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        靜定結(jié)構(gòu)受力分析中約束力換算公式與二力桿的妙用1)

        2021-01-08 06:14:50舒開鷗
        力學(xué)與實踐 2020年4期
        關(guān)鍵詞:方程解約束力軸力

        汪 珍 舒開鷗

        (九江學(xué)院建筑工程與規(guī)劃學(xué)院,江西九江332005)

        在力學(xué)教學(xué)中,靜定結(jié)構(gòu)的受力分析這一內(nèi)容由于較為簡單而通常忽視了計算的簡化與分析方法的研究。靜定結(jié)構(gòu)的受力特征是,未知力 (約束力)的個數(shù)等于獨立平衡方程的個數(shù),即僅通過平衡方程就能求解所有未知力,因此在教學(xué)時,教師往往重點在于教學(xué)生列出足夠的平衡方程,而忽視了對這些平衡方程求解的難易程度分析。當(dāng)未知力較多時,最理想的情形是一個方程求解一個未知力,這樣就能避免聯(lián)立方程解方程組的麻煩。相關(guān)文獻[1-2]已經(jīng)指出,對于滿足兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則的簡單靜定結(jié)構(gòu),用平衡方程進行受力分析時,必可做到一個方程解一個未知力。本文將對這一結(jié)論做出簡單證明,并在此基礎(chǔ)上進一步提出能簡化計算的二力桿轉(zhuǎn)化思路及約束力換算公式。

        1 平衡方程與幾何組成的關(guān)系

        對于按兩剛片規(guī)則構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu),由于連接兩剛片的三根鏈桿既不相互平行也不匯交,因此將這三根鏈桿截斷,取其中一剛片研究,即可逐一求出三鏈桿的受力(剛片的約束力)。

        對于按三剛片規(guī)則構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu),三剛片若用三個虛鉸 (實鉸的情形比虛鉸要簡單,故不再證明)兩兩連接,如圖1。求各鏈桿受力時,可以做到一個方程解一個未知力,證明過程如下。

        圖1

        為求出各鏈桿的受力,可先把鏈桿1~4截開,取剛片 I和 II組成的整體 (以下簡稱整體),先將四個未知力分別向兩虛鉸A和B滑移,再向AB(x)方向與垂直AB(y)方向分解,如圖 2,由∑MB=0?FAy;再取剛片I,如圖3,這是一個含有三個既不相互平行又不匯交的未知力FAx、F5和F6的平面一般力系,可做到列一個方程解一個未知力;最后回到整體,只剩下FBx和FBy,顯然可逐一解出。若桿3與桿4平行,可將與F3垂直方向設(shè)為x方向,由 ∑Fx=0?FAx;若桿5與桿 6平行,在求出FAy(或FAx)后,研究剛片I,仍然是一個含有三個既不相互平行又不匯交的未知力FAx(或FAy)、F5和F6的平面一般力系。綜上所述,滿足三剛片規(guī)則的靜定結(jié)構(gòu),各鏈桿的受力計算可做到一個平衡方程解一個未知力。

        圖2

        圖3

        在一個平衡方程解一個未知力的原則下,求簡單靜定結(jié)構(gòu)的約束反力時,需要注意以下問題:(1)選取剛片I和II組成的整體研究與選取剛片III研究是等效的,同理選取剛片I研究與選取剛片II和III組成的整體研究也是等效的,視計算的難易程度靈活選取研究對象,但地面及含地面的整體不作為研究對象;(2)若連接剛片的鏈桿在兩結(jié)點以外部分上承受外力,可將外力向兩結(jié)點平移,并將附加力偶轉(zhuǎn)化為作用在結(jié)點上的一對等值反向的平行力,則鏈桿變?yōu)槎U,具體做法見例1。

        例1求圖4靜定結(jié)構(gòu)中AB桿的約束反力。

        解:(1)結(jié)構(gòu)滿足兩剛片規(guī)則,AB桿與地面是兩剛片,其余三根鏈桿是聯(lián)系(約束),將作用在三根鏈桿上的外力向端點平移,并將附加力偶轉(zhuǎn)化為一對作用于兩端點的等值反向的平行力,如圖5。

        圖4

        圖5

        (2)研究AB桿,如圖6,易得三根鏈桿給其的約束反力,不再贅述。

        圖6

        2 約束力換算公式與二力桿的轉(zhuǎn)化

        2.1 約束力換算公式

        在圖2中,逐一求出的約束力FAx和FAy并不是各鏈桿1和2的軸力,為能方便地求出鏈桿的軸力,可采用約束力換算公式。如圖7,組成虛鉸A的鏈桿1和2的軸力F1和F2,與它們在虛鉸A處分別沿x和y方向的分量之和FAx及FAy,可用以下公式換算

        圖7

        例2求圖8靜定桁架中各桿的軸力。

        圖8

        解:(1)BD桿與地面由鏈桿AD與支座鏈桿B組成的虛鉸連接,剛片CEG與地面由鏈桿AE與支座鏈桿C組成虛鉸連接,BD桿與剛片CEG由鏈桿DE與鏈桿BG組成虛鉸連接,三個虛鉸不共線,故為靜定桁架。

        (2)研究BD桿與剛片CEG組成的整體,如圖9。將FAD和FB向虛鉸O滑移并沿x(OC)和y方向分解后疊加得FOx和FOy,同理將FAE和FC轉(zhuǎn)化為FCx和FCy

        圖9

        (3)研究BD桿,如圖10

        再由整體

        圖10

        (4)由約束力換算公式(1)可得鏈桿AD和AE的軸力及支座B和C的反力

        其余各桿的軸力利用結(jié)點法很容易逐一求出。

        2.2 二力桿的轉(zhuǎn)化思路

        若某剛片用兩鉸(或虛鉸)與其他剛片連接,則此剛片可視為端點在兩鉸處的鏈桿(或虛鏈桿[3]),如圖2中的剛片Ⅰ。此時若該剛片上除兩鉸處的其他部分不受力,則可將其視作二力桿,如圖 11,剛片Ⅰ在虛鉸A處的約束力可合成為一個沿AC連線的力FAC,于是剛片Ⅰ和Ⅱ組成的整體僅有三個未知力FAC,F(xiàn)3及F4,可逐一求出F3和F4,再回到將剛片Ⅰ轉(zhuǎn)化為二力桿之前的受力圖,便可逐一求出F1和F2;若剛片I上除兩鉸處的其他部分受力,可參照例1先把這些力向兩鉸A和C處轉(zhuǎn)化,則剛片I變?yōu)槎U。

        圖11

        例3求圖12靜定桁架中各桿的軸力[4-5]。

        解:(1)剛片ADJI與CGJE用鉸J連接,剛片ADJI與地面用交于O點(虛鉸)的鏈桿BI和支座鏈桿A連接,剛片CGJE與地面用交于K點(虛鉸)的鏈桿BE和支座鏈桿C連接,點J,O和K不共線,滿足三剛片規(guī)則。

        圖12

        (2)截開鏈桿BI,BE取上部研究,作受力圖如圖13。

        圖13

        將剛片ADJI上作用于H點的力F向虛鉸O及鉸J轉(zhuǎn)化,把該剛片變?yōu)槎U,則過O點各力可合成為力FOJ,如圖 14,列平衡方程求FBE和FC

        再由圖13,列平衡方程計算FBI和FA

        其余各桿的軸力利用結(jié)點法很容易逐一求出。例 2也可用此法計算,讀者可自行嘗試。

        圖14

        3 結(jié)語

        本文對 “滿足兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則的靜定結(jié)構(gòu)的受力分析,必可做到一個方程解一個未知力”這一結(jié)論做出了簡明證明,并給出了利用這一結(jié)論進行受力分析的計算思路與注意要點。在此基礎(chǔ)上提出了方便計算鏈桿軸力的約束力換算公式及剛片轉(zhuǎn)化為二力桿的方法,使得靜定結(jié)構(gòu)的受力分析得到進一步簡化?;诒疚牡难芯砍晒?,在結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)甚至是理論力學(xué)教學(xué)中對于靜定結(jié)構(gòu)或靜定問題,應(yīng)提倡力爭做到一個平衡方程解一個未知力,其目的不僅是簡化計算,還能使學(xué)生更好掌握平衡方程及其應(yīng)用技巧、更深刻認識結(jié)構(gòu)幾何組成分析的意義及作用,從而達到夯實學(xué)生力學(xué)基礎(chǔ)、鍛煉學(xué)生思維能力等教學(xué)目標。

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