江蘇省常州市武進區(qū)前黃中學國際分校 (213161) 陸 德

在導數相關問題中許多問題都涉及到繁雜的運算,為了盡可能減少計算量,一些常用技巧和方法尤為必要，“設而不求”即是如此.所謂“設而不求”是指根據題設條件，巧妙設元，搭建＂未知＂和＂已知＂之間的等量關系, 通過合理代換或推理，利用整體化歸，韋達定理，整體消元等方法化繁為簡、避重就輕,“設而不求”在數據的處理上另辟蹊徑，旨在條件的分析轉化.

題型一 利用韋達定理消元

例1 (2017江蘇高考)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3a；

評注：如果孤立看待x1,x2，則需借助于求根公式，顯然求解f(x1),f(x2)時運算過于繁瑣，而通過韋達定理尋求兩者關系后，運算f(x1)+f(x2)過程就淺顯明朗.

題型二 整體換元實現消元

例2 (鹽城市2019屆高三第三次模擬考試)設函數f(x)=x-aex(e為自然對數的底數，a∈R)．

(1) 當a=1時，求函數f(x)的圖象在x=1處的切線方程；

(2) 若函數f(x)在區(qū)間(0,1)上具有單調性，求a的取值范圍；

解析：(1)略；(2)略；(3)函數g(x)=(ex-e)f(x)的零點即為方程(ex-e)f(x)=0的實數根，故ex-e=0或f(x)=0，由ex-e=0，得x=1，

題型三 虛設零點整體替換

例3 (2020屆常州市第一學期期中考試)已知函數f(x)=lnx-xex+ax(a∈R).

(1)若函數f(x)在[1,+∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍；

(2)若a=1，求f(x)的最大值.

評注：在解決函數和導函數的綜合問題中，導函數的零點確定存在但無法直接求解時，可以結合零點存在定理虛設零點，巧妙利用零點所滿足的等量關系推理演算整體代換，復雜問題從而迎刃而解.

“設而不求”是高中數學解題的常用方法,也是實際應用中的難點，其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用,數據的整合加工處理過程中利用轉化與化歸思想，從形式和結構上提煉內核，轉化到常規(guī)知識背景下，從而將目標清晰化，問題簡單化.