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        彰顯數(shù)學(xué)文化品性,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        2021-01-08 21:38:53羅寅
        師道·教研 2021年12期
        關(guān)鍵詞:型函數(shù)最值圖象

        羅寅

        高中三角函數(shù)是數(shù)學(xué)課程中相對(duì)比較抽象的一部分,一些學(xué)生感覺三角學(xué)習(xí)與實(shí)際問題關(guān)聯(lián)太多,理解起來比較困難。怎樣才能讓學(xué)生突破學(xué)習(xí)三角道路上的一道道難關(guān),提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?筆者經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐,覺得數(shù)學(xué)建模是解決學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的一條有效途徑。

        一、數(shù)學(xué)建模在三角函數(shù)中的運(yùn)用

        (一)對(duì)稱問題

        三角函數(shù)內(nèi)容的抽象性和公式變化多樣性使學(xué)生難以把握,若是再加上有復(fù)雜文化背景的題目更是無從下手。在教學(xué)中,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模來突破這類題型,可以借助直角坐標(biāo)系這一有效工具,直觀解決抽象的問題。比如,在遇到三角函數(shù)對(duì)稱問題時(shí),可以先分析問題、建立模型,找到合適的函數(shù)模型之后,找出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)加以解決。請(qǐng)看下面的問題:

        例題1.在現(xiàn)代社會(huì)中,信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù),我們通過每天都在使用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到,而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)。函數(shù)f(x)=∑7i=1sin[(2i-1)x]2i-1的圖象,就可以近似的模擬某種信號(hào)的波形,則下列說法正確的是()

        A.函數(shù)f(x)是最小正周期為 π的周期函數(shù)

        B.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

        C.函數(shù)f(x)的圖象對(duì)稱軸是直線x=π2

        D.函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(π2,0)

        【解析】∵f(π-x)=sin(π-x)+sin3(π-x)3+sin5(π-x)5+…+sin13(π-x)13

        =sinx+sin3x3+sin5x5+…+sin13x13=f(x)

        即f(π-x)=f(x)

        ∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱,故選C.

        【點(diǎn)評(píng)】由“模擬某種信號(hào)的波形”可抽象為正弦型函數(shù)——數(shù)學(xué)建模,再運(yùn)用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)——對(duì)稱性,根據(jù)f(π-x)=f(x),得到函數(shù)對(duì)稱軸方程。本題考查學(xué)生正弦型函數(shù)模型掌握的程度,學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),合理建模、正確計(jì)算,判斷A、B、D選項(xiàng)均有誤,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

        (二)最值問題

        在三角函數(shù)最值問題的學(xué)習(xí)過程中,數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生掌握三角函數(shù)最值問題的幾種基本模型,讓學(xué)生在解題過程中不斷提高抽象思維、邏輯思維能力,訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

        三角函數(shù)最值問題有下列四種基本模型:

        1.形如f(x)=asinx+bcosx型函數(shù);

        2.形如f(x)=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函數(shù);

        3.形如f(x)=asinx+cbcosx+d型函數(shù);

        4.含有sinx,cosx和與積的函數(shù)式。

        這四種模型的特點(diǎn)分別是:

        1.正余弦函數(shù),并且是一次式。方法是把正余弦轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù),此類函數(shù)可化為:f(x)=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba;

        2.含有sinx和cosx的二次式,方法是先降次、整理,再化為形式1進(jìn)行求解;

        3.分式和分子分母都是sinx和cosx的一次式。方法是去分母或者看成兩點(diǎn)斜率來解決;

        4.化簡整理后出現(xiàn)sinxcosx和sinx+cosx的式子。方法是利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而變?yōu)槎魏瘮?shù)的最值問題。

        對(duì)于不同模型,有著不同的解答途徑和方法。在遇到三角函數(shù)與向量綜合的最值問題時(shí),利用向量的知識(shí),將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題,合理的建系設(shè)點(diǎn)能起到事半功倍的效果。比如2021年3月深圳一模數(shù)學(xué)卷的第8題:

        例題2.(2021年深圳一模,8)騎自行車是一種有氧運(yùn)動(dòng),能有效改善心肺功能,深受大眾喜愛。下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖,已知圖中的圓A(前輪)、圓D(后輪)的半徑均為3 ,⊿ABE,⊿BEC,⊿ECD均是邊長為4的等邊三角形。設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn),則在啟動(dòng)該自行車的過程中,AC·BP的最大值為()

        A.18 B.24

        C.36 D.48

        【解析】向量坐標(biāo)法,應(yīng)用三角函數(shù)求最值。

        以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-4,0),C(2,23),B(-2,23);

        連結(jié)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)D,令∠xDP=θ,則P(4+3cosθ,3sinθ)

        ∴AC=(6,23),BP=(6+3cosθ,-23+3sinθ)

        ∴AC·BP=24+6(3cosθ+sinθ)=24+12sin(π3+θ),

        由-1sin(π3+θ)1,得AC·BP最大值為36,故選C.

        【點(diǎn)評(píng)】本題從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意下命題,合理的建系設(shè)點(diǎn)是關(guān)鍵,它考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,檢測(cè)學(xué)生計(jì)算能力,是向量與三角函數(shù)知識(shí)融為一體的好題。運(yùn)用向量知識(shí)來解決三角函數(shù)的最值問題,從三角與向量的關(guān)聯(lián)點(diǎn)(角)切入,把向量的夾角與三角函數(shù)的角統(tǒng)一為一類問題,真正展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。二、結(jié)束語

        在三角函數(shù)教學(xué)過程中,教師必須緊緊抓住教材中的數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)文化背景下形成學(xué)習(xí)情景,鼓勵(lì)學(xué)生在知識(shí)形成點(diǎn)、思維發(fā)生點(diǎn)、能力成長點(diǎn)創(chuàng)設(shè)問題,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中體驗(yàn)獲得模型、形成方法、感悟文化的成長過程。教師通過揭示三角函數(shù)的數(shù)學(xué)文化背景,讓學(xué)生知曉三角函數(shù)在推動(dòng)人類進(jìn)步中的巨大作用,讓學(xué)生真實(shí)體悟到數(shù)學(xué)建??梢杂行Ы鉀Q社會(huì)生產(chǎn)與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題。通過學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的不斷攀升,讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)真正意義上“三會(huì)”:會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光洞察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維剖析世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言交流世界,從而將立德樹人目標(biāo)落到實(shí)處。

        責(zé)任編輯李少杰

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