,試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況.

        【分析】我們可把這個問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1的圖像(圖4)交點個數(shù)的情況,因函數(shù)y2=k+1表示平行于x軸的所有直線,從圖像可以直觀看出 :

        ①當(dāng)k<-1時,y1與y2沒有交點,這時原方程無解;

        ②當(dāng)k=-1時,y1與y2有兩個交點,原方程有兩個不同的解;

        ③當(dāng)-1

        ④當(dāng)k=0時,y1與y2有三個交點,原方程不同解的個數(shù)有三個;

        ⑤當(dāng)k>0時y1與y2有兩個交點,原方程不同解的個數(shù)有三個。

        二、“以數(shù)輔形”思想的應(yīng)用

        要在解題中有效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”,最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點,從“以數(shù)助形”角度來看,主要有以下兩個結(jié)合點:(1)利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化;(2)利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題,例如:利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等.

        例3. 某游客為爬上3千米高的山頂看日出,先用1小時爬了2千米,休息0.5小時后,再用1小時爬上山頂,游客爬山所用時間t(小時)與山高h(yuǎn)(千米)之間函數(shù)關(guān)系用圖象表示是( )

        【說明】建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問題,有時可以避免添加輔助線(這是平面幾何的一大難點).

        從以上例子可以看出,利用“數(shù)形結(jié)合”可以使數(shù)學(xué)問題簡單化、具體化,使復(fù)雜問題輕而易舉得以解決。在數(shù)形結(jié)合時,既要進(jìn)行幾何直觀的分析,又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索,兩方面相輔相成,僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析(或僅對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的.找到解題思路之后,至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程,則取決于哪種方法更為簡單.

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