何賢慶

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分家萬(wàn)事休.” 可見數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義。

首先，“數(shù)形結(jié)合”能更好幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握與記憶。

例如：在研究函數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)圖形來(lái)記憶有關(guān)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn).

其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維.

第三，數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中， 包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面.此外還應(yīng)該注意體會(huì)“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢(shì)與局限性，相互補(bǔ)充.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用.

一、 “以形助數(shù)”思想的應(yīng)用

幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅.幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：

利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算.比如：

絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離;

數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍;互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（更一般地：實(shí)數(shù)a與b在數(shù)軸上關(guān)于對(duì)稱，換句話說(shuō)，數(shù)軸上實(shí)數(shù)a關(guān)于b的對(duì)稱點(diǎn)為2b-a）;

利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離，等等;

一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn);

函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義是函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)（函數(shù)在x=0時(shí)有意義）;

銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例.

例1.已知拋物線y=2x2+x-2m+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，在原點(diǎn)的兩側(cè)，則m的取值范圍是（ ）

A m> B m<

C m>- D m>

【分析】按常規(guī)，此題要用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組解之，若用數(shù)形結(jié)合的方法，先畫出拋物線y=2x2+x-2m+1的草圖，易知當(dāng)x=0時(shí)，y<0，因此，只要解不等式-2m+1<0即可，即m>，故選A

例2.設(shè)方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況.

【分析】我們可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1的圖像（圖4）交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)y2=k+1表示平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出 ：

①當(dāng)k<-1時(shí)，y1與y2沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無(wú)解;

②當(dāng)k=-1時(shí)，y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解;

③當(dāng)-1

④當(dāng)k=0時(shí)，y1與y2有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè);

⑤當(dāng)k>0時(shí)y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)。

二、“以數(shù)輔形”思想的應(yīng)用

要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來(lái)看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題代數(shù)化;（2）利用面積、距離、角度等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等.

例3. 某游客為爬上3千米高的山頂看日出，先用1小時(shí)爬了2千米，休息0.5小時(shí)后，再用1小時(shí)爬上山頂，游客爬山所用時(shí)間t（小時(shí)）與山高h(yuǎn)（千米）之間函數(shù)關(guān)系用圖象表示是（ ）

【說(shuō)明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問(wèn)題，有時(shí)可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點(diǎn)）.

從以上例子可以看出，利用“數(shù)形結(jié)合”可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，使復(fù)雜問(wèn)題輕而易舉得以解決。在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析（或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時(shí)候是很難行得通的.找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來(lái)敘述解題過(guò)程，則取決于哪種方法更為簡(jiǎn)單.