梁楨楨

【摘要】直觀想象素養(yǎng)是教育部提出的核心素養(yǎng)內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用，落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主陣地是我們的課堂，教師在課堂中創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、學(xué)習(xí)活動(dòng)等，將直觀想象素養(yǎng)的養(yǎng)成滲透到課堂教學(xué)中，文章以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述如何在高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】直觀想象素養(yǎng)? ?數(shù)學(xué)課堂? ?拋物線? ?培養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1992-7711（2020）31-065-03

在六大核心素養(yǎng)中，直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。直觀想象建立起了數(shù)與形的橋梁，隨著時(shí)代的發(fā)展，在教學(xué)中，對(duì)提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)也提出了更高的要求?，F(xiàn)在高中生利用直觀想象能力解決實(shí)際問題的能力非常有限，所以我們要重視學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主陣地是我們的課堂，在數(shù)學(xué)課堂上如何將培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)落在實(shí)處？這是一線教師都非常關(guān)心的問題，本文以人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-1）“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述如何將培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)落實(shí)在高中數(shù)學(xué)課堂。

一、創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

活動(dòng)1：直觀感知生活中的拋物線。（1）圖片展示：上海盧浦大橋、彩虹、噴泉、衛(wèi)星接收天線。（2）動(dòng)畫演示投籃時(shí)籃球的運(yùn)行軌跡是拋物線。

設(shè)計(jì)意圖：通過生活實(shí)例，吸引學(xué)生注意力，讓學(xué)生直觀感知生活中的拋物線，并認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)拋物線的重要性，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

活動(dòng)2：理性思考數(shù)學(xué)中的拋物線。老師先讓學(xué)生回憶二次函數(shù)圖象，如y=x2，y=ax2+bx+c（a≠0）等圖象是怎樣的，接著提出問題，為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？

活動(dòng)3：利用幾何畫板演示不同開口朝向、大小的拋物線，讓學(xué)生觀察，并提問：這些都是拋物線嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)2和活動(dòng)3通過問題的引入激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，明確我們需要用拋物線的定義來判斷，理性思考數(shù)學(xué)中的拋物線。幾何畫板的演示讓拋物線“活”了起來，避免學(xué)生對(duì)拋物線開口死板的感性認(rèn)識(shí)。

剖析：彩虹、噴泉體現(xiàn)了自然之美，上海浦東大橋、衛(wèi)星接收天線又體現(xiàn)了人類的智慧，籃球更是本班男生的至愛，現(xiàn)實(shí)情境的引入，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，熟悉的情境能迅速吸引學(xué)生的注意，進(jìn)而調(diào)整好狀態(tài)進(jìn)入課堂的學(xué)習(xí)。因此教師在數(shù)學(xué)課堂中要重視創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，學(xué)生的內(nèi)心被觸動(dòng)了，會(huì)更積極動(dòng)腦進(jìn)行類比歸納總結(jié)，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，為進(jìn)一步上升到理論認(rèn)識(shí)做準(zhǔn)備，這一過程也同時(shí)提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

二、合理運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

活動(dòng)1：幾何畫板動(dòng)態(tài)演示拋物線的形成過程。教師一邊利用幾何畫板演示拋物線的作圖過程，一邊介紹作圖規(guī)則。用《幾何畫板》作圖，如圖1，點(diǎn)F是定點(diǎn)，l是不過點(diǎn)F的定直線，H是l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作l的垂線MH，作線段FH的垂直平分線m，MH與直線m交于點(diǎn)M。拖動(dòng)點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡，思考點(diǎn)M滿足的幾何條件。

設(shè)計(jì)意圖：拋物線的畫法較為復(fù)雜，可以通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀觀察拋物線的形成過程，使他們真正看到了“軌跡”，這樣易于理解，記憶深刻，這種直觀、生動(dòng)的教學(xué)是化靜為動(dòng)的變化過程。能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，有助于學(xué)生提升直觀想象素養(yǎng)。

活動(dòng)2：歸納總結(jié)拋物線的定義與對(duì)定義的解讀。

師：能結(jié)合剛才的演示給拋物線下個(gè)定義嗎？

生：到一個(gè)定點(diǎn)F與到一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡.

師：那定點(diǎn)F和一條定直線l的位置關(guān)系如何？點(diǎn)F能在直線l上嗎？

生：（有點(diǎn)遲疑）有學(xué)生回答不能。

師：為什么？若點(diǎn)F在直線l上，平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡是什么呢？

生：若點(diǎn)F在直線l上，則軌跡為過定點(diǎn)F垂直于直線l的直線l'.

師生共同歸納定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線。點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生為主體，讓學(xué)生觀察拋物線的形成過程，并找到其幾何特征，進(jìn)而歸納定義，著重培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納等能力，并加深學(xué)生對(duì)拋物線定義中的條件“不過”的理解，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)。

剖析：教師利用幾何畫板演示拋物線的作圖過程，直觀生動(dòng)，也利用學(xué)生自己歸納拋物線的定義。北京師范大學(xué)教育學(xué)部課程與教學(xué)論研究院張瑜教授提到：“直觀想象是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)，是人在思維的過程中逐漸形成的思想方法和思考能力”。在教學(xué)中教師合理運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，讓學(xué)生直觀的感知，有助于將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)圖形動(dòng)靜變化過程，從而找到解決問題的本質(zhì)和思路，促進(jìn)直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，同時(shí)這一過程也是直觀想象到數(shù)學(xué)抽象的升華。

三、引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，推導(dǎo)數(shù)學(xué)問題

活動(dòng)1：拋物線方程的推導(dǎo)。

師：根據(jù)拋物線的定義，怎樣探究出拋物線的方程？現(xiàn)在我們已知一定點(diǎn)F和一條定直線l。

生：根據(jù)求曲線方程的步驟：建系—設(shè)點(diǎn)—列式—化簡(jiǎn)。

師：很好，那怎樣建系？如何建系更合理？

生1：過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，準(zhǔn)線所在直線為y軸建系（如圖2）

生2：過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，過F點(diǎn)作垂直于x軸的直線為y軸建系（如圖3）

生3：過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，以KF的中垂線為y軸建系更為簡(jiǎn)單（如圖4）.

師：同學(xué)們積極思考，充分討論，我們找到的建系方法共有三種，我們現(xiàn)在的任務(wù)就是分別求出不同建系方法下的拋物線方程，接下來我們分小組完成。

匯總這三種建系方式下的拋物線方程依次為：y2=2px-p2，y2=2px+p2，y2=2px，不難得出第三種建系方式下的拋物線方程最簡(jiǎn)潔，因此第三種建系方式最好。所以我們得出了開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px，其中把定點(diǎn)F（? ?，0）叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l：x=-? ? 叫作拋物線的準(zhǔn)線。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，小組合作交流，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，學(xué)生分工求出三種建系下的方程，充分展現(xiàn)了知識(shí)形成的過程，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，并進(jìn)一步體會(huì)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)方程形式的積極意義，為標(biāo)準(zhǔn)方程的理解打下了基礎(chǔ)，從拋物線定義到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合，這是從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變，是解析幾何基本思想的體現(xiàn)。

活動(dòng)2：類比得到四種標(biāo)準(zhǔn)方程。

思考問題：（1）大家能否根據(jù)開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px，寫出開口向左、向上、向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？（2）是不是每一種開口方向都要通過建系去推導(dǎo)？

教師要求學(xué)生先獨(dú)立思考，再討論交流。

生：通過旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)可以從圖形上得到不同開口的拋物線

（其實(shí)在前面已經(jīng)利用幾何畫板演示過不同開口不同大小的拋物線，這里提出要找另外三種開口的拋物線方程就相當(dāng)?shù)淖匀涣耍?/p>

師：的確把拋物線對(duì)折、旋轉(zhuǎn)后生成開口不同的拋物線，但沒有旋轉(zhuǎn)公式，所以無法直接通過旋轉(zhuǎn)得到方程。

生：可以用坐標(biāo)代換來解決這個(gè)問題。

師：很好，接著請(qǐng)同學(xué)們完成書上的表格內(nèi)容，把另外三種開口的拋物線的方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫出來。

設(shè)計(jì)意圖：前面幾何畫板的演示，合理地解釋了拋物線開口的任意性，學(xué)生易于接受消化，也為這里的問題的提出作了很好的鋪墊，通過焦點(diǎn)在x軸正半軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，坐標(biāo)代換得到其余三種情況，以加深學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。通過四種情況的觀察、對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到一般的規(guī)律。

活動(dòng)3：實(shí)例分析，深化理解拋物線

例1. 根據(jù)下面拋物線的方程說出它的開口方向，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

（1）y2=16x? ? ? ? ? （2）x2=-? ? y? ? ? ?（3）y=? ? x2

例2.根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）焦點(diǎn)：F（-2，0）? ?（2）準(zhǔn)線：y=1

變式1：已知拋物線過點(diǎn)A（-3，2），求其標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式2：已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計(jì)意圖：例1根據(jù)方程判斷開口，確定焦點(diǎn)位置和準(zhǔn)線，體現(xiàn)了由數(shù)到形，例2是由形到數(shù)。讓學(xué)生在數(shù)形之間不斷轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)理解，鞏固提高。變式1中點(diǎn)的坐標(biāo)在第二象限，根據(jù)拋物線的圖象，開口向左或者向上，會(huì)經(jīng)該點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合，把方程設(shè)出來，代入點(diǎn)A即可寫出方程，所以這個(gè)題根據(jù)條件應(yīng)該寫出兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程。變式2，開口可以向上，向下，向左，向右，應(yīng)該寫出四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程。題目思維量不大，但要注意圖形在解題過程中的作用，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

剖析：華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”活動(dòng)1、活動(dòng)2和活動(dòng)3充分體現(xiàn)了這個(gè)數(shù)學(xué)理念。數(shù)形結(jié)合是直觀想象主要表現(xiàn)之一，通過圖形解決問題或者通過數(shù)字符號(hào)畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法建立形與數(shù)的聯(lián)系，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的素養(yǎng)。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一個(gè)過程，在這個(gè)過程中學(xué)生根據(jù)自己本身已經(jīng)具有的知識(shí)來主動(dòng)建構(gòu)新的知識(shí)。在課堂教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生將自己已有的知識(shí)和新獲得的知識(shí)進(jìn)行重組，建構(gòu)出新的知識(shí)體系。將直觀想象素養(yǎng)提升的目標(biāo)落實(shí)在具體的題目中，通過問題分析等途徑，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力，發(fā)展理性思維，同時(shí)這個(gè)過程也為學(xué)生提升直觀想象素養(yǎng)提供了場(chǎng)所。所以我們讓學(xué)生根據(jù)他們的基礎(chǔ)去發(fā)展構(gòu)建屬于他們自身的直觀想象素養(yǎng)，在這樣的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

直觀想象素養(yǎng)在數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用，重視學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，有助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)結(jié)論，有助于提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合等能力，但直觀素養(yǎng)是不能強(qiáng)加給學(xué)生的，是老師在課堂上根據(jù)學(xué)生的具體實(shí)際情況，通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、學(xué)習(xí)活動(dòng)等逐步培養(yǎng)的，所以我們老師備課時(shí)要鉆研教材，根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)好每一節(jié)課，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

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