洪 勇， 陳 強(qiáng)

(1. 廣東白云學(xué)院數(shù)學(xué)教研室， 廣州 510450； 2. 廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 廣州 510303)

設(shè)r>0，α，定義函數(shù)空間：

(1)

為以K(x,y)為核的Hilbert型積分不等式.

對(duì)于齊次核的情況，選取適當(dāng)?shù)拇钆鋮?shù)，已獲得了許多具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式[1-10]，研究結(jié)果表明：對(duì)于不同類型的核，最佳的搭配參數(shù)有不同的規(guī)律，找出其規(guī)律具有重要意義．但在已有研究中，搭配參數(shù)的選取大多數(shù)是憑研究者的經(jīng)驗(yàn)得到的[11-15].

1 主要結(jié)論及證明

首先給出本文主要定理證明時(shí)需用的關(guān)于權(quán)函數(shù)的引理:

證明先證φ′(t)≥0的情形，此時(shí)φ(t)在(0,+)上遞增． 作變換t=u，有

同理可證W2的情形． 作變換xy=t，有

ω1(x)=xφ(t)|φ′(t)|(xt)dt=

xφ(t)φ′(t)tdt=xW1.

同理可證ω2(y)的情形.

類似地可證明φ′(t)≤0的情形． 證畢.

下面給出本文的主要結(jié)論.

M‖f‖p,α‖g‖q,β,

(2)

其中,f(x)(0,+)，g(y)(0,+).

證明記K(x,y)=φ

(i)設(shè)式(2)成立． 若c<0，取ε=-c/(212)>0，令

可得

則有

(3)

若c>0，取ε=c/(212)>0，令

可得

則有

(4)

M0‖f‖p,α‖g‖q,β.

取充分小的ε>0及足夠大的自然數(shù)n，令

可得

則有

先令ε→0+，再令n→+，得

再由引理1可得

于是可知式(2)的最佳常數(shù)因子為:

證畢.

于是可得：

M‖f‖p,α‖g‖q,β,

(5)

其中，f(x)(0,+)，g(y)(0,+).

(ii)當(dāng)式(5)成立時(shí)，其最佳常數(shù)因子為：

M‖f‖p,α‖g‖q,β,

(6)

其中，f(x)(0,+)，g(y)(0,+).

(ii)當(dāng)式(6)成立時(shí)，其最佳常數(shù)因子為：

2 在算子理論中的應(yīng)用

設(shè)K(x,y)≥0,定義奇異積分算子：

則根據(jù)Hilbert型不等式的基本理論，式(2)等價(jià)于：

‖T1(f)‖p, β(1-p)≤M‖f‖p, α， ‖T2(g)‖q, α(1-q)≤M‖g‖q, β.

則由推論1和推論2，可得

(f(x)(0,+)),

(g(y)(0,+)),

則

(f(x)(0,+)),

(g(y)(0,+)),

則