高宏 梅圣烽

摘要：本文指出了期權(quán)定價理論將股票價格假設(shè)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)抽象錯誤，以及使用描述大量樣本軌道偏離均值離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來度量一條樣本軌道波動程度的基本概念錯誤。本文依據(jù)股票價格與時間“一一對應(yīng)”的數(shù)量關(guān)系，將股票價格抽象為隨機(jī)過程中的一條樣本軌道，并用刻畫時間函數(shù)在某一區(qū)間相對變化程度的相對變化率來度量股票價格波動程度，可真實反映股票價格的波動程度、收益率及風(fēng)險大小，為量化分析、投資決策、資產(chǎn)定價和風(fēng)險管理提供有效可靠的科學(xué)依據(jù)和分析工具。

關(guān)鍵詞：股票價格;波動率;風(fēng)險度量

一、引言

波動率（Volatility）是期權(quán)定價理論度量金融資產(chǎn)價格波動程度的一個統(tǒng)計參數(shù)。準(zhǔn)確度量并預(yù)測股票價格的波動程度，不僅可為證券投資活動的量化分析、投資決策、資產(chǎn)定價、最優(yōu)配置、風(fēng)險管理及市場監(jiān)管提供有效可靠的科學(xué)依據(jù)，而且對于完善股票市場的監(jiān)管措施、防范和化解股票市場的系統(tǒng)性風(fēng)險、減小股票市場對社會經(jīng)濟(jì)造成的影響，促進(jìn)社會經(jīng)濟(jì)的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展具有重要意義。由于隨機(jī)過程定義及基本概念的抽象性和復(fù)雜性，期權(quán)定價理論將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系錯誤地抽象為隨機(jī)變量，并根據(jù)眾多學(xué)者“股票價格的短期對數(shù)收益率為白噪聲序列”的實證研究結(jié)果，建立了描述股票價格波動現(xiàn)象的幾何布朗運動模型，得出了股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論，因而用刻畫正態(tài)分布隨機(jī)變量與其均值偏離程度的標(biāo)準(zhǔn)差來度量股票價格的波動程度。

期權(quán)定價理論將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量，無形中使研究對象從一條樣本軌道改變?yōu)榇罅繕颖拒壍赖募?，并用描述大量樣本軌道偏離均值離散程度的統(tǒng)計參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）來度量一條樣本軌道的波動程度，因而無法正確度量股票價格的波動程度。本文依據(jù)股票價格與時間“一一對應(yīng)”的數(shù)量關(guān)系，將股票價格抽象為隨機(jī)過程中的一條樣本軌道，并用刻畫時間函數(shù)在某一區(qū)間相對變化程度的相對變化率來度量股票價格波動程度，可同時度量股票價格的波動程度、收益率及風(fēng)險大小。

二、布朗運動理論

1827 年，英國植物學(xué)家布朗使用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時，發(fā)現(xiàn)微?？偸窃谧鰺o規(guī)則的運動。后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術(shù)和人類社會中的動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象，如空氣污染擴(kuò)散、陀螺隨機(jī)游走和股票價格波動等。

1905年，愛因斯坦首先使用概率分析方法對布朗運動進(jìn)行了定量研究，為統(tǒng)計熱力學(xué)和隨機(jī)過程基礎(chǔ)理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。愛因斯坦認(rèn)為布朗運動是由大量液體水分子的連續(xù)碰撞造成的，并從熱分子運動擴(kuò)散方程推導(dǎo)出了大量一維布朗粒子的位置x在t時刻的概率密度函數(shù)（張?zhí)珮s，2008）：

式中D為擴(kuò)散系數(shù)，是物理學(xué)刻畫物質(zhì)擴(kuò)散速度的物理量，量綱為m2/s。

式（1）表明，大量布朗粒子在t時刻的空間位置服從參數(shù)為（0，2Dt）的正態(tài)分布，圖1給出了10個布朗粒子的位移曲線，可以看出，每個布朗粒子的位移均是時間t的函數(shù)。

1923年，維納根據(jù)式（1）的愛因斯坦布朗運動物理模型，歸納總結(jié)出了布朗運動的數(shù)學(xué)定義。

定義：設(shè){W（t），t≥0}為隨機(jī)過程，如果

（1）{W（t），t≥0}為平穩(wěn)獨立增量過程;

（2）W（0）=0;

（3）對任意的t>s≥0，W（t）-W（s）～N（0，σ2（t-s）），其中σ>0為常數(shù)。

則稱W（t）是參數(shù)為σ2的布朗運動，或維納過程。當(dāng)σ=1時，稱W（t）是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記為B（t）。

從式（1）和維納過程定義可以看出，維納過程服從正態(tài)分布，其方差為：

D[W（t）]=σ2=2Dt;; （2）

維納過程的方差σ2是用來刻畫隨機(jī)變量偏離均值分散程度的數(shù)字特征，度量的是大量樣本軌道偏離均值的發(fā)散程度，其物理意義與表示大量布朗粒子偏離原點擴(kuò)散速度的擴(kuò)散系數(shù)D相同。

標(biāo)準(zhǔn)差σ不僅能度量服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量偏離均值的發(fā)散程度，還能給出隨機(jī)變量位于±σ、±2σ和±3σ范圍內(nèi)的概率分別為68.3%、95.4%和99.7%。

維納過程的定義及性質(zhì)是以隨機(jī)變量的形式給出的，不能直接用來描述單個布朗粒子位移隨時間演變的過程，導(dǎo)致自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)在研究動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象時，將單個布朗粒子位移、光纖陀螺隨機(jī)游走誤差和金融資產(chǎn)價格錯誤地抽象為隨機(jī)變量，并用刻畫隨機(jī)變量偏離均值離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來描述一條樣本軌道的時間運動規(guī)律，從而得出了一系列與事實不符的錯誤結(jié)論。例如，人們根據(jù)“維納過程方差與時間成正比”的結(jié)論，竟得出了下面的單個布朗粒子位移公式：

x（t）=; （3）

式（3）表明，單個布朗粒子的位移與時間的平方根成正比，與牛頓力學(xué)“質(zhì)點位移與時間成正比”的結(jié)論不一致。

高宏（2019）從隨機(jī)過程樣本軌道角度重新定義了維納過程，給出了維納過程樣本軌道的位移公式、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，得出了與牛頓力學(xué)“質(zhì)點位移與時間成正比”完全一致的結(jié)論，可直接用于描述自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)中的隨機(jī)運動現(xiàn)象、特性及規(guī)律。

三、股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系

觀察股票價格隨時間的變化過程，有時間t和股票價格s兩個變量，這兩個變量并不是孤立地變化，股票價格s隨時間t的變化而變化。設(shè)s（t）為t時刻的股票價格，則對于任一個時間值t，股票價格都有唯一確定的值s（t）與t對應(yīng)，兩者之間存在著“一一對應(yīng)”的函數(shù)關(guān)系，因此，股票價格s （t）無疑是時間t的函數(shù)。

但是，期權(quán)定價理論卻將實際股票價格s（t）抽象為隨機(jī)變量S（t），股票價格究竟是時間函數(shù)s（t）？還是隨機(jī)變量S（t）？

我們以標(biāo)準(zhǔn)布朗運動為例，分析隨機(jī)過程、隨機(jī)變量和樣本函數(shù)三者之間的區(qū)別與關(guān)系。隨機(jī)過程B（t）實質(zhì)上是定義在參數(shù)集T和狀態(tài)空間Ω上的二元函數(shù)B（ω，t）。對于固定的時間t，B（ω，t）為狀態(tài)變量ω的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量，通常簡記為B（t）;對于固定的ω，B（ω，t）為時間t的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)或樣本軌道，簡記為b（t）。因此，隨機(jī)過程即可看成是大量隨機(jī)變量B（t）的集合，也可看成是所有樣本軌道b（t）的集合，所有樣本軌道b（t）在t時刻的取值就是隨機(jī)變量B（t）在t時刻的狀態(tài)。隨機(jī)變量B（t）用來描述大量布朗粒子在t時刻的空間位置分布狀態(tài)，隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差σ可用來度量大量布朗粒子偏離原點的擴(kuò)散程度，樣本函數(shù)b（t）則用來描述單個布朗粒子位移隨時間的演變過程。

注意：B（t）并不表示B（t）是時間t的函數(shù)，它只表示隨機(jī)變量B（t）在t時刻的狀態(tài)。

圖1所示的布朗粒子位移曲線清楚地表示出了隨機(jī)過程、隨機(jī)變量和樣本函數(shù)三者之間的關(guān)系。每個布朗粒子的位移曲線就是隨機(jī)過程定義中的樣本函數(shù)b（t），10個布朗粒子的位移曲線（10條樣本軌道）就構(gòu)成了隨機(jī)過程B（t），所有樣本軌道b（t）在t時刻的取值就是隨機(jī)變量B（t）在t時刻的狀態(tài)。因此，隨機(jī)變量B（t）和樣本函數(shù)b（t）描述的是完全不同的物理現(xiàn)象，隨機(jī)變量B（t）用來描述大量布朗粒子在t時刻的空間位置分布，樣本函數(shù)b（t）用來描述一個布朗粒子隨時間的運動過程。

一個樣本函數(shù)或一條樣本軌道對應(yīng)著隨機(jī)試驗中的一次“測量結(jié)果”，盡管每個布朗粒子的位移測量結(jié)果各不相同，但是單個布朗粒子的測量結(jié)果卻是一個確定性的時間函數(shù)。

股票價格的變化過程s（t）與一個布朗粒子位移的變化過程b（t）在數(shù)學(xué)形式上完全相同，根據(jù)隨機(jī)過程的定義，股票價格s（t）只能被抽象為隨機(jī)過程中的一條樣本軌道，而非隨機(jī)變量S（t）。

四、幾何布朗運動模型

眾多學(xué)者通過對股票價格波動現(xiàn)象長期觀察和實證研究，發(fā)現(xiàn)股票價格的變化是完全隨機(jī)的，股票價格的短期對數(shù)收益率為零均值不相關(guān)白噪聲序列。

設(shè)s（t）為t時刻的股票價格，y（t）=ln s（t），則股票價格s（t）的對數(shù)收益率（日）可表示為：

y（t）- y（t-Δt）=x（t）（4）

式中x（t）為白噪聲函數(shù)，不同時刻的x（t）值服從均值為零、標(biāo)準(zhǔn)差為σt的正態(tài)分布。

圖2為上證指數(shù)1998年-2020年的收盤價對數(shù)收益率（日），可以看出，上證指數(shù)的對數(shù)收益率為白噪聲序列，在下一時刻的方向和大小完全隨機(jī)變化。將不同時刻的上證指數(shù)對數(shù)收益率作為樣本點進(jìn)行統(tǒng)計分析，其均值為0.0002，標(biāo)準(zhǔn)差σt=0.02，最大波動幅度為0.09，近似服從正態(tài)分布，有明顯的尖峰厚尾現(xiàn)象。

由于時間間隔Δt很小，短期對數(shù)收益率與百分比收益率近似相等，式（4）可改寫為：

（5）

式中b（t）為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動B（t）的樣本函數(shù)，b（t）的一階差分Δb（t）為服從（0，1）正態(tài)分布的白噪聲。

式（4）和式（5）中的y（t）、x（t）、s（t）和b（t）均為時間函數(shù)，但是期權(quán)定價理論卻將他們抽象為隨機(jī)變量Y（t）、X（t）、S（t）和B（t），于是式（4）和式（5）分別變化為：

Y（t）=Y（t-Δt）+X（t）（6）

（7）

X（t）為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，其樣本函數(shù)x（t）的時間平均與隨機(jī)變量X（t）的統(tǒng)計平均在概率意義上相等，因此X（t）的方差為：

（8）

即X（t）為服從（0，σ2）正態(tài)分布的高斯白噪聲隨機(jī)過程。

設(shè)Y（0）=0，則Y（t）的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：

E[Y（t）]=0;（9）

D[ Y（t）]= σ2t （10）

式（9）和式（10）表明，對數(shù)股票價格Y（t）服從參數(shù)為（0，σ2t）的正態(tài)分布。

Y（t）的數(shù)學(xué)期望為零，與實際股票價格中存在長期線性趨勢的事實完全不符，為了使式（6）和式（7）能夠描述長期線性趨勢，Samuelson增加了線性漂移項，建立了下面的股票價格數(shù)學(xué)模型：

Y（t）=μt+Y（t-Δt）+X（t）（11）

（12）

式中μ為漂移率，是指單位時間內(nèi)股票價格對數(shù)收益率或百分比收益率均值的變化值。

式（11）稱為隨機(jī)游走模型，式（12）稱為幾何布朗運動模型，兩者的短期對數(shù)收益率始終為μ，與“股票價格短期對數(shù)收益率為零均值不相關(guān)白噪聲”的實證研究結(jié)果不符。

求解式（12）微分方程：

（13）

因此對數(shù)股票價格ln S（t）的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：

（14）

（15）

表明ln S（t）服從方差為σ2t的正態(tài)分布（Hull，2011）。

正態(tài)分布的ln S（t）曲線應(yīng)具有正態(tài)分布的對稱性和集中性，但實際對數(shù)股票價格ln s（t）曲線完全不滿足正態(tài)分布的對稱性和集中性。

從上面的幾何布朗運動模型建立過程可以看出，式（12）的股票價格幾何布朗運動模型存在下述2個嚴(yán)重錯誤：

第一，股票價格s（t）是時間t的函數(shù)，隨機(jī)游走模型和幾何布朗運動模型卻將其假設(shè)為隨機(jī)變量S（t），無形中將研究對象從一個樣本函數(shù)改變?yōu)榇罅繕颖竞瘮?shù)的集合。

第二，實際對數(shù)股票價格曲線不具有正態(tài)分布的對稱性和集中性，股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論與事實不符。事實上，幾何布朗運動模型描述的是圖1所示的大量樣本軌道（漂移率μ=0）在狀態(tài)空間的正態(tài)分布情況，而不是一條樣本軌道隨時間的演變過程。

五、股票價格線性趨勢和波動范圍

式（4）和式（5）是眾多學(xué)者通過對股票市場長期觀察和實證研究得到的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，也是對未來股票價格運動現(xiàn)象所做出的一種假定性和推測性論斷。因此式（4）和式（5）是建立期權(quán)定價理論或推導(dǎo)其他命題的起點和基礎(chǔ)。從式（4）和式（5）經(jīng)嚴(yán)格邏輯推理得到的相關(guān)命題和結(jié)論，對股票價格具有解釋和預(yù)見功能，能夠預(yù)測股票價格的發(fā)展趨勢和變化結(jié)果。

將式（4）看作股票對數(shù)價格y（t）的一階差分，設(shè)y（0）=0，則有：

（16）

將其變換為：

（17）

式中為白噪聲函數(shù)x（t）在區(qū)間[0，t]上的算數(shù)平均值，其物理意義為白噪聲函數(shù)在區(qū)間[0，t]被截斷后，因“頻譜泄露”效應(yīng)而產(chǎn)生的直流分量。

也是一條隨機(jī)過程樣本軌道，由概率論大數(shù)定律可知，隨著t的增加，的時間均值 會趨于一個常數(shù)，設(shè)E[]= μ，則y（t）中存在一條μ t的長期線性趨勢線。

從信號分析的角度看，對白噪聲信號x（t）進(jìn)行算數(shù)平均，相當(dāng)于對x（t）進(jìn)行低通濾波，使x（t）中的高頻分量被衰減，低頻分量被放大，因此，是一個圍繞均值μ緩慢波動的低頻信號。

算數(shù)平均值的方差為：

（18）

式中σt為白噪聲函數(shù)x（t）的標(biāo)準(zhǔn)差。

反應(yīng)了圍繞= μ上下波動的程度，在μ±3范圍內(nèi)波動的概率為99.73%。當(dāng)t較小時，變化異常劇烈，y（t）表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性;當(dāng)t充分大時，趨于穩(wěn)定，y（t）圍繞長期線性趨勢線μ t，在固定寬度的線性通道內(nèi)緩慢波動上行。

圖3為道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)的對數(shù)價格曲線，100多年來始終在固定寬度的線性通道范圍內(nèi)波動運行。

六、波動率定義錯誤

期權(quán)定價理論假設(shè)資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布（Augen，2016），并用一年內(nèi)的股票連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來定義股票價格的波動率（Natenberg，2019）。

由式（15）的方差計算公式，可直接寫出期權(quán)到期時間T時的波動率σT計算公式：

（19）

式中T為期權(quán)到期時間，σ為股票價格幾何布朗運動模型參數(shù)，即式（8）定義的隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差，σ在概率意義上等于股票日對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差σt。

（一）波動率的物理意義

將對數(shù)股票價格y（t）視為一個布朗粒子在t時刻的位移，則y（t）與布朗粒子運動的數(shù)學(xué)模型完全相同，即y（t）的一階差分Δy（t）和布朗粒子位移的一階差分均為白噪聲函數(shù)x（t）。對數(shù)股票價格y（t）曲線就相當(dāng)于圖1中的一個布朗粒子位移曲線（一條樣本軌道）。

波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）與擴(kuò)散系數(shù)D具有相同的物理意義，是描述大量布朗粒子擴(kuò)散速度的統(tǒng)計參數(shù)和物理量，不能用來度量一個布朗粒子位移的波動程度。

從隨機(jī)過程的角度看，標(biāo)準(zhǔn)差是度量大量樣本軌道偏離均值離散程度的統(tǒng)計參數(shù)，無法用來描述一條樣本軌道的波動程度。

（二）波動范圍與事實不符

期權(quán)定價理論假設(shè)股票價格服從式（12）幾何布朗運動模型描述的對數(shù)正態(tài)分布，則t時刻對數(shù)股票價格y（t）的方差為σ2t，因此，y（t）在范圍內(nèi)波動的概率為99.73%，這表明對數(shù)股票價格y（t）的波動范圍會隨時間t的平方根不斷增大，與實際對數(shù)股票價格在固定寬度的線性通道內(nèi)運行的觀察結(jié)果（見圖3）嚴(yán)重不符。

（三）數(shù)學(xué)抽象錯誤

將實際問題正確地抽象為數(shù)學(xué)問題是建立科學(xué)理論或解決實際問題的第一步，也是最為關(guān)鍵和重要的一步。如果不能將實際問題正確地抽象為數(shù)學(xué)問題，即使使用正確的數(shù)學(xué)推理和分析方法，也會得出一系列錯誤的結(jié)論。

前面已經(jīng)對股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了分析，得出股票價格是時間函數(shù)的結(jié)論。根據(jù)隨機(jī)過程定義，股票價格只能被抽象為隨機(jī)過程中的一條樣本軌道s（t），而非隨機(jī)變量S（t）。

期權(quán)定價理論錯誤地將實際股票價格s（t）抽象為隨機(jī)變量S（t），無形中使研究對象從一條樣本軌道改變?yōu)榇罅繕颖拒壍赖募?，?dǎo)致整個期權(quán)定價理論建立在錯誤的隨機(jī)變量假設(shè)基礎(chǔ)上，并使用描述大量樣本軌道擴(kuò)散速度的統(tǒng)計參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）來度量一條樣本軌道的波動程度，必然無法正確描述、解釋和預(yù)測股票價格波動現(xiàn)象及規(guī)律，在實際應(yīng)用時給金融市場帶來巨大的災(zāi)難。

（四）正態(tài)假設(shè)與事實不符

期權(quán)定價理論首先假設(shè)資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布，然后用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差來度量資產(chǎn)價格偏離平均值的程度。

圖2為上證指數(shù)的日收益率。上證指數(shù)的日收益率在下一時刻的正負(fù)和大小是完全隨機(jī)的，將不同時刻的上證指數(shù)日收益率作為樣本點進(jìn)行統(tǒng)計分析，上證指數(shù)的日收益率分布曲線是一條中間高，兩端逐漸下降且完全對稱的鐘形曲線，與正態(tài)分布近似，并具有如下的正態(tài)分布性質(zhì)：

1.對稱性。絕對值相等的正、負(fù)收益率出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。

2.集中性。收益率分布曲線的高峰位于正中央。

圖4為上證指數(shù)自2003年9月至2020年9月的年收益率曲線。上證指數(shù)的年收益率曲線在一段時間內(nèi)始終上升，在另一段時間內(nèi)一直下降。也就是說，上證指數(shù)的年收益率不是完全隨機(jī)變化，而是存在明顯的確定性變化趨勢，不具有正態(tài)分布的對稱性和集中性，不滿足期權(quán)定價理論的正態(tài)分布要求，因此，日收益率的標(biāo)準(zhǔn)差根本無法用來度量圖4所示年收益率的波動程度。

（五）風(fēng)險度量問題

期權(quán)定價理論將方差作為風(fēng)險的度量，由于不考慮價格變動的方向，因此偏離了投資風(fēng)險的原始含義。

投資風(fēng)險的原始含義是指遭受損失的可能性。股票價格向上波動會給投資者帶來收益，向下波動才會給投資者造成損失。如果將股票價格向上的大幅波動視為風(fēng)險，投資者在規(guī)避風(fēng)險的同時，也會失去獲取超額收益的良好機(jī)會。因此，波動率在理論和實踐上均無法真實反映投資風(fēng)險的本質(zhì)，與投資者的心理感受完全不一致。

（六）模型參數(shù)錯誤

式（12）的幾何布朗運動模型是隨機(jī)微分方程，其參數(shù)在概率意義上等于股票價格日收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是期權(quán)定價理論卻將股票價格的年波動率當(dāng)作幾何布朗運動模型和BS期權(quán)定價公式中的使用（Hull，2011）。

七、重新定義波動率

定義波動率參數(shù)的目的，是為了衡量資產(chǎn)價格在給定時期內(nèi)上下波動的程度，為量化分析、投資決策、資產(chǎn)定價和風(fēng)險管理提供科學(xué)依據(jù)。期權(quán)定價理論將股票價格抽象為隨機(jī)變量，只能用刻畫隨機(jī)變量偏離均值離散程度的統(tǒng)計參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）來度量股票價格的波動程度，因而無法正確描述和度量股票價格的實際波動程度。