翟運(yùn)勝（特級(jí)教師）

一、“圓的面積”教材版本對(duì)比

圓是學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)的最后一個(gè)平面圖形，也是在小學(xué)階段唯一要學(xué)習(xí)的曲線(xiàn)圖形。圓在第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，具有較高的教育價(jià)值。由于圓是曲線(xiàn)圖形，探索它的面積公式比直線(xiàn)圖形要稍難一些。在探索圓的面積公式的過(guò)程中可以使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想方法，滲透極限思想，增強(qiáng)空間觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。各種版本的數(shù)學(xué)教材在編排“圓的面積推導(dǎo)”這部分內(nèi)容時(shí)，都力圖充分體現(xiàn)這一知識(shí)點(diǎn)的教育教學(xué)價(jià)值，讓學(xué)生在經(jīng)歷中成長(zhǎng)?？v觀人教版、蘇教版、北師大版、浙教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“圓的面積”的編排，大致可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是直奔主題，直截了當(dāng)，如北師大版、人教版；另一類(lèi)是估計(jì)猜測(cè)，推導(dǎo)公式，如蘇教版、浙教版。

1.編排類(lèi)型一：直奔主題，直截了當(dāng)。

北師大版（圖1）在編排“圓的面積”時(shí)，直接提問(wèn)：如何得到一個(gè)圓的面積呢？學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)是數(shù)格子，但是由于圓是一個(gè)曲線(xiàn)圖形，會(huì)出現(xiàn)不滿(mǎn)整格的現(xiàn)象，這種方法僅能求出一個(gè)圓的大約面積，不能迅速準(zhǔn)確地求出圓的面積，顯然是不方便使用的?；谝延械臄?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生順理成章地想到能否把圓轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的圖形，在這個(gè)過(guò)程中，強(qiáng)化了學(xué)生轉(zhuǎn)化的意識(shí)，提升了遷移類(lèi)推的能力。這樣的編排相對(duì)直接，教師課堂教學(xué)實(shí)施相對(duì)比較容易，對(duì)學(xué)生可能想到的探究路徑進(jìn)行充分地預(yù)設(shè)與應(yīng)對(duì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，容易引發(fā)學(xué)生的探究興趣。

圖1

人教版教材在編排“圓的面積”教學(xué)時(shí)，與北師大版教材類(lèi)似，創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)問(wèn)題情境：每平方米草皮8 元，這個(gè)圓形草坪的占地面積是多少平方米？引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)：怎樣計(jì)算一個(gè)圓的面積，引發(fā)學(xué)生探求圓面積的內(nèi)在需要。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生想一想能否把圓轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的圖形，從而推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。這樣的編排在常態(tài)化的實(shí)施過(guò)程中，有的教師會(huì)直接演示把圓沿著直徑切開(kāi)，拼擺成近似的長(zhǎng)方形推導(dǎo)出公式，教學(xué)過(guò)程中學(xué)生有可能會(huì)成為“操作工”。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生嘗試、遇阻、折回，找最佳切割方式的機(jī)會(huì)，組織引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維曲折的探索過(guò)程。

2.編排類(lèi)型二：估計(jì)猜測(cè)，推導(dǎo)公式。

蘇教版教材在編排“圓的面積”（圖2）教學(xué)時(shí)，設(shè)置了兩個(gè)例題，例7 是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。在此之前，學(xué)生沒(méi)有探究圓面積計(jì)算的需求，需要教師另外設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，考慮到常態(tài)課的教學(xué)狀況，如果能把創(chuàng)設(shè)面積計(jì)算的情境隱含在其中，對(duì)一線(xiàn)教師能有所暗示就更好了。在例7 中，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)出大小不同的圓，讓學(xué)生借助正方形來(lái)估計(jì)圓的面積，通過(guò)數(shù)格子計(jì)算圓的面積大約是正方形的幾倍，也就是半徑的平方的幾倍。從而發(fā)現(xiàn)圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。例8 則是把圓等分成若干份，然后拼成長(zhǎng)方形來(lái)推導(dǎo)出圓的面積公式。在這個(gè)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生有序思考和簡(jiǎn)單推理的能力。在實(shí)際教學(xué)時(shí)，這兩個(gè)例題放在一節(jié)課中，在家常課的狀態(tài)下，一節(jié)課的教學(xué)時(shí)間是挺緊張的。從例7 的教學(xué)來(lái)看，教師引導(dǎo)組織的痕跡比較重，學(xué)生多是在教師的指令與點(diǎn)撥下操作與思考。因?yàn)橐话闱闆r下，學(xué)生很難想到以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)出大小不同的圓，以此探索圓的面積除以它的半徑的平方是否存在規(guī)律。人類(lèi)對(duì)于圓面積的研究經(jīng)歷了千百年的時(shí)間，想在一節(jié)課中幫助學(xué)生經(jīng)歷這一過(guò)程，自然需要教師精心地預(yù)設(shè)、點(diǎn)撥和講授。沒(méi)有教師點(diǎn)撥引導(dǎo)，學(xué)生很難想到借助正方形來(lái)嘗試求圓的面積，體會(huì)圓的面積可能是這樣的正方形面積的幾倍，也就是半徑的平方的幾倍，然后再通過(guò)例8 的公式推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證。

圖2

浙教版教材在編排“圓的面積”（圖3）這部分內(nèi)容時(shí)，同樣也采用了類(lèi)似估計(jì)與猜測(cè)的編排，引導(dǎo)學(xué)生思辨：圓的面積與小正方形的面積（圓的半徑的平方）有什么關(guān)系，利用圖形中的不同顏色來(lái)幫助學(xué)生思考。由于有顏色區(qū)分的暗示，多數(shù)學(xué)生能夠理解圓的面積大于它半徑的平方的2 倍，小于半徑的平方的4 倍。不過(guò)浙教版沒(méi)有安排數(shù)格子來(lái)具體計(jì)算圓的面積與小正方形面積之間的倍數(shù)關(guān)系。教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生在數(shù)格子計(jì)算圓的面積時(shí)，很難把格子數(shù)清楚。在計(jì)算公式推導(dǎo)的過(guò)程中，不僅組織學(xué)生把等分后剪開(kāi)的圓形拼成長(zhǎng)方形，還引導(dǎo)學(xué)生把等分后剪開(kāi)的圓形拼成梯形、三角形或者是把圓形等分成32 份后不剪開(kāi)，把其中的一份看作是一個(gè)小三角形，從而推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。這個(gè)編排以數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的魅力吸引學(xué)生，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究興趣。此處對(duì)學(xué)生的操作要求與思維能力，以及教師的課堂駕馭能力提出了較高的要求，學(xué)力水平較低的班級(jí)不適合采用這種教學(xué)方式。

圖3

二、思考：估計(jì)猜測(cè)的環(huán)節(jié)是否必要呢？

北師大版與人教版在編排中直截了當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生把圓的面積轉(zhuǎn)化成已學(xué)圖形，從而推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算，此內(nèi)容較利于家常課的教學(xué)開(kāi)展，而估測(cè)環(huán)節(jié)似乎不是必需的。蘇教版與浙教版在編排圓的周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，借助一個(gè)圓的外切正方形和一個(gè)內(nèi)接的正六邊形，確定了圓的周長(zhǎng)與直徑之間關(guān)系的范圍，從而使猜測(cè)有據(jù)可依，并通過(guò)這一過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。遵循這一設(shè)計(jì)思路，在編排圓的面積探索學(xué)習(xí)時(shí)，也加入了這樣一個(gè)估計(jì)猜測(cè)的環(huán)節(jié)，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來(lái)看顯然是必要的，并且滲透了探究方法的習(xí)得。不同地域?qū)W生的學(xué)習(xí)背景差異較大，無(wú)論采用哪一種編排，在實(shí)施教學(xué)中都應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況而定，不可概而論之。不過(guò)，即便加入這個(gè)猜測(cè)過(guò)程，也應(yīng)當(dāng)重新設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在真實(shí)經(jīng)歷曲折探索的過(guò)程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)嘗試

1.創(chuàng)設(shè)情境，引起探究欲望。

師：（出示一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴水器動(dòng)畫(huà)）它旋轉(zhuǎn)一周所噴灌的地方是一個(gè)什么樣的圖形呢？

生：圓形。

師：關(guān)于圓我們已經(jīng)知道些什么？

（學(xué)生依次說(shuō)出圓心、半徑、直徑、周長(zhǎng)等相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)）

師：根據(jù)這個(gè)情境，你會(huì)提出什么樣的問(wèn)題呢？

生：自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴水器旋轉(zhuǎn)一周所噴灌的土地面積是多少？

2.建立猜想，引發(fā)驗(yàn)證需要。

師：這其實(shí)就是求圓的面積，通過(guò)對(duì)圓的周長(zhǎng)的探索學(xué)習(xí)，我們得出了這樣一個(gè)結(jié)論：圓的周長(zhǎng)是它直徑的π 倍，也就是三倍多一些。對(duì)于圓的面積，你會(huì)有怎樣的猜想呢？

生：圓的面積是不是與直徑之間有固定不變的倍數(shù)呢？

生：圓的面積與半徑之間是不是有固定不變的倍數(shù)呢？

師：（出示半徑為3cm、4cm、5cm 的圓）我們?cè)鯓又肋@些圓的面積，有什么方法嗎？

圖4

生：我們可以采用數(shù)方格的辦法來(lái)求出圓的面積。

師：為了方便數(shù)方格與計(jì)算，我們借助了與圓有一定關(guān)系的正方形，先數(shù)出四分之一圓的面積，再計(jì)算出整個(gè)圓的面積。

師：由于圓是曲線(xiàn)圖形，像圖中對(duì)角線(xiàn)兩端的兩個(gè)方格，非常接近滿(mǎn)格的算作滿(mǎn)格，其余不滿(mǎn)一格的按半格計(jì)算。

（學(xué)生填一填，然后依次匯報(bào)，完成下表）

?

師：你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)用圓的面積除以半徑以后，商并不是一個(gè)固定不變的數(shù)。

師：用圓的面積去除以相應(yīng)圓的直徑呢？

（學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算發(fā)現(xiàn)，圓的面積與直徑之間也沒(méi)有固定的倍數(shù)關(guān)系）

師：看來(lái)圓的面積與半徑和直徑都沒(méi)有明確的倍數(shù)關(guān)系，那么它與什么有關(guān)系呢？請(qǐng)看下圖。

（課件依次出示）

圖5

師：從這幅圖中，你能得出圓的面積與小正方形之間有怎樣的關(guān)系呢？先獨(dú)立思考，再小組討論。

生：圓的面積一定小于正方形面積的4 倍。

生：圓的面積一定大于正方形面積的2 倍。

師：圓的面積大于正方形面積的2 倍，而小于正方形面積的4 倍。

師：小正方形的邊長(zhǎng)是圓的半徑，這句話(huà)還可以怎樣說(shuō)呢？

生：圓的面積大于它半徑的平方的2 倍，而小于它半徑平方的4 倍。

師：根據(jù)這幅圖，你又會(huì)提出怎樣的猜想呢？

生：圓的面積會(huì)不會(huì)與半徑的平方之間有固定不變的倍數(shù)關(guān)系呢？

（教師出示下面的表格，學(xué)生填寫(xiě)）

?

師：觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我發(fā)現(xiàn)圓的面積大約是它半徑的平方的3.1倍。

生：圓的面積大約是半徑的平方的3 倍多一些。

師：據(jù)此，你又會(huì)提出怎樣的猜想呢？

生：都是三倍多一點(diǎn)，這個(gè)數(shù)會(huì)不會(huì)就是圓周率呢？圓的面積會(huì)不會(huì)就是圓半徑的平方的π 倍呢？

師：大家真了不起！下面我們就來(lái)驗(yàn)證這一猜想。

3.轉(zhuǎn)化推導(dǎo)，經(jīng)歷驗(yàn)證過(guò)程。

師：同學(xué)們回憶一下，以前我們是用什么方法來(lái)推導(dǎo)平面圖形的面積計(jì)算公式呢？

生：通過(guò)剪、拼、旋轉(zhuǎn)等方法把新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。

師：圓的面積計(jì)算公式是不是也能這樣獲得呢?

生：我們可以嘗試一下，把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。

師：好!要注意從哪兒下手剪拼最有可能轉(zhuǎn)化成所學(xué)過(guò)的平面圖形。

生：既然圓的面積和它的半徑有關(guān)，我們想沿著圓的半徑剪開(kāi)。

師：究竟可不可以，我們來(lái)試試看。先把圓4 等分，誰(shuí)來(lái)擺一擺？

學(xué)生操作如下（圖6）：

圖6

師：你還想把圓等分成多少份呢？（8 份）我們把這個(gè)圓平均分成8 份，再觀察這個(gè)圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生操作如下（圖7）：

圖7

師：你們也想自己動(dòng)手拼一拼嗎？老師在你們的材料袋里放了將圓16 等分的紙片，拿出來(lái)拼一拼，貼在《研學(xué)單》上。

師：從展示的幾組由圓轉(zhuǎn)化而來(lái)的圖形中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：隨著份數(shù)的增加，平行四邊形的底這條曲線(xiàn)看起來(lái)就越來(lái)越直了。

師：想象一下，照這樣再平均分下去會(huì)怎樣呢？

生：拼成的圖形會(huì)變成一個(gè)長(zhǎng)方形。

教師課件演示把圓等分成（64 份、128 份、256份……），學(xué)生由衷地發(fā)出贊嘆聲（圖8）。

圖8

師：你有什么發(fā)現(xiàn)呢？誰(shuí)來(lái)代表你們小組匯報(bào)一下？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，用字母表示就是πr，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高，是圓的半徑r。圓的面積公式就是：S=πr×r=πr2。

師：通過(guò)這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程，驗(yàn)證了我們的猜想，那就是——

生：圓的面積果然是它半徑的平方的π 倍！

師：“果然”一詞用得真好。到目前為止，我們發(fā)現(xiàn)了圓蘊(yùn)含著一個(gè)規(guī)律，圓的周長(zhǎng)是它半徑的2π倍，圓的面積是它半徑的平方的π 倍?；叵胍幌?，我們是怎樣探索圓面積的呢？

生：我們是從圓的周長(zhǎng)是它直徑的π 倍，推想圓的面積會(huì)不會(huì)也是直徑或是半徑的固定的倍數(shù)。

師：然后呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)圓的面積除以直徑或是半徑不是一個(gè)固定不變的數(shù)，借助一個(gè)邊長(zhǎng)是半徑的小正方形，我們發(fā)現(xiàn)圓的面積小于圓半徑的平方的4 倍，而大于圓的半徑的2 倍。

生：通過(guò)數(shù)格子計(jì)算得出圓的面積是它半徑的平方的3.1 倍，我們就猜想圓的面積會(huì)不會(huì)是它半徑的平方的π 倍。

師：再然后呢？

生：我們把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出圓的面積，從而驗(yàn)證了圓的面積果然是它半徑的平方的π 倍。

師：我們?cè)谄渲羞\(yùn)用了推想、猜測(cè)、轉(zhuǎn)化等探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。

師：其實(shí)，16 世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒就對(duì)圓的面積進(jìn)行過(guò)深入的探究。

（課件視頻介紹，圖9）

圖9

四、教后思考

在上面的教學(xué)過(guò)程中，教師首先組織學(xué)生猜測(cè)：圓的面積可能與什么有關(guān)系？學(xué)生一般會(huì)猜測(cè)圓的面積與半徑或是直徑有關(guān)系，這是不容忽視的事實(shí)。教師點(diǎn)撥：圓的周長(zhǎng)除以它的半徑或者直徑的商是一個(gè)固定不變的數(shù)，那么，對(duì)于圓的面積你會(huì)有怎樣的猜想呢？學(xué)生通過(guò)圓的周長(zhǎng)計(jì)算的類(lèi)比推理，自然而然地提出第一個(gè)猜想：圓的面積除以它的半徑或者直徑，是一個(gè)固定不變的數(shù)。學(xué)生再通過(guò)數(shù)格子的方式得出圓的面積，用圓的面積除以它的半徑與直徑?jīng)]有得出一個(gè)固定的數(shù)。此時(shí)研究似乎走進(jìn)了一個(gè)“死胡同”，教師的引導(dǎo)作用就充分體現(xiàn)了出來(lái)，組織學(xué)生觀察圓的面積與那個(gè)小正方形之間的關(guān)系，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)圓的面積與它半徑的平方之間的倍數(shù)關(guān)系范圍，提出了第二個(gè)猜想：圓的面積與它半徑的平方之間的倍數(shù)會(huì)不會(huì)是一個(gè)固定不變的數(shù)呢？學(xué)生再用圓的面積除以它半徑的平方，發(fā)現(xiàn)了商都是三倍多一點(diǎn)。提問(wèn)：據(jù)此，你又會(huì)有怎樣的猜想呢？學(xué)生提出了第三個(gè)猜想：圓的面積除以它半徑的平方的商，會(huì)是一個(gè)固定不變的數(shù)嗎？這個(gè)倍數(shù)是三倍多一點(diǎn)，會(huì)是圓周率嗎？至此，學(xué)生三次提出猜想，在迂回中不斷接近問(wèn)題的本質(zhì)。帶著猜想，學(xué)生把圓轉(zhuǎn)化成已知圖形，從而推導(dǎo)出圓的面積公式，驗(yàn)證了猜想。學(xué)生經(jīng)歷了推想、猜測(cè)、操作、轉(zhuǎn)化的過(guò)程，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探索方法，授之以漁，從而促進(jìn)推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。