李軍

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，需要把握知識(shí)的“本質(zhì)”，觸及知識(shí)的“內(nèi)核”，有效促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。筆者以“乘法分配律”教學(xué)為例，從計(jì)算出發(fā)，讓學(xué)生在探索運(yùn)算律的過程中感受演繹推理的價(jià)值;在回顧反思的過程中感受多元表征的方式;在理解本質(zhì)意義的過程中讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】本質(zhì) 意義 推理 深度學(xué)習(xí)

一、課前思考

筆者觀摩了好多課堂，發(fā)現(xiàn)一些教師非常注重“如何教”，卻不注重學(xué)生“學(xué)什么”“如何學(xué)”。學(xué)習(xí)如果不能把握知識(shí)的“本質(zhì)”，觸及不到知識(shí)的內(nèi)核，學(xué)生的學(xué)習(xí)只能淺嘗輒止，無(wú)法進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。本文試圖以“乘法分配律”內(nèi)容教學(xué)為例，闡述如何從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，有效促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

乘法分配律是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了乘法交換律、結(jié)合律，并能初步應(yīng)用這些定律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。乘法分配律是運(yùn)算律單元的教學(xué)重點(diǎn)，幾個(gè)版本的教材基本都是按照分析題意、列式解答、舉例類比、觀察發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用提升等層次進(jìn)行的。這是學(xué)生初步接觸乘法分配律，學(xué)好分配律是學(xué)生后續(xù)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的前提和依據(jù)。

那么乘法分配律教學(xué)的起點(diǎn)到底在哪里？應(yīng)從生活中引入還是從運(yùn)算中引入？人教版、蘇教版、北師大版數(shù)學(xué)教材都是從購(gòu)物等生活問題中引入乘法分配律，讓學(xué)生通過舉例，在不完全歸納推理比較中逐步發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏在其中的規(guī)律。筆者前期的教學(xué)設(shè)計(jì)也一直按照這樣的思路進(jìn)行，在實(shí)際教學(xué)時(shí)總感到不順，學(xué)生也感到理解吃力，學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中也不太順手，明明都能說出分配律的內(nèi)容和表現(xiàn)形式，為何作業(yè)中的錯(cuò)誤卻頻繁出現(xiàn)？筆者思考：我們一直把分配律當(dāng)作一個(gè)全新的知識(shí)來教學(xué)，其實(shí)早在二年級(jí)學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)及其口算時(shí)學(xué)生就開始不自覺地使用乘法分配律了。乘法分配律的本質(zhì)實(shí)則是乘法計(jì)算的算理和支撐，有效教學(xué)的起點(diǎn)是學(xué)生的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)而非日常生活，應(yīng)以此為切入口設(shè)計(jì)教學(xué)。乘法的原理是不是就是學(xué)生學(xué)習(xí)分配律的“最近發(fā)展區(qū)”？是不是就是學(xué)生思維生長(zhǎng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)？想到此處，筆者頭腦中突然冒出一個(gè)想法：教學(xué)乘法分配律時(shí)何不嘗試從乘法的意義入手，讓學(xué)生在回顧乘法過程、理解乘法算理的基礎(chǔ)上很自然地得出乘法分配律，讓規(guī)律自由“生長(zhǎng)”出來！學(xué)生不但知道乘法分配律從哪里來，比較容易理解乘法分配律的意義，而且能理解得比較深刻，有利于學(xué)生掌握知識(shí)，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

筆者期待，這樣的教學(xué)，會(huì)不會(huì)讓學(xué)生有一種“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的頓悟感？同時(shí)，筆者更期待，學(xué)生在心底自然而然地“生長(zhǎng)”出規(guī)律后，會(huì)不會(huì)這樣去反思：很多內(nèi)容，如果我們能思考和比較得更加深入一點(diǎn)，多一個(gè)角度去觀察，是不是會(huì)自然地“生長(zhǎng)”出更多意想不到的知識(shí)和規(guī)律呢？

二、實(shí)踐嘗試

課前：在黑板上板書5×3和（5+4）×3兩個(gè)式子，問：各表示什么意思？

（一）復(fù)習(xí)舊知，引出問題

1.問題引入

（1）出示：25×14

師：算式表示什么？如何計(jì)算？自己把算式寫在作業(yè)本上。

（學(xué)生展示自己的作業(yè)并說說是怎么計(jì)算的）

師（追問）：25×4怎么算的？剛剛我們?cè)谟?jì)算25×14的時(shí)候先算什么？再算什么？

（板書：25×4、25×10）

師：然后呢？（在25×4和25×10之間寫個(gè)“+”號(hào)）

（師引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上的兩個(gè)式子： 25×14， 25×10+25×4）

師：兩個(gè)算式有什么不一樣？

（板書： 25×14? ? ?25×（10+4）? ? 25×10+25×4）

生：左側(cè)表示14個(gè)25，中間是10與4的和乘25也表示14個(gè)25，右側(cè)10個(gè)25加4個(gè)25。

師：現(xiàn)在可以在這三個(gè)算式之間畫“=”嗎？

（2）出示15×12

師：這個(gè)算式能寫出這個(gè)模式嗎？又表示什么呢？

生：15×12=（10+2）×15=10×15+2×15。（師板書）

師（追問）：相等嗎？誰(shuí)能說明白為什么？

（3）出示：23×16

師：你能寫出上面的格式嗎？自己在本子上寫一寫。

師（板書）：23×16=（10+6）×23=10×23+6×23

同意這種寫法嗎？為什么？

2.嘗試探究：先做后說

出示嘗試問題1：

（20+3）×37=

（10+9）×23=

（32+25）×74=

（學(xué)生獨(dú)立完成后上臺(tái)展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察等號(hào)左側(cè)和右側(cè)的相同與不同）

嘗試問題2：出示（16+△）×51=

（△+□）×○=

（a+b）×c=

3.比較歸納

師：這就是乘法分配律，而且有自己的語(yǔ)言表達(dá)形式。

（學(xué)生嘗試用自己的語(yǔ)言表達(dá)后教師進(jìn)一步完善乘法分配律的表述）

師：對(duì)于發(fā)現(xiàn)乘法分配律的過程，你有什么想法？

生：看來，只要我們認(rèn)真觀察，深度思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)最常見的計(jì)算里面也蘊(yùn)藏著一些重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律！

（二）回顧反思，感悟規(guī)律

師：同學(xué)們回顧一下，在我們學(xué)習(xí)的過程中，還在哪兒看到或者用到過類似乘法分配律呢？

學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)的有效激發(fā)下，回憶起諸如長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算的兩種方法之間的關(guān)系、兩個(gè)圖形面積之和的不同算法，在回憶和比較中將以前學(xué)習(xí)的知識(shí)與當(dāng)前學(xué)習(xí)的規(guī)律進(jìn)行串聯(lián)和溝通。

（三）應(yīng)用規(guī)律，鞏固提升

過程略。

（四）總結(jié)回顧，深化認(rèn)知

教師指著（5+4）×3算式說，“分配律”，就是先“分”后“配”的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從算式意義的角度，一步步梳理和板書出“分”“配”的過程。

師：今天這節(jié)課，你有什么收獲？從中你得到什么啟發(fā)？

師：很多時(shí)候，我們面對(duì)熟悉的知識(shí)、情境、問題，可以試著往深處想一想，這些知識(shí)的背后，是不是蘊(yùn)藏了一些規(guī)律？是不是隱藏了一些看不見的奧秘？經(jīng)常這樣往深處去思考，我們的思維會(huì)變得更有深度！

師：比如，（指著黑板）這個(gè)地方是加號(hào)。那如果是減號(hào)又該如何呢？乘法分配律除了支撐乘法的算理，還有什么其他作用呢？

（學(xué)生帶著思考下課）

三、課后思考

本節(jié)課教師大膽變革，重在從計(jì)算入手，從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的習(xí)以為常的兩位數(shù)乘法開始，一步步引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)算的本質(zhì)出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

首先，在探索運(yùn)算律的過程中感受演繹推理的價(jià)值。在此過程中，嘗試讓學(xué)生從演繹推理的角度，來感悟乘法分配律是在計(jì)算的基礎(chǔ)上自然而然產(chǎn)生的規(guī)律，探究算理的過程，就是“生長(zhǎng)出”規(guī)律的過程，讓學(xué)生明白：運(yùn)算律就隱藏在我們常見的運(yùn)算之中。多數(shù)教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)都是從生活中的事例出發(fā)，通過大量舉例后比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用合情推理的思想方法組織學(xué)生探究規(guī)律。而上述教學(xué)案例則是從“事理”走向了“算理”，讓學(xué)生利用演繹推理思想方法來探究規(guī)律，讓學(xué)生在探究規(guī)律的過程中獲得一種“頓悟”感，初步感受小學(xué)階段不常用“演繹推理”的力量，也讓學(xué)生從“意義”“算理”等本質(zhì)角度展開他的學(xué)習(xí)之旅。這樣的學(xué)習(xí)更具有深度，更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生更容易理解和接受，也對(duì)“分配律”理解得更加深刻。

其次，在回顧反思的過程中感受多元表征的方式。在發(fā)現(xiàn)的過程中，學(xué)生通過對(duì)計(jì)算的過程進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)了乘法分配律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)后先用自己的語(yǔ)言來描述規(guī)律，此時(shí)屬于“語(yǔ)言表征”，在學(xué)生描述的基礎(chǔ)上引入“符號(hào)表征”，體會(huì)數(shù)字換成符號(hào)同樣可以表征規(guī)律，而且更具有一般性。隨后，在回顧環(huán)節(jié)，學(xué)生不僅回憶起學(xué)過的大量計(jì)算的算理運(yùn)用了乘法分配律（如12×3的口算過程），而且回憶起周長(zhǎng)的兩種計(jì)算方法之間也有分配律，此時(shí)教師借助學(xué)生的回答，呈現(xiàn)如圖1的例子。讓學(xué)生將符號(hào)表征與圖形表征相結(jié)合，此時(shí)又對(duì)分配律進(jìn)行了“圖形表征”，從而學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解和記憶更加形象、深刻，同時(shí)也初步感受了數(shù)形結(jié)合思想和模型思想。

再次，在理解本質(zhì)意義的過程中讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。課前，筆者進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單的提問：5×3表示什么？（5+4）×3又表示什么？這里看似簡(jiǎn)單了解性的提問，其實(shí)是有深意的。目的是讓學(xué)生從乘法意義的角度，來溝通乘法和加法之間的聯(lián)系。乘法分配律是運(yùn)算律中唯一包含兩種運(yùn)算的規(guī)律，是溝通乘法和加法（減法）之間關(guān)系的運(yùn)算律，這與其他運(yùn)算律也是有很大區(qū)別的，為后續(xù)學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)一步拓展建立深刻印象。后續(xù)探究乘法分配律，也是從乘法意義的角度來分解出相對(duì)應(yīng)的等式，在觀察等式的基礎(chǔ)來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。最后應(yīng)用總結(jié)階段，筆者回到課前的簡(jiǎn)單提問“（5+4）×3”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)別樣的先“分”再“配”的過程（如圖2）。這樣的教學(xué)，無(wú)疑是從本質(zhì)出發(fā)，從意義入手，讓學(xué)生沿著知識(shí)的本源探究，讓學(xué)生觸及數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，展開深度學(xué)習(xí)和思考，無(wú)疑是一種有益的嘗試。