廖竹珍 劉熙 陳紹雄

【摘要】近年來，教育界對云南省各個地區(qū)會出現(xiàn)的有關(guān)二次函數(shù)的中考考點及解題方法的研究太過寬泛，而中學(xué)生的時間有限，如果想要掌握全部的二次函數(shù)考點，就顯得很困難.因此本文主要研究并歸納總結(jié)出云南省中考中二次函數(shù)的?？伎键c及解題方法，避免了題型的雜糅和繁多.但由于篇幅的限制，本文對于選擇題與填空題著重分析綜合考查二次函數(shù)性質(zhì)的題，對于解答題著重分析面積最大值問題、和差倍分問題以及等腰三角形問題.

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);二次函數(shù);解題方法

【基金項目】2018 年云南師范大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練基金項目（ky2018-100）

一、考點及解題方法

1.與一元二次方程聯(lián)系起來考查.

一元二次方程的根的情況和二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況可以相互確定.當(dāng)一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根時，相對應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)為2;當(dāng)有兩個相同的實數(shù)根時，相對應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)為1;當(dāng)無實數(shù)根時，相對應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)為0.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖像與字母系數(shù)的關(guān)系.

①a，b，c符號判斷.

a：看圖像的開口方向，若圖像開口向上，則a>0;若圖像開口向下，則a<0;

b：看圖像的對稱軸，確定-b2a的符號，再根據(jù)a的符號確定b的符號;

c：看圖像與y軸的交點，若圖像交于y軸的正半軸，則c>0;若交于負(fù)半軸，則c<0.

②a，b，c都含有的代數(shù)式.

取x的特殊值代入解析式得相應(yīng)函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)圖像上相應(yīng)的點確定和a，b，c有關(guān)的代數(shù)式的符號.例如：a+b+c的符號由x=1時的函數(shù)值大小確定;a-b+c的符號由x=-1時的函數(shù)值大小確定.

③僅含有a與b或b與c或a與c的代數(shù)式.

含a與b的代數(shù)式：直接由對稱軸確定;

含b與c或a與c的代數(shù)式：結(jié)合含有a，b，c的代數(shù)式和只含有a，b的代數(shù)式進行簡單運算即可得出答案;

④b2-4ac的判斷：看圖像與x軸交點的個數(shù);

⑤出現(xiàn)am2+bm：利用函數(shù)有最大或最小值進行判斷.

3.根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像判斷函數(shù)的增減性.

當(dāng)a>0時，在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-b2a時，y隨x的增大而減小;在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>-b2a時，y隨x的增大而增大，簡記為左減右增;同理可得當(dāng)a<0時函數(shù)的增減性.

4.求函數(shù)的解析式.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

①已知圖像上三個點的坐標(biāo)，通常選擇一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）;②已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0）;③已知圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)x1，x2，通常選擇交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

5.求頂點坐標(biāo).

方法一：將二次函數(shù)化為頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），則頂點為（h，k）.方法二：利用頂點坐標(biāo)公式-b2a，4ac-b24a直接求解.

6.面積的最大值問題.

方法：三角形面積的最大值：①當(dāng)一邊固定兩邊動時，先利用兩點間的距離公式 （x1-x2）2+（y1-y2）2求出定線段的長度，然后求出動點到該定直線的最大距離，最后利用三角形的面積公式即可求出三角形面積的最大值.②當(dāng)三邊均動時，先把動三角形割或補成幾個易求面積的圖形，進而可表示出動三角形的面積為一個二次函數(shù)關(guān)系式，問題即可解決.

四邊形（由一個動點和三個定點構(gòu)成）面積的最大值：把動四邊形分割成兩個易求面積的圖形之和，然后使構(gòu)成四邊形的各個圖形的面積之和達到最大，此時四邊形的面積就最大.

7.兩個圖形面積之間存在和差倍分的問題.

先把動點坐標(biāo)用一個字母表示，再計算出圖形的面積，然后根據(jù)題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，最后求解.

8.對于等腰三角形問題.

方法一：先借助圖像的解析式，用一個字母表示出動點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式，再根據(jù)兩腰相等建立方程，解出此方程，即可求出動點的坐標(biāo)，注意去掉不能構(gòu)成三角形的點.

方法二：當(dāng)已知邊為等腰三角形的底邊時，利用線段的中垂線的性質(zhì)，作出已知線段的中垂線，求出中垂線的方程，則所求點為中垂線與動點所在曲線或直線的交點;當(dāng)已知邊為等腰三角形的腰時，分別以已知線段的兩個端點為圓心、已知線段長為半徑畫圓，則圓與所求點所在圖形的交點即為所求點，最后根據(jù)幾何關(guān)系及二次函數(shù)的對稱性，得到點的對稱性，進而求解得出點的坐標(biāo).

例1 （2013云南昭通第9題3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（? ）.

A.a>0

B.3是方程ax2+bx+c=0的一個根

C.a+b+c=0

D.當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小

分析 此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系;二次函數(shù)圖像與字母系數(shù)的關(guān)系;函數(shù)的增減性.圖像開口向下，a<0，故A選項錯誤.圖像與x軸有兩個交點，則方程存在兩個不同的根，由對稱性得-1，3是方程的根，故B選項正確.x=1時，函數(shù)值為a+b+c，由圖像知點（1，a+b+c）在x軸上方，所以a+b+c>0，故C選項錯誤.由圖像知，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大，故D選項錯誤.故選B.

在選擇題和填空題中還會單獨考查二次函數(shù)的其中一種性質(zhì)，可以利用上述方法進行解答.除了會考查上述考點外，還會考查二次函數(shù)的最值問題、利用二次函數(shù)求未知量的關(guān)系式等，同學(xué)們可適當(dāng)練習(xí)相關(guān)題目，熟悉解題思路，總結(jié)其他方法，進而提高解題能力.

二次函數(shù)以解答題的形式出現(xiàn)時，在第一問一般主要考查二次函數(shù)的解析式、某些點的坐標(biāo)以及直線的解析式等;在后面幾問主要考查圖形（包括三角形、四邊形等）的面積的最值、圖形面積的和差倍分問題、等腰三角形問題等.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點P從點A出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.問：當(dāng)△PBQ存在時，運動多少秒時，△PBQ的面積最大？最大面積是多少？

解 （1）把點A（-2，0），B（4，0）分別代入y=ax2+bx-3（a≠0），得

4a-2b-3=0，16a+4b-3=0，

解得a=38，b=-34，所以拋物線的解析式為y=38x2-34x-3.

（2）設(shè)運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t，∴PB=6-3t.由題知，點C的坐標(biāo)為（0，-3）.

在Rt△OBC中，由勾股定理得BC= 32+42=5.如圖2，過點Q作QH⊥AB于點H，則QH∥OC，∴△HBQ∽△OBC，∴HQOC=BQBC，即HQ3=t5，∴HQ=35t.

根據(jù)三角形的面積公式得：

S△PBQ=12PB·HQ=12（6-3t）·35t=-910t2+95t=-910（t-1）2+910.

當(dāng)△PBQ存在時，0

解答題中除了會考查上述類型外，還會考查拋物線上的動點與定點是否構(gòu)成直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形等，是否存在相似三角形，題中給出圖形面積的定值求相關(guān)點的坐標(biāo)或線段長等，題目綜合性強，難度大.同學(xué)們應(yīng)注重基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握，基本思想的感悟、基本做題經(jīng)驗的積累，掌握多方面的知識、技能和方法，以高效解決問題.

二、學(xué)習(xí)建議

學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中，首先應(yīng)該掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識（如定義、性質(zhì)等），在做題過程中注意積累解題方法和技巧;其次，在考試中學(xué)會把未知問題轉(zhuǎn)化為已知會求解的問題，充分利用二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)求解，同時在做題過程中要學(xué)會利用條件以及注意細(xì)節(jié)，減少不必要的失誤;最后，收集二次函數(shù)的錯題并整理成冊，每個月留出時間溫故.

【參考文獻】

[1]武澤濤.中考試題研究·數(shù)學(xué)[M].新疆：新疆青少年出版社，2019.

[2]安梅.中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題常見題型及解題策略研究：以畢節(jié)市中考數(shù)學(xué)試題為例[D].貴陽：貴州師范大學(xué)，2019.

[3]胡寶新.分析中考數(shù)學(xué)壓軸題，展望2014年的命題趨勢：云南省及地州市近4年中考數(shù)學(xué)壓軸題[J].考試周刊，2014（38）：6-7.

[4]劉金英.2009年中考數(shù)學(xué)試題分類解析（十一）：綜合應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2010（01）：90-96.