深圳市坪山區(qū)坪山高級(jí)中學(xué)(518000) 王 菡

GeoGebra軟件起源于2002年薩爾茨堡大學(xué)MarkusHohenwarter的碩士論文項(xiàng)目,GeoGebra是結(jié)合幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、微積分的免費(fèi)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件.GeoGebra具有操作簡單,功能強(qiáng)大的特點(diǎn).GeoGebra界面有繪圖區(qū)、代數(shù)區(qū)、運(yùn)算區(qū)、表格區(qū)等,可以實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的深度融合.此軟件有電腦端、手機(jī)端,老師與學(xué)生可以隨時(shí)隨地利用軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,GeoGebra為師生共同參與數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)搭建平臺(tái).

函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的主線內(nèi)容,由于抽象性強(qiáng),高度符號(hào)化,變化靈活是高中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容.如果僅用傳統(tǒng)教學(xué)方式,學(xué)生接觸到的函數(shù)解析式與圖象是靜態(tài)的,對于參數(shù)變化引起的函數(shù)圖象變化,學(xué)生較難想象,對于函數(shù)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模過程也淺嘗輒止.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.”鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題.在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra軟件,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境,激發(fā)學(xué)生興趣;讓抽象的函數(shù)形象化,靜態(tài)的圖象動(dòng)態(tài)化,讓學(xué)生感知數(shù)與形之間的聯(lián)系;借助軟件展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的全過程,讓學(xué)生能夠用函數(shù)的視角解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題.

1 GeoGebra與Camtasia Studio整合的微課制作

Cam tasia Studio是一款專業(yè)的屏幕錄像軟件,它能夠記錄電腦屏幕動(dòng)作,包括影像、音效、鼠標(biāo)移動(dòng)軌跡、解說聲音等,另外,它可以對錄制視頻片段進(jìn)行剪接、添加特效等,并可以以多種常見格式輸出,是很好的制作微課工具.

利用GeoGebra強(qiáng)大的功能,可同時(shí)展示表格區(qū)與繪圖區(qū),做到數(shù)形結(jié)合;可以快速精準(zhǔn)的繪制函數(shù)圖象,也可以進(jìn)行函數(shù)擬合.此軟件使得函數(shù)具體化、形象化.Cam tasia Studio的屏幕錄制功能,可以完整展現(xiàn)知識(shí)生成的過程.深入挖掘教材后將兩者結(jié)合錄制微課,能夠?qū)旧系撵o態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)過程,幫助學(xué)生深入理解概念,形成以學(xué)生為中心的新課堂[1].

案例1指數(shù)函數(shù)模型的建立

材料選自人教版普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第一冊（2019版）4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念 問題1

教材內(nèi)容內(nèi)容分析:題設(shè)中給出的A,B兩地景區(qū)的從2001年至2015年的游客數(shù)量及增加人次的表格,其中A地是線性增長、B地是指數(shù)增長.這是引入指數(shù)函數(shù)的一個(gè)問題,學(xué)生尚未學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念,通過探究讓學(xué)生感知新的函數(shù)增長模型指數(shù)函數(shù),與此同時(shí),經(jīng)歷用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的步驟,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

微課結(jié)構(gòu):

(1)在GeoGebra中將A地景區(qū)、B地景區(qū)2001年至2015年的游客數(shù)量及增加人次輸入表格區(qū),并在繪圖區(qū)中形成散點(diǎn)圖;

(2)在GeoGebra中指數(shù)擬合B地景區(qū),線性擬合A地景區(qū)年份與游客數(shù)量之間的函數(shù)模型;

(3)在GeoGebra表格區(qū)中進(jìn)行運(yùn)算,構(gòu)建B地指數(shù)增長的函數(shù)解析式.

微課錄制:

啟動(dòng)Cam tasia Studio,點(diǎn)擊錄制按鈕開始錄制微課,打開GeoGebra軟件,按微課結(jié)構(gòu)展開并輔助以語言講解,錄制結(jié)束后按F10停止錄制,將錄制好的片段進(jìn)行剪輯,以MP4格式導(dǎo)出.

2 GeoGebra與函數(shù)圖象教學(xué)

函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)和進(jìn)一步理解其概念的重要載體,可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)生在函數(shù)圖象學(xué)習(xí)中會(huì)出現(xiàn)較難想象參數(shù)引起的函數(shù)圖象變化、函數(shù)圖象的平移與旋轉(zhuǎn)過程以及復(fù)雜的函數(shù)解析式對應(yīng)的圖象.通過GeoGebra平臺(tái)進(jìn)行函數(shù)圖象教學(xué),可以突破靜態(tài)的函數(shù)圖象教學(xué),直觀展示動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

2.1 函數(shù)圖象教學(xué)直觀化

案例2冪函數(shù)圖象

教學(xué)分析:冪函數(shù)中α的變化會(huì)引起函數(shù)圖象發(fā)生變化,影響冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì).冪函數(shù)教學(xué)通常通過具體實(shí)例,結(jié)合y=x,的圖象,理解冪函數(shù)的變化規(guī)律.通過GeoGebra制作出具有代表性的冪函數(shù)圖象并進(jìn)行動(dòng)態(tài)顏色設(shè)置.學(xué)生進(jìn)行深入探究可總結(jié)出當(dāng)α取一類值時(shí)對應(yīng)的函數(shù)特點(diǎn),如若且p,q都為奇數(shù),圖象形如y=x?1;若α＜0且α為偶數(shù),圖象形如y=x?2等.

制作過程:打開表格區(qū),在A1至A7分別輸入-2,-1,0,0.5,1,2,3;創(chuàng)建數(shù)值滑桿a,參數(shù)范圍[-5,10];在B1中輸入x?A1,右擊屬性中高級(jí)項(xiàng)卡,進(jìn)行動(dòng)態(tài)顏色設(shè)置,然后從B1拖至B7,即可形成冪函數(shù)圖象,如圖所示.

2.2 函數(shù)圖象教學(xué)動(dòng)態(tài)化

學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),難以將含有參數(shù)的解析式與動(dòng)態(tài)的函數(shù)圖象聯(lián)系起來,影響數(shù)學(xué)問題解決.傳統(tǒng)教學(xué)方式利用粉筆與黑板,只能畫出特定參數(shù)下靜態(tài)的函數(shù)圖象,圖象無法進(jìn)行平移旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)操作,變化過程反應(yīng)在老師的頭腦與語言講述中,很難直觀傳達(dá)給學(xué)生.GeoGebra平臺(tái)能夠進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,把圖象局部放大與縮小,平移與旋轉(zhuǎn),能夠描繪含參數(shù)函數(shù)解析式的變化,幫助學(xué)生感知函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)變化過程,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化的圖象中尋找解決問題的方法.

案例3指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)分析:指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)底數(shù)a的變化會(huì)引起函數(shù)圖象的變化,利用GeoGebra可以通過拉動(dòng)數(shù)值滑桿觀察動(dòng)態(tài)圖象.通過局部放大與縮小可以感知指數(shù)增長與對數(shù)增長的特點(diǎn).學(xué)生通過觀察動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象,從動(dòng)態(tài)圖象中抽象出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、過定點(diǎn)以及圖象增長特點(diǎn)等性質(zhì).符合學(xué)生先特殊后一般、先直觀后抽象的認(rèn)知特點(diǎn).

制作過程:在輸入?yún)^(qū)輸入y=a?x(y=log(a,x))后建立數(shù)值滑桿a,參數(shù)范圍[0,10],右擊函數(shù)圖象選擇開啟跟蹤,如圖所示

案例4由y=sinx變換至的兩條途徑的動(dòng)態(tài)演示.

教學(xué)分析:三角函數(shù)變換有先伸縮后平移和先平移后伸縮兩種途徑,通過GeoGebra軟件對于兩種變換方式的動(dòng)態(tài)演示,學(xué)生可以自主構(gòu)建三角函數(shù)變換的兩種平移方法,從而深入理解兩種方法的差異,運(yùn)用軟件可以幫助學(xué)生想象變化過程,發(fā)展學(xué)生直觀想象能力.

制作過程:

途徑1先平移后伸縮:輸入?yún)^(qū)輸入if[0＜x＜2π,sinx];建立數(shù)值滑桿t1,參數(shù)范圍[0,1];輸入?yún)^(qū)輸入u=(-π/3,0)得到向量u,輸入?yún)^(qū)輸入平移[f,u?t1]得到f1,拉動(dòng)滑桿t1可觀察到動(dòng)態(tài)平移效果;建立數(shù)值滑桿a,參數(shù)范圍[0,1/2];輸入去輸入伸壓[f_1,y軸,a],拖動(dòng)滑桿a,可觀察到動(dòng)態(tài)伸縮效果.

途徑2先伸縮后平移:輸入?yún)^(qū)輸入if[0＜x＜2π,sinx];建立數(shù)值滑桿b,參數(shù)范圍[0,1/2];輸入去輸入伸壓[f1,y軸,a],拖動(dòng)滑桿b,可觀察到動(dòng)態(tài)伸縮效果,建立數(shù)值滑桿t2,參數(shù)范圍[0,1];輸入?yún)^(qū)輸入v=(-π/6,0)得到向量v,輸入?yún)^(qū)輸入平移[f,v?t2]得到f2,拉動(dòng)滑桿t2可觀察到動(dòng)態(tài)平移效果.

2.3 函數(shù)圖象教學(xué)多元化

數(shù)學(xué)表征分為言語化表征和視覺化表征兩大類,言語化表征主要指數(shù)學(xué)文字、符號(hào)、公式、定理等,視覺化表征主要指數(shù)學(xué)中的圖象、表格、組織圖等[2].數(shù)學(xué)概念有一種或多種表征方式,在教學(xué)中綜合多種表征方式,注重“數(shù)”與“形”的結(jié)合,幫助學(xué)生建立不同表征方式間的意義聯(lián)系,有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí).GeoGebra平臺(tái)有繪圖區(qū)、代數(shù)區(qū)等多個(gè)窗口,可以實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合深入分析函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì).

案例5函數(shù)奇偶性

教學(xué)分析:函數(shù)的奇偶性有“數(shù)”與“形”兩種表征方式,通過GeoGebra中軸對稱和旋轉(zhuǎn)功能的動(dòng)態(tài)演示可以從“形”的角度感知函數(shù)奇偶性.通過GeoGebra中工作表中數(shù)據(jù)的展現(xiàn)和圖象上對稱兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,學(xué)生可以從“數(shù)”的角度感知函數(shù)奇偶性.通過數(shù)、形兩個(gè)角度,學(xué)生建立函數(shù)奇偶性的概念在教學(xué)中對概念進(jìn)行多元表征,結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.

制作過程:以奇函數(shù)為例,在視圖區(qū)打開繪圖區(qū)2和工作表;在輸入?yún)^(qū)輸入f(x)=圖象顯示在繪圖區(qū)2,g(x)=x圖象顯示在繪圖區(qū)1;在工作表A2至A8輸入-3,-2,-1,0,1,2,3,在B2輸入g(A2)并下拉至B8,在C2輸入f(A2)并下拉至C8;在輸入?yún)^(qū)輸入右擊屬性顏色設(shè)置為紅色;新建參數(shù)角度α,最小值0°最大值180°,在輸入?yún)^(qū)輸入旋轉(zhuǎn)[h,α,(0,0)],拖動(dòng)滑桿α即可觀察到函數(shù)圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°.

3 GeoGebra與探究式教學(xué)

探究式教學(xué)是指在教師創(chuàng)設(shè)的特定的教學(xué)環(huán)境下,讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、合作探究,主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展探究能力的一種教學(xué)方式[3].隨著現(xiàn)代信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂,為數(shù)學(xué)探究提供了良好的基礎(chǔ),學(xué)生可借助于信息技術(shù)自主探究解決數(shù)學(xué)問題,實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體的探究式教學(xué)方式.GeoGebra可以擬合函數(shù)曲線構(gòu)建函數(shù)模型,可以進(jìn)行含參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象繪制,為學(xué)生的探究搭建數(shù)學(xué)平臺(tái),發(fā)展學(xué)生自主探究能力和創(chuàng)新精神.

案例6二次函數(shù)最值問題

教學(xué)分析:二次函數(shù)最值是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,由于二次函數(shù)單調(diào)性在對稱軸處發(fā)生改變,其最值可能在端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得,學(xué)生若想突破二次函數(shù)最值問題,需要建立動(dòng)態(tài)二次函數(shù)模型,理解參數(shù)變化引致的二次函數(shù)最值變化,學(xué)生利用GeoGebra平臺(tái),可自主構(gòu)建函數(shù)模型,觀察參數(shù)變化引起的二次函數(shù)對稱軸變化或區(qū)間變化,進(jìn)而引起的最值改變,通過小組合作交流解決二次函數(shù)最值問題.

探究問題:請利用GeoGebra軟件,小組合作完成以下問題:

(1)(定軸定區(qū)間)函數(shù)y=-x2+4x-2在區(qū)間[0,1]上的最值;在區(qū)間[0,3]上的最值.

(2)(定軸動(dòng)區(qū)間)函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[t,t+1]上的最值.

(3)(動(dòng)軸定區(qū)間)函數(shù)y=x2+ax+2在區(qū)間[-1,1]上的最值.

案例7淘寶雙11銷售量函數(shù)模型

教學(xué)分析:數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)的方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模能夠讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)間的聯(lián)系,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)踐中的問題,GeoGebra平臺(tái)可以進(jìn)行函數(shù)擬合,幫助學(xué)生建立合理的數(shù)學(xué)模型,利用技術(shù)工具更好的解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題.

探究案例:2009年開始淘寶開始每年的雙11購物節(jié),根據(jù)天貓官方公布數(shù)據(jù),2009年雙11成交額為0.52億元,2018年時(shí)雙11成交額為2135億元,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立淘寶雙11購物節(jié)的銷售額增長模型,并據(jù)此模型預(yù)測天貓2019年雙11銷售額.

年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018銷售額(億元)0.52 9.36 52 191 350 571 912 1207 1682 2135

方案1:如圖所示,GeoGebra中輸入fitexp[點(diǎn)列1]進(jìn)行指數(shù)擬合,擬合后函數(shù)為f(x)=2.22·e0.8x,但是觀察圖象,擬合效果不佳;

方案2:如圖所示,GeoGebra中輸入fitpoly[點(diǎn)列1,3]進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合,擬合后函數(shù)為f(x)=0.16x3+27.52x2-82.28x+56.99,擬合效果好,預(yù)測2019年天貓雙11銷售額為f(11)=2688.95,而2019年天貓實(shí)際銷售額為2684億元,模型具有較好的預(yù)測效果.

利用GeoGebra進(jìn)行函數(shù)教學(xué),其操作簡便,功能強(qiáng)大,可以快速繪制函數(shù)圖象,顯示動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象,進(jìn)行函數(shù)平移旋轉(zhuǎn)等一些列動(dòng)態(tài)操作,依據(jù)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合,為數(shù)學(xué)建模提供技術(shù)輔助,為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)建模平臺(tái).在用軟件進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中提升了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),幫助學(xué)生化難為易、化繁為簡進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí).