浙江省溫州中學 (325000) 吳時月

當代數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)指出：“反思是數(shù)學活動的核心和動力”，可見反思的重要性. 老師不僅要讓學生知道解后反思的內(nèi)容和重點，更要教會學生如何反思. 通過解題反思，引導學生再次對問題進行分析、對比、歸納與總結(jié)，對問題中所蘊含的數(shù)學思想方法進行再審視，起到一個再提高的作用.

筆者在高三復習“函數(shù)中的存在與任意問題”時，遇到了這樣一道題：

已知函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+3-a，若對于任意的a∈(0,4)，存在x∈[0,2]，使得|f(x)|≥t，求t的取值范圍．

課堂期間同學們提出的問題與想法引發(fā)了筆者的思考．以下便是學生與筆者對這道題的分析與講評實錄.

學生1：通過觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+3-a既是關(guān)于x的二次函數(shù)，又是關(guān)于a的一次函數(shù)，采用主元法的思想將f視為a的一次函數(shù)得：f(x)=F(a)=(x-1)a+x2-4x+3=(x-1)(a+x-3)，且a=3-x∈[1,3]?[0,4].所以|F(a)|min=|(x-1)a+x2-4x+3|min=|F(a=3-x)|=0，所以t≤0.

師：學生1很有自己的想法，主次元換位，一次主導，避開了分類討論，那該解法是否正確呢？ 最終答案是否正確呢？

學生2：將函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+3-a視成x的二次函數(shù)，按對稱軸進行分類：

師：與同學1的切入角度不一樣，生2將f(x)視成x的二次函數(shù).按照對二次函數(shù)的對稱軸進行嚴格的分類討論來解決經(jīng)典的含參問題，但是以上兩種處理手法帶來的答案是不一樣的，到底哪個正確呢？

圖1

=g(a)，如圖1，通過比較易知g(a)=

師：因為對稱軸范圍的特殊性，直接比較兩個端點及對稱處的函數(shù)值的絕對值的大小，是學生2的解法的升級版.

師：主導思想還是先視x為主元，結(jié)合x的取值特點，以非常巧妙的放縮的方式來解決問題，同時保證等號同時取到，令人耳目一新！

師：解法1中已發(fā)現(xiàn)原函數(shù)具有因式分解的效果，與解法1不同的是解法5仍是以x為主元，兩個一次函數(shù)的絕對值同時取到最大值，解法非常新穎．

對比以上幾種解法，最大的分歧在于先以哪個參數(shù)為主元．到底哪種理解正確呢？我們有必要一探究竟．為了敘述方便，我們將問題的條件重新描述如下：設(shè)二元函數(shù)F(x,a)=|x2+(a-4)x+3-a|，?a∈(0,4)，?x∈[0,2]，使得F(x,a)≥t.求t的取值范圍.

這是一道“存在”遇到“任意”的問題．同學1的解法是先把F(x,a)看成a的函數(shù)，即先處理“任意”，再處理“存在”， 也就是將條件轉(zhuǎn)化于：

同學2至5都是先把F(x,a)看成x的函數(shù)，即先處理“存在”，再處理“任意”，從而將條件轉(zhuǎn)化為：

那么，此問題就歸結(jié)為：“任意”與“存在”的處理次序可以隨意嗎？我們來回歸教材，在課本【1】中，對于全稱命題與特稱命題的定義如下：

通常，將含有變量x的語句用p(x)表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”，簡記為?x∈M,p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”簡記為?x0∈M,p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

在本問題中，對應(yīng)于?a∈(0,4)的語句p(x)應(yīng)為“?x∈[0,2]，F(xiàn)(x,a)≥t”．由此可見，解決該問題的邏輯順序應(yīng)為先明確語句p(x)，即先處理“存在”，然后再處理“任意”，也就是說條件應(yīng)等價于：

所以同學2至5的解法正確，答案正確. 而同學1的解法是以下問法的答案：F(x,a)=|x2+(a-4)x+3-a|，?x∈[0,2]，?a∈(0,4)，F(xiàn)(x,a)≥t.

于是我們可以得出如下系列結(jié)論：

圖2

明確了該命題等價于求最大值的最小值后，遇上絕對值，也可以從以下角度切入：|f(x)|=|(x2-4x+3)--a(x-1)|.令g(x)=x2-4x+3,h(x)=-a(x-1)，則|f(x)|=|(x2-4x+3)-(-a(x-1))|代表兩個函數(shù)g(x),h(x)的函數(shù)值之差的絕對值，如圖2，由絕對值的縱向(鉛錘)距離的幾何意義計算可知：取a=2時，即h(x)=-2x-1時，g(x),h(x)的函數(shù)值之差的絕對值的最小為1，所以t≤1.

評注：利用的絕對值的幾何意義，來尋找直(曲)線的“最佳”的位置，使得最大值最小，是非常不錯的一種幾何手法．

圖3

評注：采用換元的方法，將原來的式子進行等價變形，簡化代數(shù)式子的結(jié)構(gòu)，起到事半功倍的效果.亦可理解為通過變形，把函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為類似“平口單峰”的處理形式.

學生在處理含有“存在”與“任意”等特(全)稱命題時，常常會出現(xiàn)等價變形不到位而出錯的情形.我們應(yīng)該啟發(fā)和引導學生先從宏觀上去把握，再從微觀上去突破，在解題思路的整體設(shè)計上和解題方法的優(yōu)劣選擇上下功夫，用研究的態(tài)度去對待我們遇到的每一個數(shù)學問題，最終對問題達成較為透徹的理解，起到揭示問題本質(zhì)的作用.