周婷婷

摘要六年級(jí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)走出機(jī)械訓(xùn)練的枯燥，走近數(shù)學(xué)思想方法，走進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在總復(fù)習(xí)采取難點(diǎn)問題跨年段結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)連成線、鋪成面、構(gòu)成體，形成關(guān)聯(lián)整體緊密系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生在結(jié)構(gòu)化過程中學(xué)科應(yīng)用思維和創(chuàng)新思維能力。將小學(xué)教學(xué)不同學(xué)年跨度中涉及的碎片，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，經(jīng)歷種子知識(shí)，生長問題、發(fā)展問題三個(gè)階段，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、親自操作、認(rèn)真計(jì)算、嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證、清晰表達(dá)。在實(shí)現(xiàn)教學(xué)結(jié)果目標(biāo)的過程中，重在實(shí)現(xiàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)用思維和創(chuàng)新思維。

關(guān)鍵詞 結(jié)構(gòu)化教學(xué) 思維靈活性 應(yīng)用思維 創(chuàng)新思維

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.28.049

LetStructuredReviewBecomethe"Booster"ofApplicationInnovation

——DiscussiononstructuredreviewofthefinalproblemofplanefiguremeasurementcompiledbytheMinistry

ZHOU Tingting

（High School Affiliated to Nanjing Normal University Jiangning Campus， Nanjing， Jiangsu 211100）

AbstractThe sixth grade mathematics general review walked out of the boring mechanical training， approached the mathematicalthinkingmethod，and entered thecoreliteracy ofmathematics discipline.Inthe generalreview，cross year structured learning of difficult problems is adopted to help students connect knowledge points into lines， surfaces and components， form a closely related overall and systematic structure， and focus on cultivating students’ applied thinking andinnovative thinkingability in the structured process. The fragments involvedinprimary school teachingindifferent academic years are structurally integrated， and go through three stages： seed knowledge， growth problems and development problems. Students are encouraged to guess boldly， operate personally， calculate carefully， verify rigorously and express clearly. In theprocess of achieving the goal ofteaching results，the emphasis is on therealization of applied thinking and innovative thinking of mathematics.

Keywordsstructured teaching； thinking flexibility； applied thinking； innovative thinking

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指從知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)、組織教學(xué)，以完善和發(fā)展學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為目的的教學(xué)。因此，分析、解讀教材的內(nèi)容分布、結(jié)構(gòu)體系也是本書要介紹的重要內(nèi)容。有從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)擴(kuò)散到整個(gè)教材體系編排的研究，也有從整體知識(shí)逐步細(xì)化到某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的研究；有從橫向研究同一內(nèi)容在不同版本教材中的編排異同研究，也有對(duì)蘇教版教材近幾年內(nèi)容調(diào)整的研究；有相同知識(shí)點(diǎn)在不同年級(jí)的對(duì)比研究，也有對(duì)相近知識(shí)點(diǎn)在同一年級(jí)的分析、研究。[1]

基于以上認(rèn)識(shí)，探索結(jié)構(gòu)化教學(xué)在總復(fù)習(xí)中的應(yīng)用，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)用思維和創(chuàng)新思維能力。以蘇教版六年級(jí)下冊(cè)平面圖形的測(cè)量總復(fù)習(xí)第12題為例，它是平面測(cè)量問題的在小學(xué)階段的壓軸問題。這個(gè)問題以第一學(xué)段正方形紙片擺放掌握初步的測(cè)量、識(shí)圖、畫圖技能為起點(diǎn)；以第二學(xué)段測(cè)量、識(shí)圖和畫圖的基本方法作為解決問題的多種策略；以解決部分長不變，面積最大的問題作生長點(diǎn)，向第三學(xué)段通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；在研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定物體位置等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念；經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。能獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法進(jìn)行過渡。[2]

從教材結(jié)構(gòu)分析研究部編版三年級(jí)下冊(cè)、四年級(jí)下冊(cè)、六年級(jí)下冊(cè)設(shè)計(jì)編排中關(guān)聯(lián)內(nèi)容。從新課程標(biāo)準(zhǔn)確定關(guān)聯(lián)內(nèi)容的六個(gè)層次學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）學(xué)生理解題意，畫圖的策略解決問題；（2）列舉符合條件的長方形，通過列表有序排列；（3）在觀察、比較的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)長和寬變化時(shí)，面積的變化規(guī)律，猜測(cè)問題的結(jié)果；（4）尋找驗(yàn)證結(jié)果是否正確；（5）長和寬不限于整厘米數(shù)時(shí)，面積何時(shí)最大；（6）部分周長不變時(shí)，面積何時(shí)最大。依據(jù)教材編排和新課程標(biāo)準(zhǔn)建議，在總復(fù)習(xí)階段教師的備課視野跨度大，連貫性強(qiáng)，將有著共同數(shù)學(xué)本質(zhì)的知識(shí)建構(gòu)學(xué)習(xí)框架，形成包括知識(shí)連貫、年級(jí)連續(xù)、經(jīng)驗(yàn)連貫在內(nèi)的整體結(jié)構(gòu)，使得總復(fù)習(xí)課堂成為推進(jìn)知識(shí)向深度建構(gòu)，推進(jìn)學(xué)生思維深度發(fā)展的平臺(tái)。[3]

在總復(fù)習(xí)階段學(xué)生在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)活動(dòng)中習(xí)得結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)碎片的串聯(lián)、結(jié)構(gòu)、內(nèi)化，在結(jié)構(gòu)活動(dòng)中用結(jié)構(gòu)化的思想方法自主學(xué)習(xí)，獲得深刻的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。結(jié)構(gòu)四個(gè)關(guān)聯(lián)問題，鞏固前四個(gè)結(jié)果目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)第五第六個(gè)結(jié)果目標(biāo)。將六個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，在教學(xué)過程中突出培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科應(yīng)用和創(chuàng)新思維。

1長程把握，找準(zhǔn)起點(diǎn)

起點(diǎn)問題：三年級(jí)下冊(cè)第六單元長方形和正方形的面積單元練習(xí)第13題：在圖中畫出幾個(gè)周長是20厘米的長方形或正方形，并分別計(jì)算他們的面積。（每個(gè)小方格表示1平方厘米）

關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)：周長是20厘米的長方形或正方形（邊長取整厘米數(shù)），記錄長、寬，并分別計(jì)算它們的面積，完成下列表格。觀察每一組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在復(fù)習(xí)中完成第二個(gè)、第五個(gè)層次目標(biāo)：列舉符合條件的長方形，通過列表有序排列；直觀感受周長相同的長方形或正方形，長寬的相差和面積大小的關(guān)系，獲得初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這個(gè)逐漸深入猜想的過程，對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生有困難，對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生問題非常有魅力，總復(fù)習(xí)階段鼓勵(lì)學(xué)生循著思路尋找一般性規(guī)律，助力學(xué)生用函數(shù)解決多邊形的面積極值問題，對(duì)函數(shù)的最大值最小值有直觀的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。[4]在復(fù)習(xí)過程中立足種子問題經(jīng)驗(yàn)，加速種子問題生長，生成兩個(gè)深度認(rèn)識(shí)。

（1）根據(jù)22÷2÷2=5.5厘米，長方形成為正方形時(shí)，面積最大為30.25平方厘米。

（2）周長的四分之一作為邊長的正方形面積最大。

在總復(fù)習(xí)階段以起點(diǎn)問題為種子題，鼓勵(lì)學(xué)生大膽抽象出已知周長，求面積最大時(shí)的一般規(guī)律，分小組和班級(jí)集體兩個(gè)層次的交流，進(jìn)一步鞏固圖形的測(cè)量和幾何初步，借助變化題培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性，提升學(xué)科應(yīng)變思維，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

2前連后延，觸發(fā)思維

四年級(jí)下冊(cè)第三單元三位數(shù)乘兩位數(shù)單元練習(xí)思考題，用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個(gè)數(shù)？要使乘積最小呢？在復(fù)習(xí)過程中多種方法孤立思考，多種方法結(jié)合比較，結(jié)合種子問題和生長經(jīng)驗(yàn)，獲得五個(gè)思維碎片。

（1）先確定最大的數(shù)字和第二大的數(shù)字分別在兩個(gè)數(shù)的最高位上，再考慮42×31和41×32的大小，0最后放在兩位數(shù)的后面，計(jì)算兩組積的大小再比較。

（2）畫圖法，乘積最大的情況畫出類似小寫字母n右下角加一橫的形狀，將數(shù)字按從大到小從起筆開始依次擺好，最后將兩行的數(shù)字用乘積形式書寫出來，得到320×41和32乘410乘積都是最大。乘積最小的情況畫出形如大寫字母N右上角加一橫的形狀，從小到大從起筆開始依次擺好，最后將兩行的數(shù)字用乘積形式書寫出來。

（3）0除外，剩下四個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的和是不變的，那么乘積最大這兩個(gè)數(shù)就應(yīng)最接近，和已知周長，求面積的規(guī)律異曲同工。誰有發(fā)現(xiàn)要補(bǔ)充？

（4）五個(gè)數(shù)里面有0的，尋找起來很方便。比如0、2、6、8、9這五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，乘積最大算式：860×92或86×920；乘積最小算式：690×28或69×280。

（5）根據(jù)規(guī)律可以編口訣“和定差小積大，和定差大積小”加快解決問題的速度。

在總復(fù)習(xí)階段引導(dǎo)學(xué)生以此思考題為中介，從數(shù)的運(yùn)算角度解決問題，結(jié)合前兩個(gè)幾何問題的直觀感受，深刻感知計(jì)算和幾何也有深層次的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對(duì)華羅庚先生贊不絕口的數(shù)形結(jié)合觀加深個(gè)體感悟。借助這個(gè)發(fā)展型問題實(shí)現(xiàn)第三個(gè)、第四個(gè)層次目標(biāo)：在觀察、比較的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)長和寬變化時(shí)，面積的變化規(guī)律，猜測(cè)問題的結(jié)果；尋找驗(yàn)證結(jié)果是否正確；通過對(duì)五種思維碎片比較、分類再結(jié)構(gòu)優(yōu)化，肯定學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行代數(shù)和幾何這兩個(gè)不同角度的審視，自主獲得進(jìn)階的探究感悟，提升自己學(xué)科思維水平，激發(fā)數(shù)形結(jié)合解決問題的學(xué)科體驗(yàn)，深度體驗(yàn)直觀的圖形測(cè)量中的一般規(guī)律和抽象的代數(shù)的運(yùn)算中相輔相成。在實(shí)現(xiàn)結(jié)果目標(biāo)的同時(shí)，著重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。[5]

3直觀比較，循環(huán)催生

六年級(jí)下冊(cè)平面面積測(cè)量總復(fù)習(xí)第12題：六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)平面圖形的測(cè)量總復(fù)習(xí)第12題：用16根1米長的木條靠一堵墻圍一塊長方形菜地，怎樣圍面積最大？小組合作，用16根小棒圍一圍，算一算，把結(jié)果填入下表。如果用24根這樣的木條來圍，怎樣圍面積最大？用53根這樣的木條來圍，怎樣圍面積最大？

這里的編排，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)際緊密相連，突顯數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性和應(yīng)用價(jià)值。陶行知先生說：做是發(fā)明，是創(chuàng)造，是實(shí)驗(yàn)，是建設(shè)，是生產(chǎn)，是破壞，是奮斗，是探尋出路。學(xué)生先從已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用和定差小積大的經(jīng)驗(yàn)，或從一一列舉的策略出發(fā)，經(jīng)過獨(dú)立記錄、理性分析數(shù)據(jù)，在結(jié)論沖突中回溯尋找思考過程的異同，思辨思考邏輯中細(xì)微差別，甄別邏輯的合理性。學(xué)生在結(jié)合小學(xué)三年級(jí)種子問題、生長問題、嘗試解決發(fā)展變化的問題，在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過程中利用經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)變?nèi)ズ侠斫鉀Q新問題。實(shí)現(xiàn)結(jié)果目標(biāo)的過程中進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、發(fā)展創(chuàng)新思維能力。在復(fù)習(xí)過程中正視思維偏差，正視錯(cuò)誤解決方法，仔細(xì)理解問題中出現(xiàn)思維偏差的信息，經(jīng)歷以下思維迭代升級(jí)的過程。

（1）通過面積最大的規(guī)律直接計(jì)算的，居然和列表的結(jié)論不同。

（2）一一列表找到的情況確實(shí)比之前的面積計(jì)算方法得到的結(jié)果大。

（3）一條邊不用材料，只有三條邊用材料，而之前的問題是四邊都用材料的面積大。

（4）因?yàn)閴Φ拇嬖?，一條長邊和兩條短邊上使用材料，兩條短邊一樣長，可以當(dāng)成一個(gè)整體長度，問題能轉(zhuǎn)化為已知一半材料長度，長方形何時(shí)面積最大。

（5）16×2=32（米），32÷4=8（米），18-8=10（米），8÷2=4（米），8×4=32（平方米）。這樣的解決思路和一一列舉的解決思路完全一致，結(jié)論完全相同。

（6）可以根據(jù)規(guī)律可以把墻面看作鏡面使用“和定差小積大，和定差大積小”的口訣，加快解決問題的速度。

在總復(fù)習(xí)課堂根據(jù)課堂生成資源，及時(shí)展示策略異同和錯(cuò)誤過程。組織學(xué)生仔細(xì)觀察分析問題情景變化的含義，對(duì)思維最近發(fā)展區(qū)產(chǎn)生的兩種不同策略辨析，著重分析錯(cuò)誤思路中理解偏頗信息，找出回歸正確邏輯的關(guān)鍵，借助求虛擬正方形面積和一一列舉實(shí)現(xiàn)殊途同歸。完成第五、第六個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：長和寬不限于整厘米數(shù)時(shí)，面積何時(shí)最大；部分周長不變時(shí)，面積何時(shí)最大。在學(xué)習(xí)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的過程中，學(xué)生回到種子題抓住新問題的變化、應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)合理轉(zhuǎn)化，為在現(xiàn)實(shí)生活中部分量一定，求極值的問題積累基本模型。在學(xué)習(xí)過程中強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。[6]

平面測(cè)量問題的壓軸題的結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)課，以一個(gè)壓軸難題回到整個(gè)小學(xué)階段編排的研究，細(xì)化到不同年級(jí)的掌握要求，以六年級(jí)總復(fù)習(xí)課堂為載體，進(jìn)一步發(fā)揮教材的整體和系統(tǒng)編排的初衷，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)展過程和自身的成長過程，以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，觀察變化，尋找關(guān)聯(lián)、領(lǐng)悟思想，在總復(fù)習(xí)中深度感受數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用和數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的魅力。進(jìn)一步結(jié)構(gòu)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)知，通過比較和思考，初步了解代數(shù)運(yùn)算和幾何直觀之間的一些巧妙聯(lián)系。[7]一方面，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含大量數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題有時(shí)還可以抽象成代數(shù)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)。另一方面，學(xué)生大膽走出總復(fù)習(xí)機(jī)械訓(xùn)練的誤區(qū)，走進(jìn)數(shù)學(xué)思想反哺總復(fù)習(xí)的實(shí)效性，自信走近第三學(xué)段，儲(chǔ)備初步數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和構(gòu)造模型解決問題的數(shù)學(xué)思想。在結(jié)構(gòu)化總復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)備課時(shí)，教師需要整體關(guān)注起點(diǎn)連續(xù)、元素連續(xù)、目標(biāo)連續(xù)，從教材編排跨度中找到學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)，相關(guān)聯(lián)的知識(shí)先行有序整合，學(xué)生在總復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生能對(duì)舊知識(shí)的認(rèn)知更加清晰、穩(wěn)定、靈活，對(duì)問題的延伸拓展更加順利，對(duì)思想方法的感悟更加深刻，形成更加緊密深刻的知識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)生在面對(duì)第三階段學(xué)習(xí)任務(wù)和未來生活實(shí)際問題時(shí)，更容易大膽嘗試想法、創(chuàng)新解決問題。

參考文獻(xiàn)

[1]顏春紅.學(xué)生數(shù)學(xué)整體思維培養(yǎng)[M].江蘇鳳凰出版社，2017（12）： 1-3.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].人民教育出版社，2021（7）：20-21.

[3]顏春紅.學(xué)生數(shù)學(xué)整體思維培養(yǎng)[M].江蘇鳳凰出版社，2017（12）： 147-149.

[4]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則[M].高等教育出版社，2014，（7）：16-21.

[5]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則[M].高等教育出版社， 2014， （7）： 210-211.

[6]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京師范大學(xué)， 2020， （8）： 105-1133.

[7]俞正強(qiáng).種子課[M].教育科學(xué)出版社，2014（11）：40-46.