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        例說(shuō)分類討論思想在解題中的一些應(yīng)用(一)

        2021-02-21 08:36:33陳顯華
        關(guān)鍵詞:分類討論思想解題應(yīng)用

        陳顯華

        【摘要】分類討論,又稱分情況討論,當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在一定的題設(shè)下,其結(jié)論并不唯一時(shí),我們就需要對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行必要的分類.將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況,在每一種情況中分別求解,最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合,這種研究問(wèn)題的思想方法就是“分類討論的思想方法”.分類討論法是根據(jù)問(wèn)題的不同情況分類求解,它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法,所以它是極為重要的思想方法.

        【關(guān)鍵詞】分類討論思想;解題;應(yīng)用

        一、用分類討論思想求數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)

        例1 點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長(zhǎng)度,將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是.

        解 當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸正半軸上時(shí),點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長(zhǎng)度,將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是0;當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸負(fù)半軸上時(shí),點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長(zhǎng)度,將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是-6.

        綜上所述,點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長(zhǎng)度,將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是0或-6.

        二、用分類討論思想求代數(shù)式的值

        例2 已知|a|=2,|b|=3,求a+b+2012的值.

        解 ∵|a|=2,|b|=3,

        ∴a=±2,b=±3.

        ∴當(dāng)a=2,b=3時(shí),a+b+2012=2+3+2012=2017;

        當(dāng)a=-2,b=-3時(shí),a+b+2012=-2+(-3)+2012=2007;

        當(dāng)a=2,b=-3時(shí),a+b+2012=2+(-3)+2012=2011;

        當(dāng)a=-2,b=3時(shí),a+b+2012=(-2)+3+2012=2013.

        綜上所述,已知|a|=2,|b|=3,式子a+b+2012的值為2017,或2007,或2011,或2013.

        三、用分類討論思想求盈利或虧損額

        例3 某商販在一次買賣中同時(shí)賣出兩件上衣,每件都以135元售出,若按成本計(jì)算,其中一件盈利25%,另一件虧本25%,則在這次買賣中,該商販(? ).

        A.不賠不賺? B.賺9元

        C.賠18元D.賺18元

        分析 有些學(xué)生由于受思維定式的影響(忽略了兩件衣服的進(jìn)價(jià)),錯(cuò)誤地認(rèn)為一件盈利25%,另一件虧本25%,盈利和虧本的百分?jǐn)?shù)相同,并且每件上衣都以135元售出,所以總的盈利、虧本情況一定是不賠不賺.

        解 設(shè)盈利25%的這件上衣的進(jìn)價(jià)為x元,則由

        135-x=25%x,得x=108.

        設(shè)虧本25%的這件上衣的進(jìn)價(jià)為y元,則由

        y-135=25%y,得y=180.

        ∴總售價(jià)-總進(jìn)價(jià) =135×2-(108+180)=-18(元).

        綜上所述,該商販賠了18元.故本題選C.

        四、 用分類討論思想求銳角三角函數(shù)值

        例4 已知sin α(α為銳角)是方程3x2-7x+2=0的實(shí)數(shù)根,求sin α的值.

        解 設(shè)一元二次方程3x2-7x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2,且x1

        ∵sin α(α為銳角)是方程3x2-7x+2=0的實(shí)數(shù)根,

        ∴sin α=13或sin α=2.

        當(dāng)α為銳角,sin α=13時(shí),這樣的α是存在的;

        當(dāng)α為銳角,sin α=2時(shí),這樣的α不存在,因?yàn)楫?dāng)α為銳角時(shí),0

        綜上所述,sin α(α為銳角)是方程3x2-7x+2=0的實(shí)數(shù)根時(shí),sin α的值只能等于13.

        五、用分類討論思想求線段的長(zhǎng)度

        例5 已知線段AB=10 cm,C是線段AB所在直線上的一點(diǎn),且BC=4 cm,M是線段AC的中點(diǎn),則線段AM的長(zhǎng)為.

        解 (1)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)(如圖1所示),

        ∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn),

        ∴AM=CM=12AC.

        又∵AB=10 cm,BC=4 cm,

        ∴AC=AB-BC=6 cm.

        ∴AM=3 cm.

        (2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2所示),

        ∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn),

        ∴AM=CM=12AC.

        又∵AB=10 cm,BC=4 cm,

        ∴AC=AB+BC=14 cm.

        ∴AM=7 cm.

        綜上所述,線段AM的長(zhǎng)為3 cm或7 cm,故填3 cm或7 cm.

        六、用分類討論思想求三角形的周長(zhǎng)

        例6 在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長(zhǎng)為(? ).

        A.42B.32

        C.42或32D.37或33

        解 如圖3所示,當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí),△ABC的周長(zhǎng)等于AB+AC+BC=15+13+(9+5)=42;

        如圖4所示,當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí),△ABC的周長(zhǎng)等于AB+AC+BC=15+13+(9-5)=32.

        綜上所述,△ABC的周長(zhǎng)為42或32.故本題選C.

        七、用分類討論思想求三角形內(nèi)角的度數(shù)

        例7 在△ABC中,AB=2,AC=2,∠B=30°,則∠BAC的度數(shù)是.

        解 如圖5所示,當(dāng)BC邊上的高在△ABC內(nèi)部時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D.

        根據(jù)AB=2,∠B=30°可得∠BAD=60°,AD=1.

        根據(jù)勾股定理可得CD=1,

        即△ADC為等腰直角三角形,所以∠DAC=45°,于是∠BAC=60°+45°=105°.

        如圖6所示,當(dāng)BC邊上的高在△ABC外部時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線BC,垂足為點(diǎn)D.

        因?yàn)椤螧AC+∠B=∠ACD,所以∠BAC=45°-30°=15°.

        綜上所述,在△ABC中,AB=2,AC=2,∠B=30°,則∠BAC的度數(shù)是105°或15°.

        例8 等腰三角形一條腰上的高與另一腰所成的夾角為45°,求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù).

        解 三角形的高的位置是由三角形的形狀所決定的.對(duì)于等腰三角形而言,當(dāng)頂角是銳角時(shí),腰上的高在三角形內(nèi)部;當(dāng)頂角是鈍角時(shí),腰上的高在三角形外部.所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行討論.

        如圖7所示,在△ABC中,AB=AC,∠A為銳角,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則∠ACD=45°,

        根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可知∠A=45°.

        如圖8所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC為鈍角,

        過(guò)點(diǎn)C作BA延長(zhǎng)線的垂線,垂足為D,

        則由題意知∠ACD=45°.根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可知∠CAD=45°,

        于是∠BAC=135°.

        綜上所述,等腰三角形一條腰上的高與另一腰所成的夾角為45°時(shí),這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為45°或135°.

        例9 等腰三角形的一條腰上的高與腰長(zhǎng)之比為1∶2,則該等腰三角形的頂角為.

        解 如圖9所示,在△ABC中,AB=AC,∠A為銳角,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.根據(jù)DCAC=12,可得sin A=DCAC=12,所以∠A=30°.

        如圖10所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC為鈍角,過(guò)點(diǎn)C作BA的延長(zhǎng)線的垂線,垂足為D.

        根據(jù)DCAC=12,

        可得sin∠DAC=DCAC=12,所以∠DAC=30°,于是∠BAC=150°.

        綜上所述,等腰三角形的一條腰上的高與腰長(zhǎng)之比為1∶2,則該等腰三角形的頂角為30°或150°.故填30°或150°.

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