丁媛媛 費(fèi)嶺峰

摘? ? 要

HPM是研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，發(fā)揮數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值，積極探尋將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的方式。人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)的產(chǎn)生”是比較典型的“數(shù)學(xué)史”學(xué)習(xí)內(nèi)容。教學(xué)時(shí)，從重循發(fā)展之路、重構(gòu)認(rèn)知之序、重歷規(guī)則之美三個(gè)方面著手精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的重構(gòu)體驗(yàn)，為數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)的契合提供思路。

關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)史 認(rèn)知規(guī)律 知識(shí)脈絡(luò) 思想方法

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），即研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系。早在19世紀(jì)，一些數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家就開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值。如美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎認(rèn)為“學(xué)生所遭遇的往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思索和探討后所克服的實(shí)際困難”，所以數(shù)學(xué)史為教學(xué)提供了一面鏡子，是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效工具[1]?，F(xiàn)使用的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中，也有一些借助數(shù)學(xué)史知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的內(nèi)容，比如人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)的產(chǎn)生”一課，便是較為典型的內(nèi)容。

當(dāng)然，在實(shí)踐中，數(shù)學(xué)史內(nèi)容的教學(xué)不能僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)情感、動(dòng)機(jī)視角和激勵(lì)因素上，而且需要有對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位。學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與古代數(shù)學(xué)家的認(rèn)識(shí)相似，對(duì)某些概念理解上的困難與歷史上數(shù)學(xué)家遭遇的障礙一致，所以數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)方式需要體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)體驗(yàn)的意義與價(jià)值[2]?，F(xiàn)以人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)的產(chǎn)生”一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)史有效地融入課堂教學(xué)之中的一些實(shí)踐與思考。

一、重循發(fā)展之路，形成認(rèn)知規(guī)律

數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“若想預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀?！蔽覀?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，如果不知道知識(shí)的由來(lái)，那就無(wú)法體會(huì)到知識(shí)產(chǎn)生的必要性和存在的價(jià)值，也無(wú)法正確地理解和運(yùn)用。所以，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)明或發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程，經(jīng)歷知識(shí)形成的來(lái)龍去脈，也就是重走數(shù)學(xué)知識(shí)的形成之路，鼓勵(lì)學(xué)生去探索、歸納、概括、交流和內(nèi)化，不僅順應(yīng)兒童好奇心重的心理特點(diǎn)，而且在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中能感受知識(shí)產(chǎn)生的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主建構(gòu)知識(shí)的積極性。

教材通過(guò)簡(jiǎn)單的3幅圖，展示了原始人的記數(shù)方法，隨后簡(jiǎn)單說(shuō)明了數(shù)字產(chǎn)生的緣由，并列舉了3種古代數(shù)字來(lái)揭示數(shù)字的發(fā)展，這樣的學(xué)習(xí)資源是靜態(tài)的、貧乏的，缺乏生動(dòng)性和思考性，學(xué)生的學(xué)習(xí)并不能深入和產(chǎn)生共鳴。實(shí)踐中，我們進(jìn)行了一定的補(bǔ)充和修改，讓教材上靜態(tài)的圖片結(jié)合技術(shù)變成動(dòng)畫(huà)的情境圖：

出示幾幅原始人的生活場(chǎng)景圖，并引導(dǎo)：在遠(yuǎn)古時(shí)代，我們的祖先為了生存，需要打獵和放牧，每次捕到獵物需要知道捕獲的數(shù)量，他們需要數(shù)數(shù)，記錄數(shù)的多少，你知道他們用的是什么方法嗎？

結(jié)合學(xué)生的猜測(cè)、議論，依次呈現(xiàn)教材上的“用實(shí)物記數(shù)”“刻道記數(shù)”與“結(jié)繩記數(shù)”等情境，然后繼續(xù)描述：隨著打獵水平越來(lái)越高，獵物也越來(lái)越多，繼續(xù)用這樣的記數(shù)方式，你有什么想法？

是的，就是因?yàn)楹苈闊?，慢慢的這樣的方法就被淘汰了，后來(lái)隨著語(yǔ)言的發(fā)展，人們發(fā)明了一些符號(hào)來(lái)記數(shù)，這些記數(shù)的符號(hào)就是最初的數(shù)字，呈現(xiàn)不同國(guó)家的記數(shù)符號(hào)。

繼續(xù)引導(dǎo)：由于每個(gè)國(guó)家的文化背景不同，所以各國(guó)的數(shù)字也不一樣。你對(duì)采用不同的符號(hào)記數(shù)有什么想法？隨著社會(huì)的發(fā)展，人們需要進(jìn)行商品交易，數(shù)字不同很不方便，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間逐漸統(tǒng)一成現(xiàn)在的“阿拉伯?dāng)?shù)字”。阿拉伯?dāng)?shù)字是誰(shuí)發(fā)明的呢？教師對(duì)“阿拉伯?dāng)?shù)字的產(chǎn)生和流傳”的故事稍作展開(kāi)。

最后再次發(fā)問(wèn)：了解了“數(shù)”走過(guò)的路，你有什么想法和感受？

在教學(xué)過(guò)程中，教師運(yùn)用多媒體呈現(xiàn)資料，把靜態(tài)的教材變成動(dòng)態(tài)的、豐富的學(xué)習(xí)資源，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得豐盈有趣，并通過(guò)4個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的精心設(shè)問(wèn)和適時(shí)追問(wèn)，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，把學(xué)生的思維引向深入。讓學(xué)生在觀(guān)察、思考與交流中，解決“是什么”“為什么”的問(wèn)題，切實(shí)體會(huì)到“‘?dāng)?shù)是隨人類(lèi)生活、生產(chǎn)及社會(huì)的發(fā)展，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的由具體到抽象，逐步發(fā)展和完善的歷史過(guò)程”[3]。在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生一次次解決問(wèn)題，又一次次面臨挑戰(zhàn)，重走了古人的數(shù)學(xué)思考之路，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)更好地理解和掌握。

二、重構(gòu)認(rèn)知之序，厘清知識(shí)脈絡(luò)

許多數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展常常經(jīng)歷比較長(zhǎng)的歷史過(guò)程，“數(shù)”的產(chǎn)生也是如此。人類(lèi)的智慧是從計(jì)數(shù)開(kāi)始的，數(shù)的出現(xiàn)意味著數(shù)學(xué)的起源。在這個(gè)歷史過(guò)程中，會(huì)有一些關(guān)于這一數(shù)學(xué)知識(shí)整個(gè)發(fā)展過(guò)程的關(guān)鍵階段，這些標(biāo)志性的階段是人類(lèi)認(rèn)識(shí)這一數(shù)學(xué)知識(shí)的必經(jīng)過(guò)程[4]。龐加萊指出：“教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過(guò)某些階段而不跳躍任何階段?！睂W(xué)生個(gè)體的心理過(guò)程和人類(lèi)的認(rèn)識(shí)過(guò)程是對(duì)應(yīng)的，在教學(xué)中可以借鑒人類(lèi)歷史上認(rèn)識(shí)這一數(shù)學(xué)知識(shí)的主要階段，重新設(shè)計(jì)教學(xué)的順序，建構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的序。

“數(shù)”的產(chǎn)生發(fā)展主要的歷史階段為：實(shí)物記數(shù)→符號(hào)記數(shù)→阿拉伯?dāng)?shù)字。

根據(jù)“數(shù)”產(chǎn)生的歷史發(fā)展順序及學(xué)生的具體情況，重構(gòu)“數(shù)”產(chǎn)生的序，從古到今，設(shè)計(jì)三個(gè)環(huán)節(jié)。此“序”與教材編排比較，教材對(duì)這三個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的呈現(xiàn)是無(wú)序和點(diǎn)狀的，學(xué)生看完后對(duì)于知識(shí)的理解和掌握仍舊是模糊和不自覺(jué)的。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)通過(guò)序的排列串聯(lián)，輔以板書(shū)的展現(xiàn)（如圖2），充分體現(xiàn)了“數(shù)”發(fā)展的教學(xué)架構(gòu)，就像把散落的珍珠都串了起來(lái)，抓住了數(shù)產(chǎn)生的歷史脈絡(luò)，使學(xué)生知道所學(xué)知識(shí)的“前世今生”。

第二個(gè)環(huán)節(jié)符號(hào)記數(shù)的產(chǎn)生是“數(shù)”產(chǎn)生的第一個(gè)關(guān)鍵步驟，是本課學(xué)習(xí)的第一個(gè)突破。由遠(yuǎn)古時(shí)代需要對(duì)物體的個(gè)數(shù)作出準(zhǔn)確記數(shù)而形成的，體現(xiàn)以匹配為目的的一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)法開(kāi)始，在人類(lèi)歷史發(fā)展過(guò)程中不斷優(yōu)化發(fā)展。目的是既培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，實(shí)現(xiàn)表征符號(hào)化，又讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的發(fā)展是和人類(lèi)文明的發(fā)展相聯(lián)系的。阿拉伯?dāng)?shù)字的產(chǎn)生是“數(shù)”產(chǎn)生的第二個(gè)關(guān)鍵步驟，是本課的核心，目的是幫助學(xué)生了解在人類(lèi)文明的發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用。通過(guò)讓學(xué)生了解古羅馬與中國(guó)商人進(jìn)行商品交易時(shí)產(chǎn)生的交流障礙，感受到符號(hào)不統(tǒng)一帶來(lái)的后果，全世界統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字才會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。這樣的教學(xué)從具體到抽象，從真實(shí)事例的再現(xiàn)到數(shù)字演變的過(guò)程，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)的發(fā)展史。學(xué)生了解了數(shù)學(xué)的發(fā)展史，就能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，彰顯數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育價(jià)值。

三、重歷規(guī)則之美，滋養(yǎng)思想方法

古羅馬數(shù)字是阿拉伯?dāng)?shù)字還沒(méi)有傳入歐洲之前使用的一種記數(shù)法，現(xiàn)在很多鐘表還在用它表示時(shí)間，比如上海外灘海關(guān)大樓上的大鐘就是用羅馬數(shù)字表示的。這種計(jì)數(shù)方法雖然沒(méi)有我們現(xiàn)在的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法那么方便，但在當(dāng)時(shí)已經(jīng)非常先進(jìn)了，具備其獨(dú)有的思維方式，而且具有藝術(shù)價(jià)值，被人們沿用至今[5]。在教學(xué)中增加認(rèn)識(shí)古羅馬數(shù)字的環(huán)節(jié)，能拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生思考，在古今不同方法的對(duì)比中，體會(huì)數(shù)學(xué)思維的靈活性、豐富性和創(chuàng)新性，得到數(shù)學(xué)思想方法的滋養(yǎng)。實(shí)踐中，我們組織了如下四個(gè)層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

1.聯(lián)手繪本——激發(fā)學(xué)習(xí)的欲望

引問(wèn)：生活中哪里可以看到羅馬數(shù)字？

教師出示繪本《古羅馬人的數(shù)字》中的一幅圖片，問(wèn)：你能讀出這個(gè)市政廳建造的年代嗎？（MCMLXVII表示哪一年呢？）你想認(rèn)識(shí)羅馬數(shù)字嗎？

2.交流方法——感受組數(shù)的規(guī)則

呈現(xiàn)下表（4至10的羅馬數(shù)字記法是空著的）：

提出問(wèn)題：羅馬數(shù)字的1、2、3是用什么表示的？4呢？

結(jié)合學(xué)生的回答說(shuō)明規(guī)定：起初古羅馬人是用IIII來(lái)表示4的，但是這樣寫(xiě)下去花的時(shí)間太多了，所以他們規(guī)定：基本數(shù)字連用不能超過(guò)三個(gè)，如果5用V來(lái)表示，那猜猜4怎么表示？

結(jié)合4與6的表示，補(bǔ)充規(guī)定：小數(shù)放在大數(shù)左邊，表示減;小數(shù)放在大數(shù)右邊，表示加。

練習(xí)：根據(jù)已學(xué)的兩條規(guī)則，嘗試表示7、8、9、10。

3.根據(jù)問(wèn)題——翻越學(xué)習(xí)的障礙

教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生梳理古羅馬數(shù)字的記數(shù)規(guī)則，并布置任務(wù)：用古羅馬數(shù)字試著寫(xiě)出11～20，能寫(xiě)出幾個(gè)就寫(xiě)出幾個(gè)。

學(xué)生獨(dú)立完成后分兩個(gè)層次交流。

第一層次交流11、12、13的寫(xiě)法，并說(shuō)說(shuō)理由。

第二層次交流14、19的寫(xiě)法。

關(guān)于14，學(xué)生有兩種不同的記法：IXV和XIV。

分別請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明理由，并統(tǒng)一認(rèn)識(shí)：XIV比較合理，因?yàn)?X表示10，IV表示4，10+4=14。

同理可知：19的記法為XIX，理由：10+9， XIX。

4.回顧比較——體悟組字的特征

呈現(xiàn)1至20的阿拉伯?dāng)?shù)字的記法與羅馬數(shù)字的記法的對(duì)比表，請(qǐng)學(xué)生再次討論梳理羅馬數(shù)字的記法規(guī)則，加深理解。

引導(dǎo)：看了阿拉伯?dāng)?shù)字的記法與羅馬數(shù)字的記法后，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：古羅馬數(shù)字第二行比第一行多加一個(gè)X。

學(xué)生：古羅馬數(shù)字和阿拉伯?dāng)?shù)字一樣，阿拉伯?dāng)?shù)字十幾在前面放一個(gè)10，后面加1、加2……

師：如果你把這個(gè)看懂了，21～30怎樣表示呢？

……

增加學(xué)習(xí)古羅馬數(shù)字這一環(huán)節(jié)有兩個(gè)原因：一是讓學(xué)生感悟古羅馬數(shù)字的字符由來(lái)以及組字規(guī)則;二是經(jīng)歷數(shù)字由復(fù)雜到簡(jiǎn)便發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔的思想。在教學(xué)中教師以古羅馬數(shù)字為中心，對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想、類(lèi)比，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)，并對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入地思考，逐步體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，也使得我們的數(shù)學(xué)知識(shí)更豐盈，使數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)滲透，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平。

從以上的實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，HPM視角下的課堂教學(xué)是一個(gè)充滿(mǎn)活力、富有魅力的時(shí)空，它既影響了教師，也改變了學(xué)生。它讓教師通過(guò)研讀“數(shù)”產(chǎn)生的歷史，結(jié)合學(xué)生個(gè)體認(rèn)知特征，緊抓發(fā)展過(guò)程中的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)，使學(xué)生知規(guī)律、清脈絡(luò)、懂方法，在重構(gòu)的教學(xué)環(huán)節(jié)中推動(dòng)關(guān)鍵問(wèn)題的理解，體驗(yàn)思想方法的美妙，這正是“數(shù)的產(chǎn)生”一課的價(jià)值所在。

參考文獻(xiàn)

[1] 汪曉勤.HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（7，8）.

[2] 岳增成.中國(guó)HPM發(fā)展之路[J]. 教學(xué)月刊：小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（11）.

[3] 人民教育出版社課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(shū)（四年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[4] 賈春波.歷史發(fā)生原理對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示[J].教學(xué)月刊：小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（7，8）.

[5] 張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理 [M].上海：上海教育出版社，2018.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]