魏丹 藍(lán)田

摘 要：為了讓學(xué)生了解虛數(shù)是怎么產(chǎn)生的、為何一定要引入i2=-1讓無解方程有解，筆者將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生切實(shí)感受數(shù)系擴(kuò)充的必要性及數(shù)學(xué)家在研究虛數(shù)過程中的曲折與創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：虛數(shù);數(shù)系擴(kuò)充;數(shù)學(xué)史

高考中復(fù)數(shù)的考察方式僅局限于填空或選擇，教師在教學(xué)中往往偏重于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算等內(nèi)容，對(duì)虛數(shù)單位的引入常用書本給出的方程x2+1=0的求解問題，但許多學(xué)生學(xué)完復(fù)數(shù)后并沒有真正認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，認(rèn)為既然“負(fù)數(shù)沒有平方根”是眾所周知的，為何一定要引入i2=-1讓無解方程有解呢？學(xué)生覺得很矛盾，對(duì)復(fù)數(shù)的產(chǎn)生與其意義感到茫然。而虛數(shù)概念的產(chǎn)生與被廣泛接受歷經(jīng)了數(shù)學(xué)家們幾百年的探尋與思考，有必要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家們探索的大致過程。

一、虛數(shù)產(chǎn)生的歷史背景

虛數(shù)的起源最早可追溯到公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》中遇到“不可約”的一元二次方程336x2+24=172x。12世紀(jì)時(shí)，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在研究方程時(shí)注意到負(fù)數(shù)開平方問題，他斷言“負(fù)數(shù)沒有平方根”。13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契及15世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕西沃里在討論一元二次方程的根時(shí)，也遇到了△<0的情形，但他們認(rèn)為負(fù)數(shù)開方是“逆天而行”的事[1]。

虛數(shù)的真正歷史始于1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹在《大術(shù)》中提出：將10分成兩部分，使其積為40，他求出答案為

和? ，卡丹是第一個(gè)使用負(fù)數(shù)平方根的人，但他不理解也不接受這樣的數(shù)。

1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利對(duì)虛數(shù)做了進(jìn)一步的深入討論，他在《代數(shù)學(xué)》中討論三次方程x3=15x+4的解，發(fā)現(xiàn)它有三個(gè)實(shí)數(shù)根：? ? ，但他在利用三次方程求根公式時(shí)卻出現(xiàn)同樣的“不可約”情形，他得到? ? ? ? ? ，他做了個(gè)大膽的假設(shè)：? ? ? ? ? ? ? ? ? ，并求出? ? 。就這樣，邦貝利用自己造的數(shù)解決了矛盾，使“無意義”的數(shù)變得有意義，這標(biāo)志著復(fù)數(shù)的產(chǎn)生，他稱 為“負(fù)之正”，? 為“負(fù)之負(fù)”，并規(guī)定了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，為復(fù)數(shù)理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾仍不承認(rèn)負(fù)數(shù)開平方這類數(shù)的存在，他在解n次方程有n個(gè)根時(shí)，將那些數(shù)稱為“虛數(shù)”。后來高斯把虛數(shù)? 和? ?區(qū)分開，便引入了復(fù)數(shù)一詞。1777年，歐拉第一個(gè)用符號(hào)i表示虛數(shù)，并定義? ?，系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)的理論。此后，復(fù)數(shù)表示成a+bi，而后，柯西將

作為復(fù)數(shù)的模。

漸漸地，許多數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的推理過程中使用了虛數(shù)，結(jié)果都被證明是正確的，數(shù)學(xué)家對(duì)虛數(shù)的存在有了信心。1799年，高斯關(guān)于“代數(shù)基本定理”的證明中需依賴對(duì)復(fù)數(shù)的承認(rèn)。而后高斯用實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）代表復(fù)數(shù)，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，并將表示平面上同一點(diǎn)的直角坐標(biāo)系法和極坐標(biāo)法加以綜合，分別用復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式來表示，高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，并還將其看做一種向量，用復(fù)數(shù)和向量間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系闡述了復(fù)數(shù)的加法與乘法，至此，復(fù)數(shù)理論比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。

二、借助數(shù)學(xué)史，引入虛數(shù)單位

在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合書本教材和學(xué)生的認(rèn)知程度，借助數(shù)學(xué)史知識(shí)引入虛數(shù)單位i，可在教學(xué)中利用信息技術(shù)如多媒體課件向?qū)W生簡述虛數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，可簡單地向?qū)W生介紹一元三次方程的的求解問題，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)家并非是為了解一元二次方程才去研究虛數(shù)，而是在解三次方程、二元二次方程組甚至是解n次方程時(shí)都繞不開“負(fù)數(shù)開平方”這一問題，才不得不去研究虛數(shù)的。

在學(xué)生了解了虛數(shù)產(chǎn)生的歷史背景后，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)系的每一次擴(kuò)充，從自然數(shù)集到整數(shù)集引入了負(fù)數(shù)，解決了“不夠減”的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾，從整數(shù)集到有理數(shù)集引入了分?jǐn)?shù)，解決了“不能整除”的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾，從有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集引入了無理數(shù)，解決了“不能開方”的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾。由此，可引導(dǎo)學(xué)生概括出數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)律：（1）引入新數(shù);（2）在新數(shù)集中，原有運(yùn)算及性質(zhì)仍適用，并解決了某些運(yùn)算在原數(shù)集中不總可以實(shí)施的矛盾[2]。教師可適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)史實(shí)，讓學(xué)生思考，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)引入了什么新數(shù)，而這個(gè)新數(shù)解決了什么數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾？基于數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生能回答出“引入了新數(shù)? ?，解決了負(fù)數(shù)不能開平方的數(shù)學(xué)矛盾”。教師應(yīng)給予學(xué)生肯定及表揚(yáng)，并說明數(shù)學(xué)家規(guī)定

，即i2=-1，i是一種新引進(jìn)的數(shù)，叫虛數(shù)單位，i和實(shí)數(shù)之間仍能像實(shí)數(shù)系那樣進(jìn)行四則運(yùn)算。學(xué)生了解虛數(shù)的由來，虛數(shù)的神秘面紗便被揭開了，接下來復(fù)數(shù)的相關(guān)概念便水到渠成了。

三、小結(jié)

數(shù)學(xué)史是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，其蘊(yùn)含了許多豐富的數(shù)學(xué)思想方法[3]，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史知識(shí)能對(duì)學(xué)生的思維有著積極的啟發(fā)意義，教師應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知程度思考如何將其融入數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從HPM的視角看待數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生從歷史的角度了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生，探索數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的深刻教育價(jià)值。特別地，虛數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展歷程曲折而艱辛，數(shù)學(xué)家們對(duì)虛數(shù)的接受過程也是緩慢而曲折的。教師在教學(xué)過程中應(yīng)勉勵(lì)學(xué)生，在學(xué)習(xí)過程中遇到困難，經(jīng)歷困惑實(shí)乃常事，需靜下心來慢慢研究攻克難題。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡典順、孔凡祥.高考中的數(shù)學(xué)文化[M].第一版.湖北科學(xué)技術(shù)出版社：2017：192—196.

[2]陸明明.《數(shù)系的擴(kuò)充》的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)體會(huì).中小學(xué)數(shù)學(xué)[J]，2011，10：20-23.

[3]方國青、王芳.HPM視角下“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”課例研究.[J]，2013，04：29-32.

作者簡介：

魏丹，1990.10，女，漢族，福建三明，福建省三明市第九中學(xué)，中學(xué)二級(jí)教師。