段英華

用解析的方法研究幾何問題是解析幾何的核心思想方法。如何將幾何問題代數(shù)化并結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)算是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文以一堂解析幾何習(xí)題課為載體，通過對(duì)學(xué)生解題過程的觀察，分析解析幾何問題的思考方法，給出代數(shù)運(yùn)算的處理細(xì)節(jié)，并結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)給出改進(jìn)方法，實(shí)現(xiàn)解析幾何的思想和方法在實(shí)際教學(xué)中的落地。

接下來的證明中，兩位同學(xué)曾嘗試分別算出[BP]，[BQ]，再證明兩者相等。好在他們很快就意識(shí)到這種幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化將使運(yùn)算量比較大，需要優(yōu)化。我們知道，等腰三角形的一個(gè)特點(diǎn)是三線合一，而在解析幾何中，計(jì)算中點(diǎn)和垂直關(guān)系的運(yùn)算量是比較小的。大多數(shù)的同學(xué)都在研究點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)，能明確地向這個(gè)方向努力，說明學(xué)生基本具備“把幾何場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為方便計(jì)算的代數(shù)問題”的意識(shí)。接下來的環(huán)節(jié)中，全班同學(xué)的解法大致體現(xiàn)了兩種思路。

不得不說，選用解法2的同學(xué)的計(jì)算錯(cuò)誤率略高于解法1。有的學(xué)生算出[P]和[Q]坐標(biāo)后，發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)并不明顯相等，在此檢查逗留了好久。其實(shí)觀察一下坐標(biāo)的形式，我們發(fā)現(xiàn)還是非常相似的，所以要考慮作差法。有一部分學(xué)生在實(shí)施作差的時(shí)候，通分后把（*）式強(qiáng)行打開，式子項(xiàng)數(shù)有18項(xiàng)之多，導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)。其實(shí)如果我們關(guān)注到它的結(jié)構(gòu)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)平方差的形式，運(yùn)算就得到了化簡(jiǎn)。我們?cè)诮馕鰩缀蔚倪\(yùn)算中要有根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)決定計(jì)算方法的意識(shí)，這是代數(shù)運(yùn)算能力的一個(gè)重要體現(xiàn)。

通過對(duì)學(xué)生解題過程的觀察，我對(duì)學(xué)生出現(xiàn)問題比較了解，如何講評(píng)這道題也心中有數(shù)了。接下來的講評(píng)過程中，學(xué)生積極參與，熱烈討論，大家收獲滿滿。但帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)這道題的研究其實(shí)才剛剛開始：本題基本結(jié)論就是證明點(diǎn)[M]在橢圓上變化的過程中，直線[PQ]始終保持垂直于[x]軸，這是橢圓的一個(gè)幾何性質(zhì)。其實(shí)橢圓中類似的幾何特性非常多，他們都隱藏在代數(shù)形式中，需要我們用解析的方法加以挖掘。在此過程中，除了要不畏懼計(jì)算，更要有發(fā)現(xiàn)和分析代數(shù)結(jié)構(gòu)的意識(shí)。那么，就這道題而言，這個(gè)“神奇”的結(jié)論隱藏在怎樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)中呢？

最后這一部分的提升將習(xí)題課推向了高潮，學(xué)生們驚嘆“基于結(jié)構(gòu)的代數(shù)運(yùn)算”有化腐朽為神奇的力量。用解析的方法研究幾何問題是解析幾何的基本思想方法，在日常教學(xué)中，我們不能簡(jiǎn)單地強(qiáng)調(diào)解析幾何就是計(jì)算，而應(yīng)該在具體情形中帶領(lǐng)學(xué)生分析如何結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算路徑。唯有如此，解析幾何的基本思想方法才能真正落地，在學(xué)生心中生根發(fā)芽。

（作者單位：北京市十一學(xué)校）

（責(zé)任編輯 曉寒）