浙江省余姚市第四中學(315400) 符欽滎

近日,我市教研室組織了優(yōu)質(zhì)課評比,課題選擇了“離散型隨機變量”第一課時,并要求各位選手在教學過程中充分體現(xiàn)“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng),這便給選手老師們(以下簡稱ABCDE)設置了很多難度.本人有幸擔任了這一活動的評委,通過五位老師精彩的課堂教學展示后,對這節(jié)課和“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)陷入了沉思.

1 先發(fā)制人,亮在引入

除一位老師外,每位老師均以射擊作為新課引入,而其中三位老師竟不約而同地選擇了方案一:

B、C、E老師(方案一):2008年北京奧運會男子50米步槍3×40決賽如期舉行,舉世矚目的美國選手馬修埃蒙斯在該比賽的前九槍中成績?nèi)缦?

第幾槍1 2 3 4 5 6 7 8 9 10環(huán) 數(shù)9.7 10.2 10.5 10.1 10.5 10.0 10.1 10.1 9.8?

當時的情形是如果最后一槍打出7.7環(huán),則可立馬拿下金牌,勝利如此接近,只需扣動扳機,同學們你們猜,他打了多少?

答案是4.4環(huán),僅獲第四,無緣獎牌,而中國選手邱健最終穩(wěn)定拿下金牌.

A老師(方案二):2020年東京奧運會男子射擊比賽等待選拔,以下是兩位選手的平時射擊成績統(tǒng)計,你會派誰去參加呢?

命中環(huán)數(shù)7 8 9 10甲中率50%5%40%5%乙中率10%80%10%0

學生一:選擇甲,7環(huán)加9環(huán)的概率已達90%,平均一下相當于8環(huán)很容易拿,同時又有機會拿下10環(huán).

學生二:選擇乙,穩(wěn)定性好,整體上比甲優(yōu)秀.

點評:良好的引入,成功的一半.事實上一節(jié)較為成功的課,引入總是那么的出彩,好的引入可以讓學生在腦海中產(chǎn)生隨機變量這一概念,從一開始便長驅(qū)直入,找到中心概念,使抽象的數(shù)學不抽象.

2 齊頭并進,析出概念

五位老師均通過實例對比得到隨機變量的概念,這里選取兩位老師的設計.

A老師:如何將下列問題中的結(jié)果數(shù)量化?

①某遠動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù);

②擲一枚骰子的點數(shù);

③拋一枚硬幣的結(jié)果;

④一個袋子中有2個紅球,2個黃球,3個黑球,隨機摸一個球,它的顏色.

①:

環(huán) 數(shù)0 環(huán)1 環(huán)2 環(huán)3 環(huán)4 環(huán)5 環(huán)6 環(huán)7 環(huán)8 環(huán)9 環(huán)10環(huán)X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

②:

向上點數(shù)1點2點3點4點5點6點Y 1 2 3 4 5 6

③:

拋硬幣正面向上反面向上ξ 1 0

④:

球顏色紅色黃色綠色η 1 2 3

(例④中有學生說數(shù)字填223或者423,教師指出和個數(shù)無關).

師:像這種隨試驗結(jié)果變化而變化的變量,叫做隨機變量.

PPT展示:

C老師:

50m三姿射擊比賽 擲骰子出現(xiàn)點數(shù) 種了三棵樹苗命中0環(huán)命中0.1環(huán)...命中10.9環(huán)出現(xiàn)1點出現(xiàn)2點出現(xiàn)3點出現(xiàn)4點出現(xiàn)5點出現(xiàn)6點成活0棵成活1棵成活2棵成活3棵

師(歸納):

1、以上試驗中,均確立了一個對應關系.

2、使每一個試驗結(jié)果都可用一個確定的數(shù)表示.

3、在這個對應關系下,數(shù)字隨著試驗結(jié)果變化而變化.

定義:我們將這樣的隨著試驗結(jié)果變化而變化的量稱為“隨機變量”,常用字母X、Y、ξ、η表示.

再次提問:隨機變量與函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系?(關系圖與A老師一樣).

點評:兩位老師均是通過實際例子引出“隨機變量”的定義,A老師直接要求學生將變量數(shù)字化,C老師則是直接提示數(shù)字早已在實際生活中使用開來,各有優(yōu)點.數(shù)學抽象這一素養(yǎng)強調(diào)學生要養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣,才能把握事物的本質(zhì),所以幾位老師均未脫離生活本質(zhì),同時也將概念清晰化地展現(xiàn)在學生腦海之中.

3 穿越火線,反復類比

A老師:同學們看一下以下幾個實例:①—④同之前的例子.

⑤某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù);

⑥某人在進行射擊訓練中第一次中靶時的射擊次數(shù);

⑦明天的降雨量;

⑧電燈泡的壽命.

PPT展示:

⑤X1=0,1,2,...,n,...,n∈??;

⑥Y1=1,2,...,n,...,n∈??;

⑦ξ1∈[0,+∞);

⑧η1∈[0,+∞).

師問:觀察以上8個例子,你可以怎么對其歸類呢?

那么非離散型的隨機變量能否轉(zhuǎn)化呢?

例⑧改編:如果規(guī)定壽命在1500小時以上的燈泡為一等品,壽命在1000-1500小時之間的為二等品,壽命在1000小時以下的為不合格品,你可以怎么定義這個隨機變量?

B老師:下列各個量中,哪些是隨機變量,哪些不是?

①一條高速公路上一小時內(nèi)經(jīng)過某收費站的車輛數(shù);

②標準大氣壓下,水沸騰的溫度;

③某城市一天中發(fā)生火警出警的總次數(shù);

④體積64平方米的正方體棱長;

⑤從含有10件次品的100件產(chǎn)品中,任意抽取10件,可能含有的次品數(shù);

⑥袋子中大小完全相同的紅球5只,編號1,2,3,4,5,現(xiàn)從中隨機取出3只球,被取出球的最大號碼?

師:除②④為常量外,其余均是,讓我們再來看看⑦⑧.

⑦某林場樹木最高達30米,最低0.5米,此林場中樹木的高度;

⑧某品牌的電燈泡壽命.

師:答案分別是[0.5,30]和[0,+∞).

離散型隨機變量:所有取值可以一一列出的隨機變量.

那么,如果我們僅關心電燈泡使用壽命X是否不少于1000小時,怎么賦予實際意義呢?

點評:數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)反映在從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學語言予以表征.以上例子選取十分形象有特色,并且形成了從實際語言走向數(shù)學語言的過渡,使學生抽象出了隨機變量這一概念,并理解離散型與非離散型隨機變量之間的關系.

4 戰(zhàn)略反攻,完美收官

A老師:回顧剛才的擲骰子問題.

問題1:若只關心擲出的點數(shù)為6,該如何定義此隨機變量Y?

問題2:若只關心擲出點數(shù)的奇偶性,又該如何定義隨機變量Z?

問題3:你還能怎么定義這個問題中的新的隨機變量?

D老師:我們班有50位同學吧?我隨便抽一個1-9的數(shù)字,然后,我們來看學號以這個數(shù)字為個位的同學中戴眼鏡的同學有幾位?

結(jié)論:人數(shù)總在0,1,2,3,4,5之間取值.

如果我們把戴眼鏡人數(shù)叫做X,那么:

點評:數(shù)學抽象的水平要求中就有一點,學生能否用恰當?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學概念和規(guī)則,理解數(shù)學命題的條件與結(jié)論,能夠理解和構(gòu)建相關數(shù)學知識之間的聯(lián)系.所以幾位老師都能尋找新穎的例子在臨近下課時段重新點燃學生學習數(shù)學的火花,使得冷冰冰的數(shù)學概念不再抽象,有了例子對它的呵護,學生便能牢牢地記住這節(jié)課的重點,把握住這節(jié)課的重心.

5 回憶戰(zhàn)斗,教學反思

“離散型隨機變量”這一節(jié)課不少老師反映十分難上,有的老師認為這節(jié)課內(nèi)容太少,不需要花45分鐘時間,可以提前講完再講下一節(jié)課時,事實上是對“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)缺少認知,素養(yǎng)要求學生能夠用恰當?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學概念和規(guī)則,理解數(shù)學命題的條件和結(jié)論,能夠理解和構(gòu)建相關數(shù)學知識之間的聯(lián)系.從而對一個數(shù)學概念,讓學生初步了解它很容易,難的是有著自己獨到的觀點,所以這次優(yōu)質(zhì)課的評比是非常好的機會,五位老師各盡所能,力圖將“隨機變量”的特點清晰地展示給學生,其例子的選擇與問題的設置都引發(fā)了我們深深的思考.