付靖宇 趙增輝，?， 孫 偉

*(山東科技大學(xué)能源與礦業(yè)工程學(xué)院，山東青島266590)

?(礦業(yè)工程國家級實驗教學(xué)示范中心(山東科技大學(xué))，山東青島266590)

全國周培源力學(xué)競賽作為我國最高級別的大學(xué)生力學(xué)競賽，已成為大學(xué)生展示自我的重要科技競賽平臺，也是各大院校展示基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)成果的重要舞臺，在推動力學(xué)科普、培養(yǎng)力學(xué)人才、提升基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)水平等方面發(fā)揮了重要作用[1-3]。很多高校已經(jīng)將該項賽事競賽成績作為選拔力學(xué)尖子生的重要依據(jù)。

周培源力學(xué)競賽的個人賽試題注重基礎(chǔ)性、實踐性、趣味性和開放性。在命題特點方面，經(jīng)歷了三個階段，第一屆到第五屆命題形式為理論力學(xué)、材料力學(xué)各出一張試卷，題量和難度較大。第六屆到第十屆競賽，命題更注重綜合性、趣味性和開放性，理論力學(xué)和材料力學(xué)命制在同一張試卷上，由4～5個題目組成，題量大幅減少但綜合性和趣味性明顯增強。從第十一屆開始，命題在結(jié)構(gòu)和內(nèi)容上做了較大調(diào)整，試題分為基礎(chǔ)題與提高題兩部分，既能考察參賽學(xué)生對基礎(chǔ)力學(xué)基本內(nèi)容的掌握程度，又可以考驗參賽學(xué)生對知識的深入領(lǐng)悟和綜合應(yīng)用能力[4-6]。該項賽事試題均為原創(chuàng)命題，具有很好的開放性，引起了很多力學(xué)工作者的興趣[7-10]。提煉和研討這些題目的解法對于提升學(xué)生的力學(xué)素養(yǎng)和教師的教學(xué)水平是大有裨益的。筆者在本文中將就第一屆和第十二屆競賽的兩道理論力學(xué)題目在解法上加以延伸討論。

1 歐拉動力學(xué)方程與剛體固連系的靈活選取

基于角動量定理推導(dǎo)出的歐拉動力學(xué)方程組與質(zhì)心運動定理一起構(gòu)成求解三維剛體任意形式運動的二階微分方程組。通常而言，選取剛體的一個固連坐標(biāo)架可寫出如下歐拉動力學(xué)方程組[11]

式中，Ii(i=1，2，3)是剛體的 3個主慣性矩，ωi(i=1，2，3)是剛體的角速度在3條主軸上的分量，Mi(i=1，2，3)是作用在剛體上的外力矩在3條主軸上的分量。當(dāng)研究對象是非對稱陀螺(I1/=I2/=I3)時，求解過程較為復(fù)雜，需要引入雅可比-橢圓積分函數(shù)；當(dāng)研究對象是對稱陀螺(I1=I2/=I3)時，求解過程較為簡單，尤其當(dāng)無控制力矩即剛體自由運動時，由式(1)中第3個方程可直接得到ω3守恒的結(jié)論，且前2個方程也自動簡化為線性易求解的；當(dāng)研究對象是球陀螺(I1=I2=I3)時，求解過程更為簡單。然而，如果剛體固連系相對慣性系的幾何位形較難描述，那么無論是非對稱陀螺還是球陀螺，都將面臨計算量方面的困難。這就需要靈活運用歐拉動力學(xué)方程?；氐阶畛跬茖?dǎo)過程，即利用轉(zhuǎn)動系導(dǎo)數(shù)與慣性系導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)列寫的角動量定理

2 旋轉(zhuǎn)球的穩(wěn)定性問題

2.1 問題描述

第一屆全國青年力學(xué)競賽理論力學(xué)試題第9題，原題為：半徑為r，質(zhì)量為m的均勻圓球在半徑為R的完全粗糙的另一固定圓球的外表面上純滾動。求當(dāng)動球轉(zhuǎn)速超過多少時可以在定球的最高點處穩(wěn)定地轉(zhuǎn)動。重力加速度為g。

2.2 簡易求解

本題給出的原解答是首先導(dǎo)出兩球心連線方向的角速度分量保持不變，然后通過聯(lián)立6個動力學(xué)方程構(gòu)成的方程組，得到穩(wěn)定模式對應(yīng)的二元動力學(xué)方程組。優(yōu)點是運用理論的普適性較強，但過程稍顯繁瑣。下面筆者給出另外一種解法，可以轉(zhuǎn)化為一個二維斥力平面上原點附近的穩(wěn)定性問題，書寫方便且相對簡單。

以初態(tài)運動球球心為原點建立一個球面直角坐標(biāo)架Oxy(x軸和y軸的經(jīng)度相差 90°)，如圖 1所示。在原點附近，這個曲面坐標(biāo)架和平面直角坐標(biāo)架在一階小量上無差異。設(shè)x和y兩個方向上的摩擦力大小分別為fx和fy。對運動球質(zhì)心(x，y)，由動量定理得

圖1 旋轉(zhuǎn)球穩(wěn)定性分析示意圖

式中g(shù)為重力加速度。設(shè)運動球的初始角速度ω方向豎直向上。Serret–Andoyer固連系的其中一條坐標(biāo)軸始終與剛體的角動量矢量重合，而筆者命名的“Serret–Andoyer近似固連系”的其中一條坐標(biāo)軸始終與剛體的主角動量矢量重合。所謂主角動量是指忽略一階小角動量的角動量，可以理解為零階角動量，即本題中與ω對應(yīng)的角動量(由方程組(1)的第3個方程易知此角動量的大小是不變的，方向始終沿著兩球球心連線)。則Serret–Andoyer近似固連系相對慣性系的角速度為(˙y/(R+r)，˙x/(R+r)，0)，代入式(2)并忽略二階小量即得

式(4)已經(jīng)利用了純滾動的約束條件，即

聯(lián)立以上各式得

假設(shè)穩(wěn)定模式為

式中λ為待定常數(shù)。將試探解(7)代入微分方程組(6)得特征根方程組

令特征根方程組對應(yīng)的系數(shù)行列式為零，使得試探解不平凡，化簡得特征根須滿足的一元二次方程

令該一元二次方程的判別式恰好等于零，即可解得臨界轉(zhuǎn)速 (也就是使得運動球能穩(wěn)定平衡的最低初始角速度)。所以穩(wěn)定平衡的條件即為

式(10)與原題給出的答案是一致的，但求解過程更為簡便。

2.3 拓展討論

該問題條件進(jìn)一步放松，若令固定球也繞過球心的豎直軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，是否仍然存在一個使得運動球穩(wěn)定平衡的最小ω值呢？求解過程如下。

換到固定球不轉(zhuǎn)的參考系中觀察，顯然這是個非慣性參考系，運動球還會受到慣性離心力和科里奧利力的作用。由質(zhì)心的加權(quán)平均值定義易知慣性離心力的等效作用點在球心處?？评飱W利力對運動球的作用在數(shù)學(xué)形式上相當(dāng)于一個豎直方向的勻強磁場B對一個均勻帶電q球的作用，如圖2所示，且滿足

計算磁矩得

式(12)已經(jīng)利用了純滾動約束條件。

圖2 固定球轉(zhuǎn)動時旋轉(zhuǎn)小球的穩(wěn)定性分析圖

對運動球質(zhì)心(x，y)，由動量定理得

對運動球由角動量定理得

同理有特征根方程組對應(yīng)的系數(shù)行列式為零

再令式 (15)的判別式恰好等于零即可解出臨界轉(zhuǎn)速，所以穩(wěn)定平衡條件為

2.4 工程應(yīng)用

比較兩種情況下的臨界轉(zhuǎn)速可知前者是后者的(R+r)/r倍，相比較而言，后者的穩(wěn)定臨界轉(zhuǎn)速要求更低一些，亦即后者的穩(wěn)定條件更加寬松。這就啟發(fā)我們在工程設(shè)計中為提高旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性采用后者方式更優(yōu)，亦即使承重臺隨著非完整約束物繞垂直于臺面的軸同步旋轉(zhuǎn)。而且，從比例(R+r)/r=1+R/r中還可以看出，若取承重臺尺寸遠(yuǎn)大于約束物尺寸，那么同步旋轉(zhuǎn)的優(yōu)越性將更加凸顯。

3 存在內(nèi)力驅(qū)動的剛體定點運動問題

3.1 問題描述

第十二屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽第 3題，原題：在真空中處于失重狀態(tài)的均質(zhì)球形剛體，其半徑r=1 m，質(zhì)量M=2.5 kg，對直徑的轉(zhuǎn)動慣量J=1 kg·m2，球體固連坐標(biāo)系Oxyz如圖 3所示。另有質(zhì)量m=1 kg的質(zhì)點A在內(nèi)力驅(qū)動下沿球體大圓上的光滑無質(zhì)量管道(位于Oxy平面內(nèi))以相對速度u=1 m/s運動。初始時，系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，質(zhì)點A在x軸上。當(dāng)球體初始角速度ω0=(1 s－1，0，0.4 s－1) 時求球體的角速度ω和角加速度ε(提示：建立另一個動系Ox′y′z′，使質(zhì)點A恒在x′軸上)。

圖3 非慣性參考系下球體運動

3.2 拓展討論

原題中質(zhì)點所處緯度是零，考慮一般情況，現(xiàn)在將管道圈所處緯度抬升至θ/=0，如圖 4所示，不妨取M=m。建立一個動坐標(biāo)架使得質(zhì)點坐標(biāo)恒為(rcosθ，0，rsinθ)。該固連系即上文命名的所謂 “虛固連系”。含義是此固連系并不是相對球體固定而是相對體系的幾何位形固定，相當(dāng)于虛構(gòu)了一個新的動球面以使得質(zhì)點A和z軸與真實球面的交點在該虛構(gòu)球面上的位置保持恒定。以此動坐標(biāo)架寫下太空參考系中球體的角動量

式中e1，e2和e3分別為3條坐標(biāo)軸的單位矢量。

圖4 緯度為θ時小球的運動分析示意圖

質(zhì)點的角動量

由于球心不固定，這里引入了折合質(zhì)量

由動量守恒可以確定球心速度大小與質(zhì)點速度大小的比例關(guān)系，從而將球心對體系質(zhì)心角動量的貢獻(xiàn)拼到質(zhì)點角動量里去，比例系數(shù)便體現(xiàn)在這個折合質(zhì)量上，這是《理論力學(xué)》研究孤立二體系統(tǒng)常用的等效方法。由角動量守恒知

將式(20)對時間求導(dǎo)，利用式(2)，即

式中，等號左邊為慣性系中觀測角動量變化率，等號右邊第一項是虛固連系(e1，e2，e3)中觀測角動量變化率，第二項是二者差值(由角動量方向變化而為變化率帶來的貢獻(xiàn))?？傻?/p>

式(22)對任意時刻的(e1，e2，e3)恒成立，故三個方向單位矢量前的系數(shù)均為零。由此解得

3.3 求解結(jié)果討論

3.3.1運動特性分析

取m=1 kg，r=1 m，θ=π/4。由數(shù)值方法解析在不同初始條件下體系的運動。設(shè)三個角速度分量的初值，分別為ω01，ω02和ω03。

圖5為三種不同情況下，三個角速度矢之間的變化規(guī)律曲線。由圖5(a)，取ω02=ω03=0，令ω01依次取不同的值時，角速度變化范圍先縮小后擴(kuò)大。由圖 5(b)，取ω01=ω03=0，令ω02依次取不同的值，角速度變化范圍不斷擴(kuò)大，且當(dāng)取值增大到某種程度后，變化曲線出現(xiàn)“紐帶”現(xiàn)象。由圖5(c)，取ω01=ω02=0，令ω03依次取不同的值時，角速度變化范圍不斷擴(kuò)大。綜合以上結(jié)論，可以猜想，當(dāng)ω01恰好取到某關(guān)鍵值時，角速度變化范圍最小，甚至可以小到變化率為零，即恒定不變。角動量是守恒的，也就是說，對于某個給定的初始角動量，它在動坐標(biāo)架(e1，e2，e3)的各根坐標(biāo)軸上的投影量是會隨著坐標(biāo)架的轉(zhuǎn)動而改變的。但如果角動量為零，那么在各根坐標(biāo)軸上的投影也為零，且恒為零，這便相當(dāng)于找出了上述關(guān)鍵值。

3.3.2特殊情況下的結(jié)論

當(dāng)初始角動量L0=0時，由式(20)可解得

圖5 小球運動特性分析

也就是說：初值為零且初始變化率同時為零，不難判斷此值將保持恒定。所以題目中所述的動坐標(biāo)架將繞定矢量ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3的方向做定軸轉(zhuǎn)動，亦即質(zhì)點做勻速圓周運動。如圖4所示。而球體的角加速度

實體球和 (e1，e2，e3)固連的虛構(gòu)球的角速度僅在e3方向上差一項u/(rcosθ)，所以式 (25)相當(dāng)于一只以自轉(zhuǎn)角速度ωs=u/(rcosθ)e3繞ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3軸公轉(zhuǎn)的陀螺。綜上所述，質(zhì)點做勻速圓周運動，球體作陀螺式進(jìn)動。

從以上分析來看，由于陀螺進(jìn)動具有穩(wěn)定性，那么如果將航天器簡化為球體模型，宇航員視為生物質(zhì)點，則這種運動模式可提高人造衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽已成為一項促進(jìn)高等學(xué)校力學(xué)基礎(chǔ)課程改革、加強理工科高校學(xué)生素質(zhì)教育和創(chuàng)新能力的重要科技活動。比賽難度大，含金量很高，靈活性強，可以全面考察大學(xué)生的力學(xué)素養(yǎng)和知識掌握深度。

本文針對第一屆和第十二屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽兩道理論力學(xué)試題進(jìn)行了拓展討論。從分析過程來看，無論是力矩的參考系變換關(guān)系還是以此推出的歐拉動力學(xué)方程，均是求解剛體三維運動的制勝武器，且坐標(biāo)架的選取更是直接關(guān)系到這一武器的“操縱”難度。深入挖掘問題本質(zhì)有利于發(fā)掘?qū)こ淘O(shè)計的實際應(yīng)用價值。全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題很好地體現(xiàn)了這一點。