侯木蘭

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，許多問(wèn)題可以歸結(jié)為一些基本問(wèn)題的衍生，許多問(wèn)題可以運(yùn)用一些基本方法得到有效解決，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展也扎根于“基本問(wèn)題和基本方法”之中，所以，掌握“基本問(wèn)題和基本方法”是一種值得選擇的教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 基本問(wèn)題;基本方法;三角形解的個(gè)數(shù)？

解三角形問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題之一，而求解不確定的三角形的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題又是解三角形問(wèn)題中的常見(jiàn)問(wèn)題. 學(xué)生往往在遇到這類問(wèn)題的時(shí)候會(huì)覺(jué)得不易下手，或者會(huì)片面地認(rèn)為只能用正弦定理解決，然后得到答案就草草了之，所以對(duì)這一問(wèn)題的處理方式，不但影響到前期關(guān)于正弦定理、余弦定理的理解認(rèn)知，而且還有可能造成學(xué)生記憶結(jié)論的被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài). 本文以執(zhí)教過(guò)的“三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題探究”教學(xué)片段為例，談?wù)劰P者對(duì)關(guān)于“基本問(wèn)題基本方法”理念下的三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題的一些處理及思考，請(qǐng)同行指導(dǎo).

案例片段呈現(xiàn)

1. 創(chuàng)設(shè)探究情境

引例（課前完成）：△ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，根據(jù)下列條件求解三角形：

（1）a=4，b=5，C=60°，求c;

（2）A=30°，B=45°，a=4，求c;

（3）a=4，b=5，c=5■，求C;

（4）①a=2■，b=■，B=30°，求c;②a=2■，b=■，B=30°，求c;

③a=2■，b=4■，B=30°，求c;④a=2■，b=■，B=30°，求c.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生事先選擇正弦定理或余弦定理求解三角形. 本節(jié)課開始通過(guò)設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納提煉三角形解的個(gè)數(shù)與條件中所給元素中邊和角的關(guān)系.

2. 設(shè)問(wèn)指向課題

教師：以上三角形分別有幾解？相對(duì)應(yīng)的已知條件中分別有哪些元素？

學(xué)生：（1）只有一組解，已知條件中的元素為兩邊及其夾角;（2）只有一組解，已知條件中的元素為兩角及一邊;（3）只有一組解，已知條件為三邊;（4）中已知條件都為兩邊及其中一邊所對(duì)的角，解的情況是：①只有一組解;②無(wú)解;③只有一組解;④有兩組解.

教師：完全正確！那么對(duì)于任意一個(gè)三角形，如果給出與上題中相同性質(zhì)的元素，是否都會(huì)與上題中的三角形有相同的解的個(gè)數(shù)？

學(xué)生：上題中已知基本元素都是3個(gè). 對(duì)于任意一個(gè)三角形，當(dāng)已知條件中的基本元素為兩邊及其夾角、兩角及一邊、三邊時(shí)，都只有一組解，但當(dāng)已知兩邊及其中一條邊所對(duì)的角時(shí)，有可能有一組解，有可能有兩組解，也有可能無(wú)解.

教師：其他同學(xué)同意她的說(shuō)法嗎？請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)為什么.

學(xué)生：初中學(xué)習(xí)過(guò)全等三角形及其判定，對(duì)于已知兩邊及其夾角、兩角及一邊或三邊的三角形，都是全等的，所以只有一組解. 當(dāng)已知兩邊及其一條邊所對(duì)的夾角時(shí)，我感覺(jué)應(yīng)該是解的情況不確定，但我也不知道如何求證解的情況.

教師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察引例（4），看看你能發(fā)現(xiàn)什么.

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)a和B都相同，只有b不同. 哦，那就是說(shuō)隨著b的變化，三角形解的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化.

教師：在a和B不變化的情況下，是否只有引例（4）中的b會(huì)使得三角形得到以上解的情況？

學(xué)生：肯定不是.

教師：那么當(dāng)已知a和B時(shí)，b取哪些值會(huì)使得三角形分別有兩解、一解或者無(wú)解呢？

3. 探究過(guò)程

探究一（合作探究）：△ABC中，已知a，B，b為何值時(shí)，三角形有兩解、一解、無(wú)解？

設(shè)計(jì)意圖：延伸引例中揭示的問(wèn)題，探究已知條件為一邊及另一邊所對(duì)的角時(shí)，三角形解的個(gè)數(shù)與另一邊的關(guān)系.

例1：已知△ABC中，a=4，B=30°，b為何值時(shí)，三角形有兩解、一解、無(wú)解？

教師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)你們的做法！

學(xué)生1：（方法一）我用的是正弦定理：由■=■，得■=■，所以sinA=■. 又B=30°， 所以A∈0，■π，當(dāng)■1時(shí)，b∈（0，2），三角形無(wú)解.

學(xué)生2：（方法二）我用的是余弦定理：由b2=a2+c2-2ac·cosB得c2-4■c+16-b2=0，視作c的一元二次方程，則Δ= （-4■）2-4（16-b2）=4b2-16. 當(dāng)Δ<0，即00，若Δ>0，c1·c2>0，即20，c1·c2≤0，即b≥4，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且只有一根為正數(shù)根，三角形存在一解;若Δ=0，即b=2，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根且為正數(shù)根，三角形存在一解. 綜上可知，當(dāng)2

學(xué)生3：（方法三）老師，我是畫圖做的.我先作角B，再作角B的鄰邊a，這樣就確定了頂點(diǎn)C的位置，再作角B的對(duì)邊b，即以C為圓心，b為半徑畫圓，觀察圓弧與角C的對(duì)邊c的交點(diǎn)的情況，那么有幾個(gè)交點(diǎn)就對(duì)應(yīng)三角形有幾個(gè)解：

當(dāng)2

當(dāng)b=2或b≥4時(shí)，三角形存在一解

當(dāng)0

教師：非常棒，我們?yōu)檫@三位同學(xué)鼓掌！解三角形問(wèn)題的基本方法就是應(yīng)用正弦定理或余弦定理建立方程進(jìn)行求解. 對(duì)于方法一，在考慮解的問(wèn)題時(shí)若能將sinA=■看作函數(shù)y=■與函數(shù)y=sinA，A∈0，■π的交點(diǎn)則更簡(jiǎn)潔清晰，此處也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想;方法二是借助余弦定理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的正根的問(wèn)題，計(jì)算稍煩瑣，但也體現(xiàn)了正弦定理與余弦定理的相通之處以及方程思想的靈活應(yīng)用;方法三也是非常巧妙的方法，三角形作為幾何圖形，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)從圖形的角度入手是非常自然的事情，只是在解答題上，還要配一定的符號(hào)說(shuō)理方顯嚴(yán)謹(jǐn).

教師：請(qǐng)同學(xué)們思考，上述結(jié)論能否推廣到任意的a，A和B？為什么？

學(xué)生：可以，推理過(guò)程如上. 當(dāng)B為銳角時(shí)，若ba，一解;若b≤a，無(wú)解.

設(shè)計(jì)意圖：由具體到抽象，鍛煉學(xué)生的抽象概括意識(shí)，此題所得的結(jié)論并不需要學(xué)生記憶，重點(diǎn)在于這種探究總結(jié)的意識(shí)以及對(duì)于基本方法的掌握和靈活應(yīng)用.

教師：如果改變條件呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囉没痉椒▉?lái)解決以下問(wèn)題.

變式：a=4，A=30°，b為何值時(shí)，三角形有一解、兩解、無(wú)解？

解析：方法一：由■=■，得b=8sinB，又A=30°，所以B∈0，■π. 當(dāng)■1，即b>8時(shí)，三角形無(wú)解. 綜上可知，當(dāng)48時(shí)，三角形無(wú)解.

方法二：由a2=b2+c2-2bc·cosA得c2-■bc+b2-16=0，視作c的一元二次方程，則Δ=（-■b）2-4（b2-16）=-b2+64.當(dāng)Δ<0，即b>8時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，三角形無(wú)解;當(dāng)Δ≥0，即00，若Δ>0，c1·c2>0，即40，c1·c2≤0，即0

方法三：圖解法（略）.

設(shè)計(jì)意圖：變式和例1本質(zhì)相同，稍作改變，不可直接用上述結(jié)論，讓學(xué)生再次體會(huì)掌握基本方法帶來(lái)的重要，感受探究帶來(lái)的樂(lè)趣.

探究二（自主探究——鏈接高考）：通常用a，b，c表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，R表示△ABC外接圓的半徑，給定三個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，R，其中b≤a，問(wèn)：a，b，R滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，以a，b為邊長(zhǎng)，R為外接圓半徑的△ABC不存在、存在一個(gè)或兩個(gè)（全等的三角形算作同一個(gè)）？在△ABC存在的情況下，用a，b，R表示c.

解析：方法一：由正弦定理■=■=■=2R可得a=2R·sinA，b=2R·sinB.

當(dāng)a=b時(shí)：

若a>2R，則sinA>1，與sinA∈（0，1]矛盾，故不存在三角形;

若a=b=2R，則A=B=■，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故不存在三角形;

若a=b<2R，則0

當(dāng)a>b時(shí)：

若a>2R，則sinA>1，與sinA∈（0，1]矛盾，故不存在三角形;

若a=2R，則A=■，故存在三角形且只有一個(gè)，c=■;

若a<2R，則sinA∈（0，1），sinB∈（0，1），則A∈0，■，B∈0，■，A>B或者A∈■，π，B∈0，■，即存在兩個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)的c=■.

綜上所述，當(dāng)a>2R≥b或a≥b≥2R時(shí)，不存在;當(dāng)a=b<2R時(shí)，存在一個(gè)，c=■■;當(dāng)b

方法二：由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cosC，將cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-■·■+■·■代入上式，兩邊平方得有關(guān)c2的一元二次方程（c2）2+■-2（a2+b2）c2+（a2-b2）2=0（？鄢），其中Δ=■-2（a2+b2）■-4（a2-b2）2=■（a2-4R2）（b2-4R2）.

當(dāng)Δ<0，即b<2R

當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，不妨記方程的兩根分別為c1，c2，由（？鄢）式易知c1·c2≥0.

若Δ=0，c1·c2=0，即a=b=2R時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根為0，三角形不存在;

若Δ=0，c1+c2>0，c1·c2>0，即a=2R>b時(shí)，方程有兩個(gè)相等正根為c1=c2=a2-b2，三角形存在且只有一個(gè)，且c=■;

若Δ>0，c1+c2<0，即a>b>2R時(shí)，方程有兩個(gè)不等負(fù)根，三角形不存在;

若Δ>0，c1+c2>0，c1·c2=0，即a=b<2R時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一根為c1=0，另一根為c2=■（4R2-a2），三角形存在且只有一個(gè)，且c=■■;

若Δ>0，c1+c2>0，c1·c2>0，即b0？圯2R2（a2+b2）-a2b2>0，又4R2a2-a2b2>2R2（a2+b2）-a2b2，則b<2R）.

設(shè)計(jì)意圖：本題中雖然給出的三角形的基本元素為兩邊及外接圓半徑，表面似乎與例1及變式不同，但本質(zhì)都是三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，所以仍采用解三角形問(wèn)題的基本方法，即使用正弦定理或者余弦定理建立方程，只是本題中因?yàn)閎≤a所以需分類討論a與b的關(guān)系，難度有所加大，但在前面例題的鋪墊之下部分學(xué)生還是可以快速順利解決的. 在討論a與b的關(guān)系的基礎(chǔ)上，再同例1和變式一樣進(jìn)行討論，整個(gè)解決過(guò)程依舊彰顯了基本方法的重要性;同時(shí)，也需要體會(huì)和能夠自然地進(jìn)行應(yīng)用基本數(shù)學(xué)思想.

案例反思

基于“基本問(wèn)題和基本方法”的理念，以上片段是筆者在關(guān)于“三角形解的個(gè)數(shù)探究”教學(xué)中的一點(diǎn)處理，呈現(xiàn)了“用正弦定理，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題”“用余弦定理，轉(zhuǎn)化為方程正數(shù)根的問(wèn)題”“作圖”的三種基本方法，展示了問(wèn)題探究和方法提煉的詳細(xì)過(guò)程. 實(shí)際上，含參的三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題并不簡(jiǎn)單，但是通過(guò)以上教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，還是能取得較好的效果，不僅可以促進(jìn)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化基本技能，還可以領(lǐng)悟基本的數(shù)學(xué)思想. 在整個(gè)探究過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn).

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題，但從數(shù)學(xué)試題的編制和考查來(lái)看，我們需要了解和掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的基本概念，要了解試題包含的基本問(wèn)題，要熟悉解決相應(yīng)基本問(wèn)題的基本方法，也許還要自覺(jué)運(yùn)用一些基本的數(shù)學(xué)思想. 這是我們了解數(shù)學(xué)試題，乃至數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的“基礎(chǔ)”. 所以在教學(xué)中需要老師善于引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題本質(zhì)，抓住解題關(guān)鍵，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光來(lái)發(fā)現(xiàn)甚至提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維來(lái)分析和解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和闡述問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生在歸納概括基本問(wèn)題和總結(jié)提煉解題基本方法的學(xué)習(xí)中，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).