張馳 郭春文

[摘 ? 要]《萬有引力與航天》涉及兩種圓周運動：地球上的物體跟隨地球的自轉(zhuǎn)做圓周運動，天上的衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動。兩者特別容易混淆。文章針對這一難點進行分析，并指出地球同步衛(wèi)星是兩者的紐帶。

[關(guān)鍵詞]萬有引力;跟隨;環(huán)繞;向心力

[中圖分類號] ? ?G633.7 ? ? ? ?[文獻標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）32-0049-03

地球上的物體被動地跟隨地球做圓周運動，這種運動與地球的自轉(zhuǎn)有關(guān)。天上的衛(wèi)星主動環(huán)繞地球做圓周運動，從動力學(xué)角度看，這種運動與地球的自轉(zhuǎn)無關(guān)。雖然這兩類模型都是勻速圓周運動，但二者還是有所區(qū)別的，其中最本質(zhì)的區(qū)別在于向心力的來源不同。本文結(jié)合高考題、模擬題進行剖析。

一、跟隨模型

1.向心力來源：由萬有引力的一個分力提供

課本上，重力是這樣定義的：因為地球的吸引而使物體受到的力叫重力，那么為什么不直接說萬有引力就是重力呢？其實，地球不停地自轉(zhuǎn)導(dǎo)致地球上的物體被迫跟隨它做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力的一個分力提供，萬有引力的另一個分力就是我們熟悉的重力。如圖1所示，萬有引力的方向指向地球球心，向心力方向垂直地軸，重力方向豎直向下。物體跟隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動，這種運動跟地球的自轉(zhuǎn)有關(guān)。

2.在考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力與重力的關(guān)系

隨著緯度的降低，物體跟隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動的軌道半徑增大，因而物體做圓周運動的向心力F向 （[F向=mω2r]，式中[ω]是定值）也隨之增大，故物體重力隨著緯度降低而減小，即重力加速度g從兩極到赤道逐漸減小。正是由于地球的自轉(zhuǎn)，導(dǎo)致不同緯度處的重力加速度有所不同。

接下來討論兩個特殊位置的情況。如果物體在地球兩極表面，則物體不會跟隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動，即[r=0]，[F向=0]，因此萬有引力全部等于重力。如果物體在地球赤道表面，萬有引力和它的兩個分力（即重力和向心力）都指向地球球心，因此萬有引力等于重力與向心力之和。（具體見例題1）

如果物體放在地球表面一般位置，需要把萬有引力按照力的平行四邊形定則分解為重力和向心力，結(jié)合物體所在的緯度加以計算。

3.在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力與重力的關(guān)系

當(dāng)物體處在地球赤道表面時，物體隨地球做圓周運動的半徑最大，需要的向心力最大，[F向max=mω2R=m2πT2R]，此時向心力與萬有引力的比值：[m2πT2RGMmR2=4π2R3GMT2≈1300]（G是引力常量，R是地球半徑，M是地球質(zhì)量，T是地球自轉(zhuǎn)周期，都是已知量）。

向心力最多也只占萬有引力的三百分之一，微乎其微，因此才可以忽略向心力，即忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，可以認(rèn)為地球表面上的物體受到地球的引力等于該物體在地球表面處的重力，即[GMmR2=mg]（G是引力常量，m是物體質(zhì)量，R是地球半徑，M是地球質(zhì)量，g是地球表面的重力加速度）。此式建立了地球質(zhì)量、半徑和地球表面重力加速度之間的代換關(guān)系，其重要性堪比黃金，因此稱為黃金代換。

如果是在距離地球表面一定高度h處，則該位置到地球球心距離不再是地球半徑R，而是R+h，用R+h取代R即可，即[GMmR+h2=mgh]，此式也是黃金代換式（其中[gh]是在距離地面一定高度h處的重力加速度），此式也說明了隨著高度的增加，重力加速度逐漸減小。（具體見例題2）

當(dāng)然，并不是所有星球都像地球這樣可以忽略自轉(zhuǎn)。如果某個星球自轉(zhuǎn)效應(yīng)明顯，則對于該星球黃金代換式就不成立了，或者說近似度很低。

二、環(huán)繞模型

1.向心力來源：萬有引力全部用來提供向心力

我們知道，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球的運動可以視為勻速圓周運動，向心力全部由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力F 提供，如圖2所示。從動力學(xué)角度看，地球的自轉(zhuǎn)對衛(wèi)星的圓周運動沒有影響。

不僅僅人造衛(wèi)星環(huán)繞地球運動，類似的運動情景還有很多，比如月球環(huán)繞地球運動，地球環(huán)繞太陽運動。如果A環(huán)繞B運動，我們把A叫作環(huán)繞天體，把B叫作中心天體。中學(xué)階段，我們可以認(rèn)為環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，萬有引力全部提供向心力，這一點與跟隨模型有著本質(zhì)的區(qū)別。中心天體質(zhì)量記為M，半徑記為R，環(huán)繞天體質(zhì)量記為m，軌道半徑記為r。

2.環(huán)繞天體的角速度、公轉(zhuǎn)周期、線速度、向心加速度和軌道半徑的關(guān)系

通過參考例題4，我們可以看出這兩類模型也不是孤立的。無論是地球同步衛(wèi)星，還是其他普通衛(wèi)星，環(huán)繞地球做勻速圓周運動時，從動力學(xué)角度看，萬有引力全部用來提供向心力，向心力來源是一樣的。從運動學(xué)的角度看，地球同步衛(wèi)星繞地球運動的周期和地球自轉(zhuǎn)周期相等，當(dāng)然也等于地球上的物體跟隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動的周期。因此，地球同步衛(wèi)星是連接跟隨模型和環(huán)繞模型的重要紐帶。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?李良偉.天體運動的幾種模型[J].物理通報，2016（8）：61-64.

[2] ?張煒.關(guān)于萬有引力問題的兩個典型模型[J].中國校外教育，2015（9）：124.

[3] ?先春.萬有引力中的易混淆的三個問題[J].才智，2008（18）：131.

（責(zé)任編輯 易志毅）