郭森林 (福建經(jīng)貿(mào)學(xué)校，福建 泉州 362000)

弧度制是中職數(shù)學(xué)階段學(xué)習(xí)的一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念，《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年)》要求學(xué)生“了解1弧度的定義及弧度制；理解角度制與弧度制的互化，了解弧度制下的弧長公式和扇形面積公式”.教材上，弧度制定義出現(xiàn)得有些突兀，對應(yīng)的素材不夠豐富，對于教師和學(xué)生來說都是一個(gè)教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點(diǎn).但是，弧度制是學(xué)習(xí)三角函數(shù)必不可少的工具，對弧度制理解不夠透徹將會(huì)影響接下來的學(xué)習(xí)，也會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的心理障礙.因此，如何做好有效的教學(xué)設(shè)計(jì)是弧度制教學(xué)的一大難題.

一、弧度制教與學(xué)的現(xiàn)狀

在弧度制的教學(xué)方面，大部分教師在教學(xué)過程中都能夠注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)和以HPM視角來發(fā)掘數(shù)學(xué)史的教學(xué)價(jià)值，從而激發(fā)中職學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的課堂參與度.徐稼紅在2019年江蘇省高中青年教師優(yōu)秀課評比中指出：幾乎所有的選手對弧度制概念引入的必要性都缺乏具有說服力的解釋，這樣學(xué)生很難體驗(yàn)角度制與弧度制相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)價(jià)值.在中職數(shù)學(xué)弧度制課堂中，因?qū)W生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)積極性都較為欠缺，中職教師面臨的問題將更加棘手，對弧度制的教學(xué)設(shè)計(jì)更容易暴露出以下問題：直接拋出弧度制的概念然后進(jìn)入弧度與角度的轉(zhuǎn)換，對于缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)力的中職生來說，很難提起學(xué)習(xí)的興趣；未考慮學(xué)生的實(shí)際情況和接受能力，牽強(qiáng)引入各種學(xué)生聽不懂的數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程和案例，將相關(guān)史料以故事的形式作為課前導(dǎo)入，或者課中圖片展示，又或者課后史料補(bǔ)充，而且用時(shí)較多，這樣既有可能忽視“數(shù)學(xué)史”所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維方法，又因缺失了學(xué)生的主動(dòng)參與而影響了課堂效果，不利于學(xué)生對于弧度制概念的生成.

在弧度制的學(xué)習(xí)方面，對于三角函數(shù)這一章節(jié)的陌生增加了學(xué)生內(nèi)心的恐懼.具體到弧度制這節(jié)，學(xué)生不明白為什么要用弧度制來度量角的大小，他們已經(jīng)習(xí)慣了用角度制來度量；也不理解為什么要把180°轉(zhuǎn)換成一個(gè)無理數(shù)π，對學(xué)生來說，更能接受的是明確可知的數(shù)字180°，對無理數(shù)本身感到陌生和抗拒.

二、注重概念生成的教學(xué)設(shè)計(jì)

弧度制的教學(xué)應(yīng)該認(rèn)清知識點(diǎn)的本質(zhì)，不是先給出概念再來驗(yàn)證，而是要給出概念的生成過程，以學(xué)生的基礎(chǔ)為立足點(diǎn)來展開弧度制概念的教學(xué)，幫助學(xué)生深入理解弧度制的由來.

師：請同學(xué)們拿起尺子在紙上畫一個(gè)角，并觀察角是由什么組成的.

生：一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊.

師：請仔細(xì)觀察，角的大小跟兩條邊的長度有關(guān)嗎？

生：沒有關(guān)系，因?yàn)閮蓷l邊都是射線，而射線是可以無限延長的.

師：很好！因此，我們就不能以這兩條邊的長度來度量角的大小，那要怎么度量角的大小呢？

生：看兩條邊張開的大小.

師：我們怎么知道這個(gè)大小呢？下面同學(xué)們來回憶一下我們初中時(shí)是怎么定義1度角的.

師：很好，那我們怎么得到1度角呢？

生：畫一個(gè)圓，然后將圓周360等分，每一份所對的圓心角就是1度角了.

師：沒錯(cuò)，現(xiàn)在大家用圓規(guī)在紙上畫一個(gè)半徑為1 cm的圓，并將它的圓周360等分.

生：圓畫出來了，但是不知道怎么進(jìn)行360等分.

師：這么看來，我們并不容易畫出1度角.

生：可以借助量角器來畫.

師：沒錯(cuò).不過請大家思考一個(gè)問題：角和量角器哪個(gè)先出現(xiàn)的呢？

生：是角，因?yàn)榱拷瞧魇前l(fā)明出來測量角的.

師：沒錯(cuò)，那問題就來了，量角器誕生前我們是怎么測量角的呢？人類又是怎么制造出量角器的呢？

生：不知道.

師：大家先思考另一個(gè)問題：怎么測量圓的面積？

生：不能測量，是用圓的面積公式計(jì)算出來的.

師：我們需要知道什么數(shù)值才能計(jì)算呢？

生：半徑的長度.

師：沒錯(cuò)，半徑的長度我們很容易測量出來.那角的大小能不能也像面積一樣借助半徑的長度來度量呢？

(學(xué)生陷入沉思)

師：接下來請同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的漆包線進(jìn)行裁剪，同一個(gè)小組內(nèi)的成員的漆包線長度各不相同.每個(gè)成員以各自的漆包線的長度為半徑畫一個(gè)圓，再將自己的漆包線彎成弧形來截取這個(gè)圓的一段弧，畫出這段弧所對的圓心角，并剪下這個(gè)圓心角和這段弧所圍成的扇形.然后將小組各成員所得到的扇形紙片進(jìn)行重疊，觀察每個(gè)成員所得到的圓心角的大小有什么關(guān)系.(如圖1)

圖1

生：(動(dòng)手操作后)相等.

師：現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)能夠很輕易地畫出1 rad的角了，那么利用剛才手中的工具，你能畫出3 rad、6 rad、10 rad的角嗎？

生1：可以，截取等于三段半徑長度的弧長，它所對的圓心角就是3 rad的角.

生2：截取等于六段半徑長度的弧長，它所對的圓心角就是6 rad的角.

生3：截取等于十段半徑長度的弧長，它所對的圓心角就是10 rad的角.

師：很好，按這種方法我們就可以畫出任意一個(gè)nrad(n∈N*)的角了.

師：大家再思考一個(gè)問題：如果已知的是弧長，你可以得到這個(gè)弧長所對的圓心角是多少弧度嗎？(如圖2)

圖2

生：用弧長除以半徑就可以了.

生：補(bǔ)上符號 “±”.

教師在進(jìn)行弧度制概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的對象是熟悉的角，是學(xué)習(xí)除角度制外的另一種新的角的度量方式，而不是直接面對弧度制.從角、1度的角等學(xué)生熟悉的知識點(diǎn)出發(fā)，圍繞“如何度量角”這一核心問題來引導(dǎo)學(xué)生對弧度制進(jìn)行探索，從情感上學(xué)生也會(huì)減少對本節(jié)課的畏懼心理.

師：由此能得到的弧長公式是什么呢？

生：l=|α|r(其中，l是弧長，α是該弧長所對的圓心角，r是圓的半徑).

師：有誰還記得初中學(xué)過的弧長公式呢？

師：接下來大家再回顧一下初中所學(xué)的扇形面積公式.

師：學(xué)習(xí)完弧度制，我們可以得到一個(gè)新的扇形面積公式嗎？

師：學(xué)習(xí)完弧度制對我們有什么影響呢？

生：公式變得簡單好記了！

師：沒錯(cuò)，這也是我們在有了角度制后還要學(xué)習(xí)弧度制的一個(gè)很重要的意義，它使得科學(xué)上的很多公式得以簡化.

師：大家再觀察一下弧長公式和扇形面積公式，在角度制和弧度制下同一個(gè)公式分別應(yīng)用了什么進(jìn)位制？

生1：角度制下圓心角是六十進(jìn)制的，而其他量是十進(jìn)制的.

生2：弧度制下所涉及的量都是十進(jìn)制的.

師：這么看來弧度制不止簡化了公式，還統(tǒng)一了進(jìn)位制，這將便于后續(xù)的計(jì)算.以后我們就可以用弧度制對角進(jìn)行度量了，單位(rad)可以省略.

(教師用表1的形式展示給學(xué)生)

表1 角度制與弧度制的區(qū)別

教師以表格對比的形式讓學(xué)生直觀地感受在已經(jīng)學(xué)習(xí)了角度制后再學(xué)習(xí)第二種角的度量方式——弧度制的意義，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)弧度制的動(dòng)力.

師：我們知道周角在角度制下表示為360°，你能用弧度制來表示它嗎？

師：很好，那2π弧度到底有多大呢？大家知道，這里的π是一個(gè)無理數(shù)，約等于3.14，即2π≈6.28，所以，我們就可以很清楚地知道2π弧度大約等于6.28弧度.

這里把學(xué)生“捉摸不透”的無理數(shù)2π用6.28來表示，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的中職學(xué)生來說是非常有必要的，它可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼感，將抽象的數(shù)學(xué)知識直覺化，方便學(xué)生自由運(yùn)用，也有助于弧度制概念的順利構(gòu)建.

師：大家再思考一下，平角等于多少弧度呢？

師：很好，那π(rad)換成具體數(shù)字大約是多少呢？

生：3.14弧度.

師：好，那我們現(xiàn)在總結(jié)一下角度與弧度的轉(zhuǎn)換.(板書)

1周角=360°=2π(rad)≈6.28 rad

1平角=180°=π(rad)≈3.14 rad

師：現(xiàn)在請同學(xué)們完成表2中角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換.

表2 角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換

教師圍繞“角的度量”引導(dǎo)學(xué)生一起探討了“如何畫出給定弧度數(shù)的角”和“如何用弧度制表示給定的特殊角”兩個(gè)問題，讓學(xué)生盡可能參與到具體的教學(xué)情境中，加深學(xué)生對弧度制的理解，有助于弧度制概念的生成.

師：上節(jié)課我們剛剛學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，認(rèn)識到角有正角、負(fù)角、零角之分.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了弧度制，是否也可以用弧度制表示出所有的角呢？

生：能表示的角的范圍是負(fù)無窮大到正無窮大，在這個(gè)范圍內(nèi)可以表示出任意實(shí)數(shù)的角度.

師：沒錯(cuò)，所以我們規(guī)定：正角的弧度為正數(shù)，負(fù)角的弧度為負(fù)數(shù)，零角的弧度為零.采用弧度制之后，每一個(gè)角都對應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)；反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)都對應(yīng)唯一的一個(gè)角.這樣，角與實(shí)數(shù)之間就建立了一一對應(yīng)關(guān)系.(如圖3)

圖3

至此，學(xué)生在教師的指引下，全程參與了弧度制的概念建構(gòu)過程，對于弧度制已經(jīng)有了一個(gè)初步的認(rèn)識.接下來，教師可以結(jié)合學(xué)生和課堂的實(shí)際要求，進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍v史介紹，從度量角的演化史出發(fā)讓學(xué)生更深刻地感知人類發(fā)展的探索歷程，這樣能夠讓學(xué)生更加深刻地理解學(xué)習(xí)弧度制的原因，增強(qiáng)學(xué)習(xí)弧度制的動(dòng)力和信心.

三、教學(xué)反思

在“弧度制”這節(jié)課，我們不能只是單純地向?qū)W生展示現(xiàn)成的知識，那樣不利于學(xué)生對弧度制概念的內(nèi)化.筆者從學(xué)生熟知的知識點(diǎn)出發(fā)，設(shè)置了一系列學(xué)生“夠得著”的問題來引導(dǎo)他們進(jìn)行思考，通過動(dòng)手操作、畫圖等多個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)讓學(xué)生更充分、更深切地參與到整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，并在教師的適當(dāng)指引下一起探索弧度制概念的生成過程.同時(shí)，教師通過對角度制和弧度制相關(guān)內(nèi)容的直觀對比，引導(dǎo)學(xué)生對已有知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行更新、重組，將碎片化的知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生深刻體會(huì)學(xué)習(xí)弧度制的目的.