周麗婷 熊舉峰

(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長沙410000)

在“怪坡”上，越是質(zhì)量大的物體越是容易發(fā)生“反重力式”的自行上坡的現(xiàn)象，如車低爬、水倒流。如此“怪坡”效應(yīng)，使游客、探驗家和科學(xué)工作者產(chǎn)生了濃厚興趣，先后提出了多種解釋，其實它是利用觀察者的“視覺錯覺”，即人們對高低的認(rèn)識是根據(jù)參考系來判斷的，于是對參考系做一些改變就可以影響人們對 “高低”的判斷。一種稱為 “雙軌怪坡”的玩具備受關(guān)注，它源于學(xué)者們設(shè)計的一個 “瑞利球”趣味物理實驗，其中也構(gòu)建了一個 “怪坡”，使均質(zhì)圓球看起來像在“爬坡”，但是對其實驗原理只進(jìn)行了定性分析。本文則定量分析了實驗的動力學(xué)過程，計算了系統(tǒng)的受力和運動，并對均質(zhì)圓球“爬坡”的最大高度作理論分析。

1 實驗介紹

1.1 實驗儀器與裝置

可控制寬度的傾斜導(dǎo)軌一套、均質(zhì)圓球一個。實驗裝置如圖1所示。

圖1 “瑞利球”實驗裝置

1.2 實驗步驟與現(xiàn)象[1]

(1)令兩導(dǎo)軌桿平行，則均質(zhì)圓球會自動滾到最低處。

(2)將手柄打開，使兩根導(dǎo)軌桿成一定角度，則圓球會沿導(dǎo)軌向上滾。

(3)滾球達(dá)到一定速度時，實驗者突然合攏手柄，圓球的質(zhì)心突然升高，圓球繼續(xù)向上滾。

(4)均質(zhì)圓球靜止，即能夠滾動到最高處時，打開兩導(dǎo)軌桿，圓球下落。

2 實驗動力學(xué)分析

在“瑞利球”實驗的動力學(xué)過程分析中，我們忽略空氣阻力和摩擦力來構(gòu)建理想模型，即均質(zhì)球體在導(dǎo)軌上滾動是圓球自身重力和導(dǎo)軌對圓球支持力共同作用的結(jié)果。球在水平平行導(dǎo)軌上時，小球處于平衡狀態(tài)(重力與支持力平衡)；球在傾斜平行導(dǎo)軌上時，圓球向較低一邊滾動(重力與支持力不平衡)；球在水平而不平行導(dǎo)軌上時，圓球向較寬一邊滾動(重力與支持力不平衡)[1]?？梢姡瑢?dǎo)軌的傾斜與寬窄變化都會影響圓球滾動，若控制好，圓球可以向較寬但較高的一端滾動。

設(shè)圓球半徑為R、重力為G=mg，圓球與導(dǎo)軌兩個接觸點處圓球所受支持力分別為FN和，導(dǎo)軌平行距離為d，導(dǎo)軌與水平面的傾角為β，同時構(gòu)建如圖2和圖3所示的坐標(biāo)系(以接觸點為原點)。

圖2 “瑞利球”實驗水平面OXY坐標(biāo)圖

圖3 “瑞利球”實驗三維OXY Z坐標(biāo)圖

如圖3所示，接觸點與球心的連線與Z軸的夾角為θ，設(shè)初始時夾角θ=θ0，可知d=2Rsinθ0。

設(shè)FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3分別為支持力FN在X，Y，Z軸上的分力，由圖3中受力分析可知

由圖4中受力分析可知

同時由圖2和圖4可知幾何關(guān)系

第一階段，從張開導(dǎo)軌兩桿成角度α(恒定)到圓球剛好不能掉下去為止(θ0＜θ＜π/2)。

圖4 “瑞利球”所受支持力分解示意圖

從“瑞利球”受力分析圖3和圖4可知，支持力和重力對過球心X軸方向直徑的合力矩在X軸方向上M=MFN2+MF′N2=2RcosθFN2，第一階段FN3=G/2。剛體轉(zhuǎn)動動能定理(X軸方向)：如果

則

剛體平動動能定理(Y軸方向)：如果

則

在第一階段中，θ角度不能大于等于π/2，因此當(dāng)θ≈π/2時合攏手柄可以使均質(zhì)圓球在第一階段后具有最大動能，即可以使均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度。且由圖5可知

圖5 “瑞利球”實驗側(cè)視圖

第二階段，突然合攏手柄使導(dǎo)軌兩桿成角度α′(0≤α′＜α)。分析瞬時支持力的作用，由沖量定理可知：

在Z軸方向上

在Y軸方向上

為了便于分析，可認(rèn)為圓球在豎直方向(Z軸方向)動能轉(zhuǎn)化為勢能，即又由圖6可知

當(dāng)α′=0時

沖量用平均力計算，由式(5)～式(7)，可得出第二階段后圓球的平動動能

圖6 第二階段導(dǎo)軌兩桿夾角變化示意圖

由于支持力作用時間很短，則轉(zhuǎn)動動能增加很小可忽略，則第二階段后轉(zhuǎn)動動能不變，其中α′=0時，沖量增加最大，即可使均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度。

第三階段，圓球沿導(dǎo)軌向上運動到平動動能為0(達(dá)到最大高度h和最遠(yuǎn)距離l)。由機械能守恒，有且轉(zhuǎn)動動能不變，即

3 圓球“爬坡”最大高度理論分析

3.1 角度θ

在動力學(xué)分析的第一階段中，由式 (3)可知剛體初始平動動能只與θ角度有關(guān)，同時我們已知0＜θ＜π/2，則當(dāng)θ0≈0，θ1≈π/2時，圓球在第一階段后具有最大動能，即第一階段后的最大動能是均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度的條件。

3.2 角度α

在動力學(xué)分析的第一階段中，當(dāng)θ0≈0，θ1≈π/2時，由圖 2和式 (1)可知：l1tan(α/2)=R，由式(4)可知：l1tanβ=R。因此可知第一階段中兩導(dǎo)軌桿的夾角α與導(dǎo)軌傾斜角β的關(guān)系滿足：α=2β，即α=2β是均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度的條件。

3.3 角度α′

在動力學(xué)分析的第二階段中，已知導(dǎo)軌兩桿的角度α′的范圍為0≤α′＜α，只有當(dāng)α′=0時，沖力提供給均質(zhì)圓球的能量最大，即v2，h1和h2最大。若α′＞0，則相應(yīng)的而這情況下的第三階段類似第一階段，即所以α′=0(兩導(dǎo)軌桿平行)是均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度的條件。

3.4 最大高度h

4 結(jié)論

本文定量分析了“瑞利球”實驗的動力學(xué)過程。“瑞利球”實驗中構(gòu)建了一個 “怪坡”，通過對兩導(dǎo)軌的控制，使均質(zhì)圓球看起來像在 “爬坡”。據(jù)剛體運動原理構(gòu)建了物理模型，并分析系統(tǒng)的受力情況和運動過程，導(dǎo)出了均質(zhì)圓球 “爬坡”的最大高度的公式。在忽略空氣阻力與摩擦力情況下，當(dāng)兩導(dǎo)軌桿初始距離遠(yuǎn)小于圓球半徑 (θ0≈0)、小球剛好不能掉落 (θ1≈π/2)時突然合攏兩導(dǎo)軌使其平行 (α′=0)、兩導(dǎo)軌初始夾角α等于兩倍導(dǎo)軌傾斜角β時，均質(zhì)圓球可以達(dá)到最大高度 (h=和最遠(yuǎn)距離l。