侯正奎

[摘要]“MPCK”的課堂內(nèi)容包括數(shù)學(xué)本體性知識、內(nèi)容組織知識、理解學(xué)生知識、效果反饋知識、教學(xué)策略知識等。數(shù)學(xué)教學(xué)就是要讓教師獲得豐富的“MK”，形成多樣的“CK”，靈活地選擇“PK”，研發(fā)多元的“TK”。通過“MPCK”的整合，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的教學(xué)，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；“MPCK”視角；統(tǒng)計與概率；教學(xué)研究

“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowl？ edge）是“數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識”的簡稱，是“數(shù)學(xué)本體性知識”（簡稱MK）、“一般教學(xué)法知識”（簡稱PK）及“學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識”（簡稱CK）的交集、整合?；凇癕PCK”視角研究小學(xué)數(shù)學(xué)，教師需要考量數(shù)學(xué)本體性知識的核心內(nèi)容是什么？學(xué)生可能存在哪些困惑？其價值和意義是什么？本文基于“MPCK”視角，研究了小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容。

一、研讀數(shù)學(xué)，獲得豐富的“MK”

對于數(shù)學(xué)教師來說，首先面對的是數(shù)學(xué)本體性知識。一般而言，數(shù)學(xué)本體性知識是通過教材展現(xiàn)出來的，教師要深入研讀教材，但是教材只是數(shù)學(xué)知識的一種載體，研讀教材并不能代替研讀數(shù)學(xué)，因此，與其說是研讀教材，不如說是研讀數(shù)學(xué)。研讀數(shù)學(xué)，能讓教師獲得豐富的“MK”，從而能進(jìn)行科學(xué)化的、有效的數(shù)學(xué)教學(xué)。

由于數(shù)學(xué)知識在教材中是以散點(diǎn)化形態(tài)出現(xiàn)的，教師在研讀教材時要把握數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。要從數(shù)學(xué)知識本體的高度對教材知識進(jìn)行審視和反思。例如，蘇教版小學(xué)四年級上冊“可能性”這部分教材內(nèi)容是屬于“統(tǒng)計與概率”板塊中的“等可能性”的內(nèi)容?！暗瓤赡苄浴笔侵笇?shí)驗(yàn)出現(xiàn)每一種結(jié)果的機(jī)會相等。教師要理解“等可能性”，也要讓學(xué)生理解“等可能性”。那么，如何讓學(xué)生感受、體驗(yàn)“等可能性”呢？著名特級教師華應(yīng)龍別出心裁地運(yùn)用“拋啤酒瓶蓋”和“拋硬幣”等實(shí)驗(yàn)素材來做對比實(shí)驗(yàn)。學(xué)生深刻地認(rèn)識到，啤酒瓶蓋不同于硬幣，它的質(zhì)地是不均勻的。我們在拋硬幣的時候，正面朝上和反面朝上的可能性相等，而拋啤酒瓶蓋，正面朝上和反面朝上的可能性是不相等的。研究了“等可能性”，學(xué)生就能深刻地理解“擲骰子”“摸球”“翻牌”等可能性的大小，也就是出現(xiàn)的概率，要著重引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“出現(xiàn)的次數(shù)”（頻率）與“出現(xiàn)的可能性”（概率）。

研讀數(shù)學(xué)，能豐富教師的數(shù)學(xué)認(rèn)知，從而讓教師能高屋建瓴地把握教材知識。例如，在“統(tǒng)計與概率”教學(xué)中，當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗(yàn)到“出現(xiàn)的次數(shù)”與“出現(xiàn)的可能性”的區(qū)別后，就能深刻地理解“等可能事件”的隨機(jī)性、規(guī)律性。這是小學(xué)階段“統(tǒng)計與概率”知識內(nèi)容的核心、靈魂。

二、探明學(xué)情，形成多樣的“CK”

學(xué)生在學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”相關(guān)知識前，已經(jīng)在生活中積淀了相關(guān)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，這些活動經(jīng)驗(yàn)，一方面是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基，另一方面卻有可能阻礙學(xué)生正確的數(shù)學(xué)認(rèn)知。探明“學(xué)情”，能讓教師形成多樣的“CK”。例如，在“統(tǒng)計量”教學(xué)中，小學(xué)生只需要理解、掌握“平均數(shù)”的意義和計算方法。事實(shí)上，在現(xiàn)代社會生產(chǎn)活動中，學(xué)生通常接觸了更為豐富的“統(tǒng)計量”，如“眾數(shù)”“中位數(shù)”等，學(xué)生已經(jīng)感受、體驗(yàn)到極端數(shù)據(jù)對一組數(shù)據(jù)整體水平的影響。例如，統(tǒng)計一個班級學(xué)生的成績，大部分學(xué)生的成績都不錯，但是只要有一兩個同學(xué)的成績極端偏低，就會拉低、影響班級成績的整體水平。了解到學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，教師在教學(xué)中就可以超越教材的知識編排，增加一些統(tǒng)計量的教學(xué)，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)極端數(shù)據(jù)對一組數(shù)據(jù)整體水平的影響。通過極端數(shù)據(jù)的引入，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“眾數(shù)”“中位數(shù)”等相關(guān)統(tǒng)計量，感受這些統(tǒng)計量對于“描述一組數(shù)據(jù)的整體水平”的存在意義和價值。這種從學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)的教學(xué)，才是有效的、有意義和有價值的教學(xué)，這樣的一種教學(xué)就是基于“CK”的教學(xué)。

探明學(xué)情，就是要從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)、生活實(shí)際出發(fā)，盡量選用貼合學(xué)生生活實(shí)際的素材，滿足學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求。據(jù)此，教師可以對教材進(jìn)行“二度開發(fā)”，進(jìn)行改編、補(bǔ)充、完善，不斷開啟學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛質(zhì)，不斷發(fā)掘?qū)W生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的智慧，讓數(shù)學(xué)教學(xué)因“CK”而精彩。

三、基于目標(biāo)，靈活地選擇“PK”

“PK”包括教學(xué)觀念、教育理論知識、課程與教學(xué)知識。從某種意義上說，教師的專業(yè)發(fā)展取決于他的“PK”知識的優(yōu)劣?；谕瑯拥慕虒W(xué)目標(biāo)，運(yùn)用同樣的教學(xué)素材，不同的教師會靈活地選擇“PK”。比如，在教學(xué)“復(fù)式統(tǒng)計表”時，不少教師都是直接列出統(tǒng)計表，讓學(xué)生向統(tǒng)計表中填寫數(shù)據(jù)。這樣的教學(xué)，是一種任務(wù)式教學(xué)，或許能讓學(xué)生解決問題，但在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力并沒有獲得有效的提升。筆者在教學(xué)中，引用荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”教學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生在自主建構(gòu)、創(chuàng)造中學(xué)習(xí)。首先，向?qū)W生呈現(xiàn)了古箏、葫蘆絲、小提琴、笛子興趣小組的男生和女生人數(shù)的統(tǒng)計表。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較這些單式統(tǒng)計表。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這些統(tǒng)計表中都有男生人數(shù)和女生人數(shù)，因而猜想能將這些單式統(tǒng)計表合并。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生積極主動地構(gòu)建復(fù)式統(tǒng)計表的框架，尤其是統(tǒng)計表的表頭設(shè)計，更是彰顯了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性。通過對復(fù)式統(tǒng)計表的構(gòu)建，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，繪制復(fù)式統(tǒng)計表的核心就是表頭，有怎樣的表頭，就會有怎樣的統(tǒng)計表框架，就會有怎樣的統(tǒng)計表。

教師要靈活地選擇“PK”，不僅要重視數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)果性目標(biāo)，更要重視過程性目標(biāo)。在教師的知識結(jié)構(gòu)之中，“PK”知識是核心，是教師專業(yè)水平差異的根本所在，只有不斷充實(shí)“PK”知識，才能不斷完善教學(xué)水平，提升學(xué)生學(xué)習(xí)力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、基于興趣，研發(fā)多元的“TK”

“TK”包括傳統(tǒng)教學(xué)媒體的知識、現(xiàn)代信息技術(shù)知識等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)搜集相關(guān)的素材，用來研發(fā)、制作課件等，“TK”知識成了教師專業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵、重要因素。

在學(xué)生興趣愛好的基礎(chǔ)上，教師在教學(xué)中要借用并研發(fā)多元的“TK”知識，啟迪和引導(dǎo)學(xué)生。例如，在教學(xué)“平均數(shù)”時，教師將這部分的內(nèi)容與信息技術(shù)中的WPS表格教學(xué)進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的數(shù)據(jù)輸入WPS表格。當(dāng)學(xué)生將一組數(shù)據(jù)輸入WPS表格后，就能拖動鼠標(biāo)，將每一列、每一行的平均數(shù)及整個表格的平均數(shù)等數(shù)據(jù)快速計算出來，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到信息技術(shù)的力量。同時，學(xué)生借助信息技術(shù)，還能真正地“玩數(shù)學(xué)”，有的學(xué)生統(tǒng)計這一組數(shù)據(jù)中的最大值，有的學(xué)生統(tǒng)計這一組數(shù)據(jù)中的最小值，有的學(xué)生用表格求和等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要設(shè)計、制作與教學(xué)思想相統(tǒng)一的課件、微課等，營造富有吸引力的學(xué)習(xí)氛圍，讓信息技術(shù)更好地為教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)，有效地發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛質(zhì)，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，“MK”知識是根基、“CK”知識是關(guān)鍵、“PK”知識是核心、“TK”知識是載體。只有將“MK”“CK”“PK”及“TK”等知識有機(jī)地融合，才能真正地創(chuàng)造有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的氛圍，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主動地思考、探究。通過“MPCK”的整合，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的教學(xué)，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。