徐曉良

“雞兔同籠”問題在我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中就已經(jīng)出現(xiàn)，為了體現(xiàn)其數(shù)學文化歷史與獨特的解決問題方法，不同版本的小學數(shù)學課本都把它納入其中。“雞兔同籠”是教學難點，特別是一線教師存在非常多的困惑與問題。一是解題方法上：雖然“雞兔同籠”問題的解題方法很多，但這些方法都不是平時數(shù)學解決問題的常用方法。當學生面對問題時，很難用以前的經(jīng)驗來解決問題；“假設法”是解決“雞兔同籠”問題非常好的數(shù)學方法，但對四年級的學生來講，“假設法”比較陌生，而且解題步驟較多，要理解解題的每一步表示的意思不容易。二是教學目標上：從教材呈現(xiàn)的解題方法而言，有畫圖法、列舉法、假設法、方程法等。不同版本教材無論把“雞兔同籠”問題編排在哪個年級，都呈現(xiàn)了多樣的方法。學生要把這些方法都掌握起來，難度很大。面對四年級的學生，“雞兔同籠”問題的落腳點和切入點又在哪里呢？

如何基于學生的認知基礎與經(jīng)驗方法，突破教材原有的編排順序，重構(gòu)這一典型問題的學習序列呢？筆者在分析研究教材的基礎上，對“雞兔同籠”問題進行了新的探索與實踐。從學生學習的起點與導入進行了思考、分析、實踐。

一、知事——《雞兔同籠》問題的多版本教材分析

筆者查閱了九個版本的數(shù)學教材，發(fā)現(xiàn)《雞兔同籠》問題在不同版本的教材中均有編排，但編排的年級、解決方法介紹及側(cè)重點是不同的。（見表1）

表1

橫向比較，不同版本的教材都把“雞兔同籠”問題作為學習的主題，但不同的教材處理方式與目標定位并不完全一致。有的教材原汁原味地呈現(xiàn)歷史原題，體現(xiàn)了數(shù)學的優(yōu)秀文化；有的教材則對原問題進行情節(jié)性的改編，突出數(shù)學模型思想；也有的以此問題為載體，側(cè)重于“列表枚舉”等數(shù)學方法的介紹。

縱向比較，人教版將《雞兔同籠》的教學編排從第十一冊（2006年版）前移到第八冊（2014年版），且內(nèi)容編排整體變化不大，教學目標定位略有微調(diào)，主要減少了“方程”這種解題思路，其他（含練習題）則大體相同。

綜合上述教材的分析，整理成表1，可以看出不同版本的教材在呈現(xiàn)方式與目標定位上的差異，給教學帶來了很大的創(chuàng)新空間，與此同時，也帶來不少困惑的問題：一是從教學設計的角度，在不同的學習階段，如何設計“列舉法”“畫圖法”“假設法”“列方程”等方法的學習序列，揭示這些方法內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系？二是從數(shù)學方法的角度，如何夯實最基本的數(shù)學方法，為后繼學習積累更有價值的思維經(jīng)驗？

二、知人——《雞兔同籠》問題的學生學習起點分析

以浙江省海寧市紫微小學（城鎮(zhèn)小學）四年級為例，對兩個班共88 位學生進行了一次前測：前測內(nèi)容兩題，共計10 分鐘時間。

第一題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個頭，從下面數(shù)共有26 只腳。雞和兔各有幾只？學生的正確率見表2：

表2

第二題：全班一共有38 人，共租8 只船，大船可以坐6 人，小船可以坐4 人，每條船都坐滿了。大小船各有幾只？學生的正確率見表3：

表3

從統(tǒng)計結(jié)果可見，這兩個班的學生無論是“雞兔同籠”的原題還是變式題，都有四分之一左右的學生能找到正確答案。不同的學校或班級解決此類問題的差異較大，筆者曾在2018年對四年級城鎮(zhèn)學校和農(nóng)村學校各一個班做了同樣的前測，城鎮(zhèn)學校的正確率遠高于農(nóng)村小學。筆者分析，課前的學習，特別是是否參加課外輔導班的學習，是造成差異的主要因素。

據(jù)調(diào)查，城鎮(zhèn)學校近一半的學生在課外班學過“雞兔同籠”問題，而農(nóng)村小學的學生學過的比例很小。即使在城鎮(zhèn)學校上過課外班的學生中，能正確解答的學生也只占少數(shù)，這說明，對于四年級學生而言，掌握“雞兔同籠”問題解法有一定的難度。基于問題本身的難度以及學生的差異表現(xiàn)，筆者認為“雞兔同籠”問題的教學，應當?shù)推瘘c、低難度！

然后，再來看看做對的學生都是采用什么方法做的呢？第一題做對學生采用的方法如表4。

表4

第二題做對學生采用的方法如下表5。

表5

在解決第一題時，做對的學生中有一半是采用假設法的，而到變式題的時候卻減少了一半，為什么會這樣呢？在整理學生作品的過程中，筆者找到了答案。筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)有半數(shù)以上的學生開始用列舉法了，不僅是做對的學生，做錯的學生中也有很多開始去列一列、試一試，即使沒有找到正確答案。學生的解題過程，印證了筆者的一個想法：許多學生的心中是有列舉嘗試的意識的，但是，等教師將“雞兔同籠”的內(nèi)容教完后，即使沒學會假設法的學生，也不愿意用列舉這種“笨”辦法了。

三、潤慧——“雞兔同籠”單元重組學習路徑

知識是載體，通過數(shù)學知識的學習培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，特別是思維能力與解決問題的能力才是教學的根本目標。而能力體現(xiàn)在知識的遷移與運用上，面對一個不曾遇見或是略有挑戰(zhàn)的數(shù)學問題，學生能運用已學的知識和思維經(jīng)驗去解決它，這是能力的體現(xiàn)。比能力更高級的是智慧，智慧體現(xiàn)在選擇中?！半u兔同籠”問題解決的方法比較多樣，如何選擇合適的方法？如何避免對方法的生搬硬套？

通過對多版本教材的對比分析，結(jié)合對學生的問卷調(diào)查，筆者認為：“雞兔同籠”單元的學習必須要“保底”與“提升”。保底，即人人掌握用列舉法解決“雞兔同籠”問題。提升，即通過多種方法比較分析，找到方法之間的聯(lián)系，深度理解“假設法”，從而實現(xiàn)不同的學生都有不同的層次提升。讓沒有接觸過的、能力較弱的學生在束手無策時，有法可循；讓有一定學習基礎、一知半解的學生想套用模型時，真正理解；讓已經(jīng)掌握了的、能力較強的學生在正確解答時，深度理解。見表6 具體安排。

表6

1.回歸學生起點，人人掌握“列舉法”。

從解題方法的角度而言，方程法遠比畫圖、列表之類的方法要快捷、簡便，但這種簡便是數(shù)學的價值而不是教育的價值！對于數(shù)學廣角的內(nèi)容和學生學習的價值不僅僅只是停留于得到一個答案和結(jié)果，更多的是要給予學生解決面對新的、未知問題時的一種方法和策略，如：面對新問題如何入手？從哪里入手？怎么進行嘗試？怎么樣在嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)和總結(jié)？通過對教材內(nèi)容的重組，在課堂上呈現(xiàn)非典型“雞兔同籠”問題，讓學生回歸到學習最原始的狀態(tài)，從未知開始，嘗試畫一畫、舉一舉的方法解決問題，在解決問題的過程中慢慢積累經(jīng)驗，在經(jīng)驗中一步一步地優(yōu)化、提升。放慢腳步，拉長并放大列舉、畫圖等基本方法的學習與體驗過程，拉長了列舉法的體驗，學生原生態(tài)的思考、探索、分享、實踐有了時間與空間的保障，有序思考，觀察、分析、歸納、創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)并不斷調(diào)整等綜合能力都得到充分發(fā)展。這樣的學習過程，既守住了學生學習的底線，更讓許多數(shù)學核心素養(yǎng)在學習過程中得到了培養(yǎng)。

2.拉長體驗過程，深度理解“假設法”。

面對兩極分化相對比較嚴重的“雞兔同籠”問題，重組后的第一課時貌似忽略了“優(yōu)秀學生”的存在。但回歸原始，并不是放棄假設法，而是拉長體驗的過程，給假設法做了更深更厚的鋪墊。在課堂上難免有優(yōu)秀分子會提出假設法，而太快得出如此“簡易而通吃”的方法，往往會忽視了結(jié)果背后的產(chǎn)生過程。假設全是雞或兔，逼近的思想在畫圖法、列表法中都是有滲透的，拉長了這個過程，給予“沒有接觸過或能力弱的孩子”一個理解的機會，給予“貌似理解假設法的孩子”一個走進假設法背后的機會。而且，第一課中的兩個例題都不是典型的“雞兔同籠”問題，而是用三角形與五邊形，5 角與2 角這樣的素材，進一步避免了部分學生套用公式，也從本質(zhì)上來理解這些數(shù)學問題。

3.多次溝通融合，聯(lián)結(jié)提升各方法。

本單元的重組中，實現(xiàn)了兩次溝通融合。第一次融合是在第一課時例1 的學習中，要求學生完整列舉并將所有情況有序?qū)懗鰜?。? 的學習則引導學生思考：當找到正確答案時，還需要列舉下去嗎？通過對這一問題的討論，最后學生發(fā)現(xiàn)：當找到正確答案時，不需要再列舉下去了，再往下列舉要么是多相差數(shù)，要么少相差數(shù)。例3 問題呈現(xiàn)時，要求學生快速列舉。這時，學生已能利用先前學習獲得的經(jīng)驗，開始跳躍式的列舉，從隨意舉2 個數(shù)后根據(jù)相差數(shù)快速地調(diào)整到正確的答案，而快速調(diào)整的過程其實就是假設法的雛形。第二次融合是在第二課時，在學習了假設法后，再回頭引導學生比較列舉法與假設法，學生突然發(fā)現(xiàn)列舉法就是假設法，假設法只不過是從特殊的數(shù)字開始，而列舉法則是從普通的情況開始，其本質(zhì)不變的是關注假設總數(shù)與原總數(shù)的相差數(shù)與兩種不同物體的相差數(shù)。這兩個層面的溝通融合，讓學生產(chǎn)生頓悟，讓學生豁然開朗。

單元重組的目的是構(gòu)建更加適合學生的學習序列，科學設計學習序列，可以降低學生學習的難度。與此同時，在不同的學習階段，學生學習的解決問題的方法是不一樣的，積累的思維經(jīng)驗也在動態(tài)變化。每一種方法都有適切的應用場景嗎？什么是好的方法？從數(shù)學的角度看，簡潔通用的方法就是好的方法，從教學的角度看，適切的方法就是好的方法，特別地，有時學習的“笨”方法會被新的方法替代，但不能“忘本”，因為那些基本的方法雖然比較繁瑣，卻是非常通用且比較容易入手的?！氨俊狈椒ㄆ鋵嵰彩恰昂谩狈椒?。