寧夏回族自治區(qū)銀川市第二十四中學(xué)(750004) 劉建國(guó)

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的核心素養(yǎng)之一.它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)[1].

新形勢(shì)下,基于直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)培育的教學(xué)實(shí)踐對(duì)學(xué)生個(gè)體未來(lái)的可持續(xù)發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.下面,以“平面、直線與球面的位置關(guān)系”為例,分享筆者的教學(xué)實(shí)踐與思考.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修3-3》(人教B版)第一章第2節(jié).

教材在類比直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,給出了直線與球面的位置關(guān)系及平面與球面的位置關(guān)系,利用類比的方法探索球冪定理的向量證明過(guò)程,為后續(xù)進(jìn)一步探索球的有關(guān)性質(zhì)作準(zhǔn)備.作為本章的起始內(nèi)容,平面、直線與球面的位置關(guān)系承前啟后,即為球面幾何的研究對(duì)象提供了直觀模型,也為后續(xù)內(nèi)容如“球面上兩點(diǎn)間的距離和球面直線”、“球面角”等知識(shí)的學(xué)習(xí)作好知識(shí)儲(chǔ)備.

本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)任務(wù)主要是類比學(xué)習(xí)平面、直線與球面的位置關(guān)系,在合作探究過(guò)圓外(內(nèi))一點(diǎn)的所有割(切)線存在內(nèi)在的一致性規(guī)律的基礎(chǔ)上,由特殊到一般形成圓冪的概念,進(jìn)而得到圓冪定理.在此基礎(chǔ)之上引導(dǎo)學(xué)生多角度探索圓冪定理的證明方法,并將點(diǎn)關(guān)于圓的冪及圓冪定理進(jìn)行類比,探索球冪定理的不同證明方法.

教學(xué)重點(diǎn):平面、直線與球面的位置關(guān)系、圓冪及圓冪定理的證明與推廣.

突出重點(diǎn)的手段:教師在教學(xué)過(guò)程中要善于捕捉學(xué)生情感的興奮點(diǎn),激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想,積極探索,以積極的評(píng)價(jià),促使他們知難而進(jìn).另外,借助幾何直觀及動(dòng)態(tài)演示,從學(xué)生已有的認(rèn)知水平和知識(shí)基礎(chǔ)入手,在以學(xué)生為主體的前提下教師給以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

1.2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是:理解球面和平面以及直線的位置關(guān)系,理解球面被平面所截成的曲線是一個(gè)圓,了解球冪定理及其向量證法.依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》并結(jié)合本節(jié)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)情,將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為:

1)結(jié)合具體實(shí)物模型能準(zhǔn)確說(shuō)出平面、直線與球面的位置關(guān)系,并與直線與圓的位置關(guān)系從共性及差異等方面進(jìn)行類比,為后續(xù)關(guān)于球冪的概念及球冪定理的學(xué)習(xí)做鋪墊;

2)在多角度探究割線定理、相交弦定理、切割線定理的證明方法的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,落實(shí)直觀想象素養(yǎng)培育;

3)在合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中感受類比學(xué)習(xí)的思維特點(diǎn),體會(huì)特殊與一般的關(guān)系.

1.3 學(xué)生學(xué)情分析

在必修2(人教A版)關(guān)于空間幾何體及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生已具備相關(guān)模型的直觀經(jīng)驗(yàn).但平面幾何中的割線定理、相交弦定理、切割線定理等內(nèi)容不作為教學(xué)內(nèi)容講授,學(xué)生沒(méi)有相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備,同時(shí),學(xué)生類比學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)不夠豐富,自身缺乏從幾何背景中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的意識(shí)和能力,思維也不夠縝密,尤其在關(guān)于冪的概念的建構(gòu)過(guò)程中存在困難,再加上對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的要求較高,這就容易導(dǎo)致學(xué)生在探究、證明的過(guò)程中思維不開(kāi)闊,知識(shí)間的聯(lián)系沒(méi)有形成脈絡(luò).因此,冪的概念的建構(gòu)、圓冪定理的探究、證明及類比推廣需要學(xué)生間的合作及教師的引導(dǎo).

教學(xué)難點(diǎn):冪的概念的建構(gòu)、圓冪定理的探究、證明及類比.

突破難點(diǎn)的策略:推理與證明是學(xué)生的薄弱方面.教學(xué)過(guò)程中主要通過(guò)設(shè)置問(wèn)題情境,把一般位置特殊化、空間問(wèn)題平面化,在類比、轉(zhuǎn)化的過(guò)程中啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)闊思維,促進(jìn)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷深化對(duì)冪的概念的理解及相關(guān)定理的類比、探究.

1.4 教學(xué)策略分析

本節(jié)課采用引導(dǎo)探究式的課堂教學(xué)模式,即在教學(xué)過(guò)程中,在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,以學(xué)生獨(dú)立自主、合作交流為前提,以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境,以“不同角度的類比學(xué)習(xí)”為基本線索,為學(xué)生提供充分的自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì),讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng),在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維,逐步培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng).

為充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體作用,結(jié)合教學(xué)實(shí)際,本節(jié)課將具體落實(shí)如下環(huán)節(jié):

1)通過(guò)演示試驗(yàn),利用正方體與球的切接關(guān)系讓學(xué)生感受平面、直線與球面的位置關(guān)系,并描述相關(guān)概念,促進(jìn)直觀想象的轉(zhuǎn)化;

2)以平面幾何中過(guò)圓外一點(diǎn)的割線被分割的線段長(zhǎng)之間是否有內(nèi)在的聯(lián)系為問(wèn)題的起點(diǎn)展開(kāi)探究活動(dòng),由特殊位置的割線段滿足的規(guī)律啟發(fā)學(xué)生形成概念,引導(dǎo)學(xué)生多角度探索圓冪定理的證明方法并進(jìn)行推廣得到球冪定理,在類比學(xué)習(xí)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力和邏輯推理能力;

3)在研究過(guò)程中,充分利用信息技術(shù)輔助教學(xué),有效促進(jìn)探究活動(dòng)的開(kāi)展.

1.5 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1)創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題

活動(dòng)一:觀察生活中的實(shí)例(如圖1),說(shuō)明平面與球面及直線與球面的位置關(guān)系有哪些?如何理解這幾種位置關(guān)系呢?你是用什么方法得到的?

圖1 正方體與球的切接關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖:啟發(fā)學(xué)生從生活中尋找平面與球面及直線與球面的位置關(guān)系的實(shí)例.在學(xué)生動(dòng)手“吹氣球模擬演示正方體與球的切接關(guān)系”的過(guò)程中描述出相應(yīng)的平面與球面及直線與球面的位置關(guān)系,并通過(guò)和直線與圓的位置關(guān)系的類比進(jìn)行抽象概括,啟發(fā)學(xué)生通過(guò)類比展開(kāi)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí).同時(shí),有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2)啟發(fā)引導(dǎo),形成概念

平面、直線與球面的位置關(guān)系(如圖2)

圖2 平面、直線與球面的位置關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)與“直線與圓的位置關(guān)系”的類比概括平面與球面及直線與球面的位置關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上借助幾何直觀完善相關(guān)概念及判斷條件.

思考與討論:過(guò)球面上一定點(diǎn)的所有球面的切線的集合,構(gòu)成什么樣的圖形?定點(diǎn)若在球面外呢?(如圖3)

圖3 直線與球面相切

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)“直線與球面位置關(guān)系”與“平面、直線與球面位置關(guān)系”在差異性方面的類比加深對(duì)位置關(guān)系本質(zhì)的理解,培養(yǎng)學(xué)生理性思維,促進(jìn)學(xué)生形成對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思的意識(shí)和習(xí)慣.

探索與研究:有關(guān)圓的許多性質(zhì)都可通過(guò)類比推廣到球面上來(lái).請(qǐng)同學(xué)們自行探索與研究,看看有哪些圓的性質(zhì)可推廣到球面上來(lái).

設(shè)計(jì)意圖:這個(gè)問(wèn)題具有很強(qiáng)的開(kāi)放性,期望學(xué)生從位置關(guān)系、度量關(guān)系等方面進(jìn)行類比推廣,在辨析的過(guò)程中加深對(duì)球面幾何相關(guān)性質(zhì)的直觀理解.

問(wèn)題1:你能證明圖4中的結(jié)論嗎?(學(xué)生自己獨(dú)立完成)

預(yù)設(shè):學(xué)生容易想到通過(guò)構(gòu)造相似三角形的方法進(jìn)行證明.(利用實(shí)物投影儀展示學(xué)生的成果,目的是訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維,同時(shí)使學(xué)生有成就感.)

圖4 直線與圓相交

問(wèn)題2:在割線定理、相交弦定理中,PA·PB=PC·PD=?

設(shè)計(jì)意圖:啟發(fā)學(xué)生在證明圖4結(jié)論的過(guò)程中重新對(duì)割線定理、相交弦定理、切割線定理等進(jìn)行深入探索并利用“幾何畫板”進(jìn)行測(cè)量驗(yàn)證.

問(wèn)題3:過(guò)已知P點(diǎn)的割線有哪些位置比較特殊?

設(shè)計(jì)意圖:啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特殊位置的割線進(jìn)行分析,從而對(duì)刻畫P點(diǎn)相對(duì)于圓O的量PO2-r2有直觀的感知,為定義點(diǎn)相對(duì)于圓的冪提供幾何直觀依據(jù),落實(shí)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng).

定義1一般地,對(duì)于已知點(diǎn)P和半徑為r的圓O,我們稱:k=PO2-r2為點(diǎn)P關(guān)于圓O的冪(簡(jiǎn)稱為圓冪).

圖5 圓的冪

注:1○PO2-r2=(PO+r)·(PO-r);

2○P在圓O外?k＞0;P在圓O內(nèi)?k＜0;P在圓O上?k=0.

3)直觀感受,討論探究

思考:結(jié)合圓冪的意義,比較割線定理、相交弦定理及切割線定理三個(gè)結(jié)論,它們有沒(méi)有內(nèi)在的聯(lián)系呢?

設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合圓冪的概念,將割線定理、相交弦定理及切割線定理三者通過(guò)“隱藏”在其中的圓冪聯(lián)系在一起,從而揭示出共點(diǎn)切割線的內(nèi)在聯(lián)系,這有利于促進(jìn)學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的提升.

圓冪定理已知圓O的半徑為r,通過(guò)一定點(diǎn)P作圓O的任意一條割線,交圓O于A、B兩點(diǎn),則PA·PB=

活動(dòng)二:通過(guò)類比,概括點(diǎn)關(guān)于球的冪的概念.

設(shè)計(jì)意圖:啟發(fā)學(xué)生通過(guò)類比學(xué)習(xí)新知,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

圖6 圓冪定理

定義2一般地,對(duì)于已知點(diǎn)P和半徑為r的球O,我們稱:k=PO2-r2為點(diǎn)P關(guān)于球O的冪(簡(jiǎn)稱為球冪).

圖7 球的冪

注:①PO2-r2=(PO+r)·(PO-r);

②P在圓O外?k＞0;P在圓O內(nèi)?k＜0;P在圓O上?k=0.

探索與研究:球冪定理的發(fā)現(xiàn)及其證明.

預(yù)設(shè):①類比圓冪定理進(jìn)行抽象概括,學(xué)生獨(dú)立完成并展示,其目的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比方法展開(kāi)學(xué)習(xí)的意識(shí)和邏輯推理能力;

②引導(dǎo)學(xué)生將空間問(wèn)題平面化進(jìn)行證明并啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想解析幾何中坐標(biāo)法及向量工具進(jìn)行探究證明;

球冪定理已知球O的半徑為r,通過(guò)一定點(diǎn)P作球O的任意一條割線,交球O于A、B兩點(diǎn),則PA·PB=

圖8 球冪定理

注:球冪定理的三種形式:

圖9 球冪定理的三種形式

4)自我嘗試,靈活運(yùn)用

應(yīng)用舉例:證明:一個(gè)球的球心在它的小圓截面內(nèi)的射影是這個(gè)小圓的圓心.

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的方法進(jìn)行推理、證明,這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

和靈活性,有利于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力,同時(shí)為持續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

5)課堂小結(jié)

①本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?

②我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程?

③你有哪些體會(huì)?

(學(xué)生發(fā)言,互相補(bǔ)充,并引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)調(diào)指出本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想與方法,如類比的方法、轉(zhuǎn)化的思想等)

圖10 小結(jié)

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)層面提煉概括對(duì)球冪定理及其證明的探究過(guò)程,積累類比學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

2 教后反思

基于核心素養(yǎng)培育的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐,注重創(chuàng)設(shè)適切的教學(xué)情境,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象的思維過(guò)程,學(xué)生參與充分,學(xué)習(xí)高效,體現(xiàn)學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)培育的教學(xué)追求.

2.1 目標(biāo)闡述全面,指向核心素養(yǎng)的培育

某種意義上講,教學(xué)目標(biāo)準(zhǔn)確、全面、具體比教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程的選擇和設(shè)計(jì)更為重要,因?yàn)樗墙虒W(xué)的內(nèi)容和過(guò)程設(shè)計(jì)的前提和最終追求,也只有做到了教學(xué)目標(biāo)的準(zhǔn)確、全面、具體,才能為教師教的行為和學(xué)生學(xué)的行為提供清晰的導(dǎo)向.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)既關(guān)注了數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的落實(shí),又重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透以及直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的培育,突出體現(xiàn)了學(xué)科核心素養(yǎng)的育人價(jià)值.

2.2 過(guò)程設(shè)計(jì)合理,體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握

球冪定理的發(fā)現(xiàn)及其證明是本節(jié)課的重、難點(diǎn).教學(xué)之初,通過(guò)三個(gè)系列問(wèn)題層層遞進(jìn),使得圓冪的概念自然生成.思考問(wèn)題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探索“隱藏”在割線定理、相交弦定理及切割線定理三者之中的內(nèi)在聯(lián)系,從而揭示出圓的共點(diǎn)切割線的本質(zhì)規(guī)律.作為類比的基礎(chǔ),通過(guò)活動(dòng)二,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究球冪定理及其證明方法,新知識(shí)獲得自然生長(zhǎng).

2.3 內(nèi)容組織優(yōu)效,注重思維過(guò)程的教學(xué)

“教師即課程”強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)有課程意識(shí),理解教材編寫意圖,創(chuàng)新使用教材,做好教材編寫者與學(xué)習(xí)者溝通的橋梁,使預(yù)設(shè)的課程轉(zhuǎn)化為創(chuàng)生的課程.教師應(yīng)基于教材,設(shè)計(jì)“思維過(guò)程的教學(xué)”,這個(gè)過(guò)程是學(xué)生在教師啟發(fā)下積極主動(dòng)地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維過(guò)程,以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為載體,以恰時(shí)、恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng),努力使學(xué)生經(jīng)歷完整的“獲得對(duì)象——研究性質(zhì)——應(yīng)用拓展”過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

2.4 導(dǎo)學(xué)問(wèn)題引領(lǐng),強(qiáng)調(diào)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)功能強(qiáng)的導(dǎo)學(xué)問(wèn)題[3].旨在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理的導(dǎo)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,特別是已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).積累類比學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一.本節(jié)課以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)教學(xué),注重概念建構(gòu)、定理探究的思維過(guò)程引導(dǎo),有效促進(jìn)了學(xué)生不斷形成和鞏固新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

眾所周知,數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和核心素養(yǎng)生長(zhǎng)的土壤[4].而“直觀”是人與生俱來(lái)的本能,它猶如“種子”,需要適當(dāng)?shù)呐嘤拍馨l(fā)芽、生長(zhǎng).反思本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)實(shí)踐過(guò)程,一些環(huán)節(jié)展開(kāi)不夠充分、學(xué)生思維活動(dòng)的深刻性尚顯不足,這將是今后改進(jìn)教學(xué)、促進(jìn)高效學(xué)習(xí)的主要方面,筆者也將繼續(xù)秉承“以學(xué)生發(fā)展為本、立德樹(shù)人、提升素養(yǎng)”的理念,為每一?！胺N子”創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的培育環(huán)境.