摘? 要：以知識(shí)結(jié)構(gòu)的視角剖析了習(xí)題課的內(nèi)涵特征和主要任務(wù)，從實(shí)例中闡釋了習(xí)題課設(shè)計(jì)的基本途徑，并提煉了習(xí)題課設(shè)計(jì)的三條基本原則——整體性、結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性.

關(guān)鍵詞：知識(shí)結(jié)構(gòu);習(xí)題課;整體性;結(jié)構(gòu)性;關(guān)聯(lián)性

習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是數(shù)學(xué)思想方法的生長(zhǎng)點(diǎn)，蘊(yùn)含著巨大的教育潛能. 教師通過(guò)組織習(xí)題課教學(xué)，可以及時(shí)分析、了解學(xué)情，幫助學(xué)生梳理已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，糾正存在的問(wèn)題，完善知識(shí)系統(tǒng)，并對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行深加工，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上“再創(chuàng)造”. 因此，習(xí)題課在數(shù)學(xué)單元教學(xué)中占有重要的地位，但在現(xiàn)實(shí)中相關(guān)研究比較欠缺.鑒于此，下面就個(gè)人研究談?wù)劻?xí)題課的認(rèn)識(shí)與思考，以供研讀.

一、習(xí)題課的認(rèn)識(shí)與思考

習(xí)題是外在的，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)是內(nèi)隱的. 這種依存關(guān)系要求我們必須先對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身進(jìn)行深入分析研究，然后對(duì)習(xí)題進(jìn)行有效解讀，最后才能真正詮釋習(xí)題課的豐富內(nèi)涵特征.

1. 樸素認(rèn)識(shí)

我們經(jīng)常用“樹(shù)”的結(jié)構(gòu)來(lái)表述、總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí).樹(shù)的主干是數(shù)學(xué)中的主干內(nèi)容，樹(shù)枝就是重要知識(shí)，而樹(shù)葉是單個(gè)數(shù)學(xué)命題或者運(yùn)用. “知識(shí)樹(shù)”得到了不斷發(fā)展、豐富，在20世紀(jì)60年代由美國(guó)康奈爾大學(xué)的諾瓦克（J.D.Novak）博士根據(jù)奧蘇貝爾（David P.Ausubel）的有意義學(xué)習(xí)理論提出一種教學(xué)技術(shù)——概念圖.在1970年前后由英國(guó)學(xué)者托尼·巴贊（Tony Buzan）創(chuàng)造了一種記筆記的方法——思維導(dǎo)圖.總之，“知識(shí)樹(shù)”形象直觀，整體性、結(jié)構(gòu)性、層次性較強(qiáng)，易于學(xué)生掌握. 但知識(shí)之間的關(guān)系不僅僅是樹(shù)狀的，而且也是網(wǎng)狀的. 例如，勾股定理是直角三角形的三邊性質(zhì)，它屬于直角三角形的“樹(shù)枝”，但是勾股定理可以利用相似、全等、面積等知識(shí)去證明，也就是勾股定理與面積、全等、相似具有關(guān)系（關(guān)聯(lián)），所以知識(shí)之間的關(guān)系既具有樹(shù)狀結(jié)構(gòu)又具有網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)（如圖1）.

知識(shí)之間這種樹(shù)狀且網(wǎng)狀的復(fù)雜結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在，也是重點(diǎn)所在.能不能更加簡(jiǎn)單地認(rèn)識(shí)知識(shí)的這種復(fù)雜結(jié)構(gòu)呢？

我們可以關(guān)注其中一個(gè)知識(shí)，如以知識(shí)B為視角中心，“有向線段”的方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，我們可以從圖1中剝離出下面三種情況.

第一種情況：知識(shí)B“從哪里來(lái)”（如圖2）.這個(gè)過(guò)程蘊(yùn)含了兩種理解方式.

多種方法解決一個(gè)問(wèn)題.例如，A推導(dǎo)B，或者C推導(dǎo)B，也可以C，D合起來(lái)推導(dǎo)B.這也是我們常常說(shuō)的“一題多法”或者“一題多解”.

多個(gè)知識(shí)解決一個(gè)問(wèn)題.例如，綜合利用A，C，D推導(dǎo)出B，也意味著知識(shí)B綜合性比較大.

第二種情況：知識(shí)B“到哪里去”（如圖3），即知識(shí)B不僅可以推導(dǎo)F，G，H，而且也可以推導(dǎo)其他知識(shí)，“到哪里去”的過(guò)程也蘊(yùn)含了兩種理解方式——知識(shí)的多元表征和知識(shí)的多種運(yùn)用.

知識(shí)的多元表征.例如，完全平方公式，我們可以用文字語(yǔ)言、圖形、符號(hào)、故事情境（分糖故事）等去理解.這樣做的好處在于利用多元表征（語(yǔ)言、文字、符號(hào)、圖象、具體事物、實(shí)際情境等）凸顯知識(shí)對(duì)象各方面的屬性，完善知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和意義. 又如，我們常說(shuō)的“一題多變”也屬于此類.

知識(shí)的多種運(yùn)用.例如，我們經(jīng)常講完一個(gè)公式、法則后，選擇不同的類型習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，這就是命題的多種運(yùn)用. 又如，幾何基本圖形的運(yùn)用也屬于此類.

第三種情況：知識(shí)B“從哪里來(lái)”“到哪里去”（如圖4），即知識(shí)的“層級(jí)發(fā)展”，這種知識(shí)的層級(jí)發(fā)展在數(shù)學(xué)學(xué)科中隨處可見(jiàn).例如，初中數(shù)學(xué)中兩點(diǎn)之間線段最短→三角形任意兩邊之和大于第三邊→三角形任意兩邊之差小于第三邊.

以上三種情況只是“基本”情況，當(dāng)然實(shí)際的知識(shí)會(huì)更加復(fù)雜，但是復(fù)雜情況不過(guò)是三種基本情況的組合而已.

2. 簡(jiǎn)單區(qū)分

在科學(xué)教育中引入例題、習(xí)題的初衷是鞏固和加深學(xué)生知識(shí)的學(xué)習(xí)，考查學(xué)生掌握知識(shí)的水平，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.這樣，為了與數(shù)學(xué)概念、公理、定理、法則、公式做一個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)分，我們把數(shù)學(xué)概念、公理、定理、法則、公式等內(nèi)容稱為“核心命題”（以下簡(jiǎn)稱“命題”），例題、習(xí)題等內(nèi)容統(tǒng)稱為“習(xí)題”.

3. 一點(diǎn)思考

綜合“樸素認(rèn)識(shí)”和“簡(jiǎn)單區(qū)分”的分析認(rèn)識(shí)，來(lái)看我們常見(jiàn)的三種課型——新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，就會(huì)對(duì)三種課型有更深的理解.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，新授課的主要任務(wù)是命題“從哪里來(lái)”和“到哪里去”;習(xí)題課的主要任務(wù)是習(xí)題“從哪里來(lái)”和“到哪里去”;復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是對(duì)整體結(jié)構(gòu)關(guān)系的再認(rèn)知、再深化、再精致和再升華.如果結(jié)合“樸素認(rèn)識(shí)”中三種情況再進(jìn)行細(xì)化，我們就可以建立一個(gè)有關(guān)習(xí)題和命題的表格，得到十種情況，具體見(jiàn)下表.

結(jié)合以上研究，我們可以對(duì)習(xí)題課的內(nèi)涵做出如下界定：在整體思維指導(dǎo)下，對(duì)相關(guān)習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，突出習(xí)題“從哪里來(lái)”和“到哪里去”的過(guò)程，彰顯知識(shí)的整體性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)的動(dòng)態(tài)課堂教學(xué)，其主要任務(wù)為表格中的最后一行.

二、習(xí)題課設(shè)計(jì)的基本途徑及其示例

教無(wú)定法，但有常法，貴在得法.我們可以從本文中習(xí)題課的內(nèi)涵和主要任務(wù)入手，梳理出習(xí)題課設(shè)計(jì)的基本途徑，概括起來(lái)主要有如下六種：習(xí)題（命題）的多元表征、多種運(yùn)用、多種方法解決習(xí)題、多種知識(shí)解決習(xí)題、習(xí)題的“層級(jí)發(fā)展”.如何理解這六種基本途徑呢？我們不妨來(lái)看一節(jié)單元教學(xué)習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體如下.

1. 選題背景

選擇習(xí)題1的理由有兩個(gè).（1）知識(shí)視角：很多版本教材都有“利用銳角三角函數(shù)計(jì)算小樹(shù)高度”的相關(guān)習(xí)題.（2）學(xué)生視角：利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題（特別是靈活地構(gòu)造直角三角形）是學(xué)生學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn).

2. 教學(xué)處理

階段1：多種方法解決習(xí)題，多種知識(shí)解決習(xí)題.

習(xí)題1：如圖5，如果我們想利用樹(shù)影測(cè)量校園內(nèi)的樹(shù)高.若太陽(yáng)光與水平地面的夾角為30°，當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹(shù)影長(zhǎng)時(shí)，因大樹(shù)靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測(cè)量，地面部分影長(zhǎng)為6米，墻上影長(zhǎng)為2米，那么這棵大樹(shù)高約多少？

習(xí)題1可以運(yùn)用多種方法解決（即一題多解），并且每種方法都需要綜合運(yùn)用多種知識(shí)，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有許多“結(jié)點(diǎn)”，從這種結(jié)點(diǎn)出發(fā)可能形成不同的思路，從而有效地通過(guò)多種渠道來(lái)解決同一個(gè)問(wèn)題，把所學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有機(jī)組合，形成網(wǎng)絡(luò).在這個(gè)階段（一題多解）的教學(xué)中，我們必須從“一題多解”走向更深入的“最優(yōu)意識(shí)”和“多法歸一”.例如，在解后反思環(huán)節(jié)，教師適時(shí)地追問(wèn)：哪種方法最簡(jiǎn)單？這些方法有哪些相同之處？這樣的教學(xué)處理，能讓學(xué)生明了三種輔助線的添加方法就是梯形常見(jiàn)的輔助線作法，進(jìn)而更進(jìn)一步明白問(wèn)題的根本——利用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是構(gòu)造直角三角形. 但是這種解題策略學(xué)生是否掌握了呢？我們?cè)诹?xí)題課中要抓住契機(jī)及時(shí)跟進(jìn).

階段2：習(xí)題的多種運(yùn)用.

變式1：如圖6，我們發(fā)現(xiàn)小樹(shù)AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD = 4米，BC = 10米，CD與地面成45°角，且若太陽(yáng)光與水平地面的夾角為30°，則小樹(shù)的高度為多少？

變式2：如圖7，若斜坡的坡角為45°，太陽(yáng)光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測(cè)量，坡面影長(zhǎng)為BD =[42]米，那么這棵大樹(shù)高約多少？

變式3：如圖8，若斜坡的坡角為45°，太陽(yáng)光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測(cè)量，坡面部分影長(zhǎng)為[42]米，地面部分影長(zhǎng)為2米，那么這棵大樹(shù)高約多少？

數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，在課堂教學(xué)中教師應(yīng)經(jīng)常進(jìn)行“習(xí)題的多種運(yùn)用”（一題多用），引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，積極創(chuàng)造.使學(xué)生在變換中看到所學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，想到知識(shí)的整體，明白知識(shí)的變化.讓學(xué)生從不同側(cè)面加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即變化小樹(shù)的位置、坡面、影長(zhǎng)等要素，在不變中求變，在變中求不變.引導(dǎo)學(xué)生在求異、思變中創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和趣味性，以培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)造性思維品質(zhì)和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)能力.習(xí)題的多種運(yùn)用、多種方法、多種知識(shí)可以彰顯數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)、整體，但是如何讓學(xué)生站在更高的視角看問(wèn)題呢？

階段3：習(xí)題的多元表征.

變式4：如圖9，在四邊形ABCD中，∠B = ∠C =135°，∠D = 60°，BC =[42]，CD = 2，求AB的長(zhǎng).

教師在習(xí)題本質(zhì)屬性不變的前提下，通過(guò)改變習(xí)題的圖形、表述方式和形式給出了“變式4”，給學(xué)生一次“返璞歸真”的機(jī)會(huì)，前后關(guān)聯(lián)、認(rèn)識(shí)本質(zhì)，以上習(xí)題及其變式本質(zhì)就是利用“解直角三角形”來(lái)解決“其他圖形”（三角形、四邊形及其不規(guī)則圖形），解決習(xí)題的關(guān)鍵就是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形，從而積累“構(gòu)造圖形”和“習(xí)題學(xué)習(xí)”的基本經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).但是這種知識(shí)是否內(nèi)化？結(jié)構(gòu)是否牢固、開(kāi)放呢？我們還要進(jìn)一步進(jìn)行教學(xué)推進(jìn).

階段4：習(xí)題的“層級(jí)發(fā)展”.

變式5：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)編制一道習(xí)題并嘗試解決.

習(xí)題2：如圖10，若斜坡的坡角為45°，太陽(yáng)光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測(cè)量，坡面影長(zhǎng)為BD =[42]米，那么這棵大樹(shù)高約多少？

習(xí)題3：如圖11，若斜坡的坡角為45°，太陽(yáng)光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測(cè)量，坡面部分影長(zhǎng)為[42]米，地面部分影長(zhǎng)為2米，那么這棵大樹(shù)高約多少？

習(xí)題4：如圖12，在四邊形ABCD中，∠B = ∠D =90°，∠A = 60°，BC = 4，CD = 2，求AB的長(zhǎng).

階段1到階段3的過(guò)程，實(shí)際上就是習(xí)題的“層級(jí)發(fā)展”，而階段4再一次開(kāi)放地“層級(jí)發(fā)展”，給學(xué)生思維一次飛躍的機(jī)會(huì)，學(xué)生也給出了不一樣的精彩（習(xí)題2 ～ 4為學(xué)生當(dāng)場(chǎng)編制的部分習(xí)題）.通過(guò)習(xí)題的“層級(jí)發(fā)展”能夠形成放射狀問(wèn)題鏈，極大地豐富學(xué)生的知識(shí)面，拓展學(xué)生的思維空間，使學(xué)生思維得以發(fā)散，增強(qiáng)思維的滲透性和變通性.

三、習(xí)題課設(shè)計(jì)的教學(xué)啟示

在課堂教學(xué)中，我們往往遵循著一般的基本原則，如直觀性教學(xué)原則、啟發(fā)性教學(xué)原則、鞏固性教學(xué)原則、量力性教學(xué)原則（可接受性原則）等.但單元教學(xué)習(xí)題課作為特殊課型，除了考量基本原則以外，通過(guò)上面的“示例”歸納，還可以提煉出以下幾項(xiàng)基本原則.

1. 整體性原則——宏觀架構(gòu)課堂

此處的整體性原則主要指兩方面，即數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性和教學(xué)過(guò)程的整體性.圖1呈現(xiàn)了知識(shí)的整體狀態(tài)，我們不能把它分割成一條條孤立的習(xí)題進(jìn)行教學(xué)，而應(yīng)當(dāng)特別注意各習(xí)題（知識(shí)）之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立知識(shí)框架要從關(guān)注一節(jié)課的教學(xué)到更大范圍（單元或?qū)W科）的教學(xué)，將碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行優(yōu)化統(tǒng)籌整合，這樣有助于學(xué)生從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，確保知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性，建構(gòu)完整的知識(shí)體系.例如，在剛才的例子中，宏觀上架構(gòu)了兩條主線：明線——計(jì)算小樹(shù)的“身高”，暗線——學(xué)會(huì)構(gòu)造直角三角形，兩條主線相互交織，整體架構(gòu).

教學(xué)過(guò)程本身就是一個(gè)受目標(biāo)、內(nèi)容、方法等多種因素影響和制約的系統(tǒng).具體的就是，教師應(yīng)該在系統(tǒng)思想和方法下，從整體出發(fā)，分析、判斷并調(diào)控各個(gè)要素和相互關(guān)系.更確切地說(shuō)，先進(jìn)行教材分析、內(nèi)容分析、學(xué)情分析，即解決“學(xué)什么”的問(wèn)題;再根據(jù)前面的分析，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，制定具體的教學(xué)目標(biāo)，即解決“學(xué)到什么程度”的問(wèn)題;最后選擇科學(xué)合理的方法和恰當(dāng)實(shí)用的素材制定行之有效的教學(xué)策略，即解決“怎樣學(xué)”的問(wèn)題.例如，本節(jié)單元教學(xué)習(xí)題課的設(shè)計(jì)只是筆者個(gè)人所教班級(jí)的實(shí)踐與思考，如果“原版照抄”，那將會(huì)“水土不服”，我們必須根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程的整體性考量，最終達(dá)到教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式等協(xié)調(diào)統(tǒng)一的狀態(tài).

2. 結(jié)構(gòu)性原則——中觀建構(gòu)知識(shí)

布爾巴基學(xué)派曾指出，數(shù)學(xué)并非研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué).當(dāng)然數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)分為兩種：數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)性原則就是指教學(xué)的全過(guò)程中始終有把教學(xué)材料組織成有序、有內(nèi)在邏輯、聯(lián)系緊密甚至深刻的體系，從而內(nèi)化為學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意向.

從數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)來(lái)看. 首先，教學(xué)過(guò)程中要順著知識(shí)（習(xí)題）的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)發(fā)生;其次，在探究習(xí)題時(shí)要有結(jié)構(gòu)意識(shí)，看看習(xí)題的結(jié)構(gòu)是否同構(gòu)，比較異同;最后，總結(jié)提升的時(shí)候也要有結(jié)構(gòu)意識(shí).例如，習(xí)題1，五個(gè)變式，學(xué)生編制習(xí)題總體上呈現(xiàn)一種層次性、關(guān)聯(lián)性的結(jié)構(gòu)特征，整個(gè)習(xí)題課的設(shè)計(jì)是成串、成套的，是簡(jiǎn)約的多觸點(diǎn)、結(jié)構(gòu)化特征，也是具有“空間”結(jié)構(gòu)的，而不是“平面”結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單展現(xiàn).

從數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)來(lái)看，示例中抓住“斜坡上的小樹(shù)”這一情境，由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，讓學(xué)生不斷地抓住核心方法——構(gòu)造直角三角形，呈現(xiàn)的方法結(jié)構(gòu)就是以核心方法為中心，多個(gè)習(xí)題和變式呈現(xiàn)放射狀，這樣的設(shè)計(jì)（一法多用）可以凸顯幾何基本圖形思想方法，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知水平.

3. 關(guān)聯(lián)性原則——微觀精致內(nèi)容

關(guān)聯(lián)是為了找到知識(shí)的聯(lián)結(jié)，去除遮蔽，關(guān)聯(lián)不是簡(jiǎn)單地用一種思維去替換另一種思維，而是讓思維能夠充分地從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)的活動(dòng).圖1中的“有向線段”就是一種關(guān)聯(lián)，即“從哪里來(lái)”和“到哪里去”，具體表述為習(xí)題的多元表征、多種運(yùn)用、多種方法、多種知識(shí)綜合和“層級(jí)發(fā)展”等，當(dāng)然我們不僅僅充分重視這種關(guān)聯(lián)，還要注意習(xí)題的進(jìn)一步深化、變化和發(fā)展，注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系.當(dāng)然這種關(guān)聯(lián)只是關(guān)聯(lián)性中的一種，還有其他兩種.例如，示例中創(chuàng)設(shè)情境自然生動(dòng)，拉近了生活和數(shù)學(xué)之間的距離，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián);我們還可以拉近不同學(xué)科之間的距離，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián).總之，關(guān)聯(lián)性原則就是置知識(shí)于系統(tǒng)中，著眼于事物之間的聯(lián)系.

以上是個(gè)人有關(guān)習(xí)題課的內(nèi)涵、設(shè)計(jì)途徑和原則的思考與實(shí)踐，囿于筆者的個(gè)人水平，還需要一線教師在教學(xué)中反復(fù)摸索、努力探究、不斷總結(jié)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)目的.

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