周欣然, 鄭 濤, 張 龍

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 烏魯木齊 830046)

自20世紀以來，國內(nèi)外生物動力學的研究進展迅速，許多專家學者都是通過動力學模型來分析病毒感染[1-6],這為更好地理解病毒感染和疾病的控制及不同藥物治療策略效應提供了至關(guān)重要的作用.

ANDERSON和MAY[7]介紹了一種具有自由生存階段的寄生蟲模型,NOWAK和BANGHAM[8]將其應用于病毒動力學. 考慮到病毒感染靶細胞過程中普遍存在的非線性感染率,HUANG等[9]提出了一類具有Beddington-DeAngelis功能反應的病毒動力學模型:

(1)

其中，x(t)為健康靶細胞在t時刻的細胞密度，y(t)為感染細胞在t時刻的細胞密度,v(t)為游離病毒在t時刻的細胞密度,為健康靶細胞的生成速率,d為健康靶細胞的自然死亡率,β為病毒感染健康靶細胞的感染率,p為感染細胞的自然死亡率,常數(shù)k為每個感染細胞在單位時間內(nèi)生成的游離病毒數(shù)量,u為游離病毒的自然死亡率；并得到了模型(1)的無病平衡點和地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性. 又考慮到病毒顆粒接觸靶細胞的時間可能與接觸細胞受到積極影響的時間存在一定的滯后性,即接觸病毒體進入細胞需要時間,HUANG等[10]將細胞內(nèi)延遲納入模型,得到了以下離散時滯病毒模型：

(2)

并通過對特征方程的分析和構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù),建立了模型(2)的無病平衡點和地方病平衡點的局部穩(wěn)定性；且證明了當R0<1時無病平衡點全局漸近穩(wěn)定,R0>1時地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定.

基于以上模型，考慮到接觸細胞被感染變成感染細胞的滯后時間可能由靶細胞自身細胞內(nèi)物質(zhì)決定，即不同靶細胞被感染變成感染細胞的滯后時間是可變的,則可以理想化假設t-到t時刻接觸病毒細胞的靶細胞都有可能被感染形成感染細胞，這一現(xiàn)象可以用分布時滯來描述[11]. 又考慮到目前在全世界范圍內(nèi)仍缺乏根治HIV感染的有效藥物,現(xiàn)階段的治療目標是最大限度和持久地抑制患者體內(nèi)的病毒復制,而抗逆轉(zhuǎn)錄酶藥物則是通過抑制病毒感染健康細胞來抑制病毒的復制. 因此，引入?yún)?shù)γ(0,1)來代表藥物對病毒感染的抑制作用. 為了更加細致地描述病毒感染健康靶細胞后的滯后效應以及了解藥物治療參數(shù)γ對艾滋病治療的影響，本文建立了如下數(shù)學模型：

(3)

其中,x(t)為健康靶細胞在t時刻的細胞密度,y(t)為感染細胞在t時刻的細胞密度,v(t)為游離病毒在t時刻的細胞密度,s為健康靶細胞的生成速率,d為健康靶細胞的自然死亡率,β為描述細胞感染的速率,γ(0,1)為抗逆轉(zhuǎn)錄酶對病毒感染健康靶細胞的抑制率,為在t-到t時刻接觸病毒的健康靶細胞被感染變成感染細胞的個數(shù),p為感染細胞的自然死亡率,常數(shù)k為每個感染細胞在單位時間內(nèi)生成的游離病毒數(shù)量,u為游離病毒的自然死亡率.

本文主要討論了模型(3)解的正性和有界性, 得到了該模型的基本再生數(shù)R0;討論了該模型的無病平衡點局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性的判定準則(R0≤1,R0<1);最后,通過數(shù)值模擬驗證本文結(jié)論的有效性.

1 解的非負性與有界性

設C=C([-,0];3)是[-,0]到3上的連續(xù)函數(shù)全體所形成的具有上確界范數(shù)的Banach空間,模型(3)的初始條件為：

x(θ)=φ1(θ)，y(θ)=φ2(θ)，v(θ)=φ3(θ)，θ[-,0]，φi(θ)≥0，φi(0)>0 (i=1,2,3)，

(4)

其中，φ=(φ1,φ2,φ3)TC.

由文獻[12]知:模型(3)滿足初始條件(4)的任意解(x(t),y(t),v(t))T在[-,)上存在且唯一. 在此條件下，可得:

定理1設(x(t),y(t),v(t))T為模型(3)在初始條件(4)下的任意解,則任意解(x(t),y(t),v(t))T非負且最終有界.

證明首先證明模型(3)在初始條件(4)下的任意解都為正. 先證x(t)≥0. (反證)假設對任意的t≥0,存在t1>0,x(t1)=0且x(t)>0. 當t[0,t1)時,有

因此,

這與假設x(t1)=0矛盾.

同理,假設對任意的t≥0,存在t1>0,y(t1)=0且y(t)>0. 當t[0,t1)時,有

(5)

由式(5)，有

這與假設y(t1)=0矛盾.

同理,由于y(t)>0,則有

(6)

對式(6)兩邊同時積分,可得

(7)

這與假設v(t1)=0矛盾，因此，模型(3)的任意解(x(t),y(t),v(t))T的非負性得證.

接下來,證明任意解(x(t),y(t),v(t))T最終有界. 對于模型(3)的第1個等式,有

(8)

由比較定理[12]可知,

(9)

定義

(10)

且δ=min{d-1,p}. 對式(10)兩邊同時求導,有

s-δF(t).

(11)

由比較定理可知F(t)有界，從而y(t)有界；再由模型(3)的第3個等式可知v(t)有界. 故模型(3)的任意解(x(t),y(t),v(t))T最終有界.

2 平衡點及無病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

模型(3)總存在一個無病平衡點E0(x0,0,0)，其中x0=s/d. 下面將分析模型(3)是否存在正的地方病平衡點.

若模型(3)存在正的地方病平衡點，則平衡點需滿足以下等式：

(12)

由式(12)可得

若要滿足地方病平衡點的正性，則要求x*>0，即(1-e-d)[kbd+(1-γ)βk]-adpu>0，即要滿足

(13)

由于

(14)

則可定義模型(3)的基本再生數(shù)為：

因此，以R0為閾值可得以下結(jié)論：

定理2若R0<1，則模型(3)的無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定；反之，E0不穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)(3)在E0處的特征方程為

(1-γ)e]=0，

(15)

f()=(+p)(

(16)

下面分2種情況討論.

(17)

f()=(+p)(

(18)

等價于

G(

(19)

矛盾，所以x<0，即此時f()的根具有負實部. 因此，當R0<1時,E0是局部漸近穩(wěn)定的.

3 無病平衡點E0的全局漸近穩(wěn)定性

定理3對于模型(3),若R0≤1,則無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定.

證明設x0=s/d，則模型(3)等價于：

(20)

定義李雅普諾夫函數(shù)

(21)

其中

則有

(22)

由式(22)可知:當R≤1時,dV/dt≤0；當dV/dt=0時，v=0當且僅當x=x0. 由拉薩爾不變原理可知E0是全局漸近穩(wěn)定的.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)通過MATLAB軟件進行數(shù)值模擬,以驗證該模型的無病平衡點具有全局漸近穩(wěn)定性. 在此取定相應系數(shù)值與初值：a=0.6,b=0.8,d=0.1,s=0.8,β=0.4,p=0.5,k=0.3,u=0.2,γ=0.5.(x(0),y(0),v(0))分別取為(9.5,5.5,6.6)、(7.4,4.8,5.3)、(6.8,5,6)、(4.4,3.1,4.8)、(5,3.2,4)、(14.5,3.2,2.6)、(2,3.2,2.6).

圖1 模型(3)的時間序列圖(R0<1)Figure 1 The time series plot of model(3) when R0<1

圖2 模型(3)的三維空間相圖(R0<1)Figure 2 The 3-dimensional phase diagram of model (3) when R0<1注：顏色不同的曲線代表初值不同的解曲線.

由圖1可知：x(t)隨著時間的增加達到一定值,y(t)、v(t)隨時間的增加而最終趨于0. 由圖1和圖2可知：對任意給定的初值,x(t)、y(t)、v(t)最終趨于x軸的一定值E0=(8,0,0). 由此可知：無病平衡點在R0<1時全局漸近穩(wěn)定.

圖3 模型(3)的時間序列圖(R0=1)Figure 3 The time series plot of model(3) when R0=1

圖4 模型(3)的三維空間相圖(R0=1)Figure 4 The 3-dimensional phase diagram of model(3) when R0=1注：顏色不同的曲線代表初值不同的解曲線.

由圖5可知：x(t)隨著時間的變化達到一定值, 但y(t)、v(t)并未隨時間的變化而消亡, 故此時無病平衡點不穩(wěn)定. 由圖5和圖6可知：對任意給定的初值,x(t)、y(t)、v(t)最終趨于一定值E*=(2.971 4,4.859 1,7.288 7). 由此可知：地方病平衡點在R0>1是全局漸近穩(wěn)定.

圖5 模型(3)的時間序列圖(R0>1)Figure 5 The time series plot of model(3) when R0>1

圖6 模型(3)的三維空間相圖(R0>1)Figure 6 The 3-dimensional phase diagram of model(3) when R0>1注：顏色不同的曲線代表初值不同的解曲線.

5 小結(jié)

本文建立了具有Beddington-DeAngelis功能反應和分布延遲的病毒動力學模型，并討論了該模型的穩(wěn)定性. 為了研究藥物對病毒感染的抑制作用，引入了藥物治療參數(shù)γ(0,1),并求解該模型在藥物治療下的基本再生數(shù)R0,通過分析該模型的特征方程,證明了該模型的無病平衡點E0的局部漸近穩(wěn)定性;通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫泛函和利用李亞普諾夫-拉薩爾型定理,證明了該模型的無感染平衡點E0在R0≤1時的全局漸近穩(wěn)定性;通過Matlab驗證了本文結(jié)論的有效性. 本文雖然沒有討論地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,但由數(shù)值模擬可知地方病平衡點E*的全局漸近穩(wěn)定性,由三維空間相圖可知地方病平衡點E*在R0>1時是全局漸近穩(wěn)定的.