薛 琳

（洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，洛陽471022）

0 引 言

為了更好地解決微分方程理論中出現(xiàn)的各種問題，Bonet，Meise，Taylor和Vogt等人在20世紀80 年代借助于權(quán)函數(shù)引入了ω－超可微函數(shù)和ω－超廣義函數(shù)，從而擴充了廣義函數(shù)的概念［1－10］，也使得ω－超廣義函數(shù)理論的研究成為一個持續(xù)的熱點．由于ω－超廣義函數(shù)空間構(gòu)造的復(fù)雜性，使得問題的研究變得十分困難．H?rmander［6］和Bonet，Meise，Taylor［1，3－11］等人注意到：超廣義函數(shù)空間與某些實解析函數(shù)空間之間可以通過Fourier－Lapalace變換建立起某種拓撲同構(gòu)關(guān)系．所以，利用實解析函數(shù)空間來研究超廣義函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)和特性成為一個有效可行的方法．

在文獻［12］中，利用Fourier－Laplace變換探討 了 四 類 加 權(quán) 的 實 解 析 空 間A（ω）（CN，Ω），A｛ω｝（CN，Ω）和A｛ω｝（CN，Ω），A｛ω｝（CN，Ω）以 及它們和ω－超可微函數(shù)和ω－超廣義函數(shù)之間的關(guān)系，給出了兩類ω－超可微函數(shù)和ω－超廣義函數(shù)的某種結(jié)構(gòu)表示．本文在更為一般的開集上進一步地討論了D′＊（Ω）上的結(jié)構(gòu)表示問題；另一方面，還把文獻［12］定理2．6中｛E′＊（Ω）的結(jié)果從開凸集進一步擴展到了一般的開集，得到：

定理1 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ∶σ 是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有φ（0）＝0并且

取

定理2 設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ∶σ 是 權(quán) 函 數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

稱之為φ 的Young共軛．

定義2 設(shè)K 為RN中的緊集，記hK：RN→稱之為K 的支撐函數(shù)，這里

1 預(yù)備知識

首先給出文中所用到的基本概念和預(yù)備知識．其中的記法和符號可參見文獻［1－6］．

定義1 1）設(shè)ω 是［0，∞）→［0，∞）上連續(xù)，單增的函數(shù)，并且ω｜［0，1］＝0．如果ω 滿足下列條件：

（α）存在L≥1，使對任取的t≥0，都有ω（2t）≤L（1＋ω（t））；

（δ）φ：［0，∞）→［0，∞），φ（t）＝ω（et）為凸函數(shù)．

則稱ω 為一個權(quán)函數(shù)．對z∈CN，記ω（z）＝ω（｜z｜），其中

2）對于權(quán)函數(shù)ω，如果

利用權(quán)函數(shù)，來構(gòu)造ω－超可微函數(shù)空間和ω－超廣義函數(shù)空間：

定義3 設(shè)ω 為定義1中函數(shù)，滿足條件（α）～（γ），K 為RN中的緊集．

1）對λ＞0，定義Banach空間

2）利用Dλ（K），定義

其中，拓撲分別取為歸納極限拓撲和投影極限拓撲．

3）對RN中的開集Ω，定義

則稱ω 是偽解析的．反之，如果積分有限，則稱ω是非偽解析的．

3）設(shè)φ 是［0，∞）→［0，∞）的單增凸函數(shù)，

這里的歸納極限取遍Ω 中所有的緊子集K，D（ω）（Ω）及D｛ω｝（Ω）中的元素分別稱為Beurling型和Roumieu型試驗函數(shù)．

定義4 設(shè)ω 為權(quán)函數(shù)，Ω 為RN中的開集，定義

和

注1 設(shè)ω 為定義1中函數(shù)，并滿足條件（α）～（γ），設(shè)Ω 是RN中開集，易知

1）D｛ω｝（Ω）?D｛ω｝（Ω）；當σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）時，D｛ω｝（Ω）?D（σ）（Ω）．

2）E｛ω｝（Ω）?E｛ω｝（Ω）；當σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）時，｛E｛ω｝（Ω）?E（σ）（Ω）．

并且，上面相應(yīng)的包含映射都是連續(xù)的．

如果一 個 命 題 對 于E｛ω｝和E（ω）（或 者D｛ω｝和D（ω）都成立時，為方便計，用E＊（或者D＊）來代替E｛ω｝和E（ω）（或者D｛ω｝和D（ω））．

定義5 用E′

＊（Ω）和D′＊（Ω）分別表示E＊（Ω）和D＊（Ω）的強對偶空間，即E＊（Ω）上和D＊（Ω）的線性連續(xù)泛函全體所形成的空間．

定義6 設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集．對u∈E′

＊（Ω），定義：

稱之為u 的Fourier－Laplace變換．為方便計，＾u和F（u）都表示u的Fourier－Laplace變換．

定義7 設(shè)Ω 是RN中的開凸集，對Ω 中的任意緊集K 和非零常數(shù)λ，定義Banach空間

其中H（CN）為CN上的整函數(shù)空間．由此，可以定義下列實解析函數(shù)空間空間：

注2 由定義易證：

2 主要的結(jié)論和證明

引理1［11］設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集，令Λ（ω）＝｛σ：σ是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

引理2［12］設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，ω（t）＝o（t）（t→∞），ω 是RN中的開凸集，則Fourier－Laplace變換

是線性拓撲同構(gòu)映射．

引理3［12］設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集，則Fourier－Laplace變換

是線性拓撲同構(gòu)映射．

定理3 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

證明 首先，易知當σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）時，有從而下面，來證明相反的包含關(guān)系成立．

對于開集Ω，取一個緊集列｛Kn｝，使得

對于任給的u∈D′｛ω｝（Ω），u 可以表為

那么，由E′｛ω｝（Ω）與A｛ω｝（CN，Ω）線性拓撲同構(gòu)（引理3）以及A｛ω｝（CN，Ω）的構(gòu)造即可知，gj＝o（ω）．由此，由文獻［5］命題1．9及注1．8，存在權(quán)函數(shù)δ使對所有的j有

記Γ 為Ω 的凸殼．那么，由引理3和式（1）可知，uj∈E′（σ）（Γ）．另一方面，由suppuj?Kj＋2＼Kj，可見∑∞j＝1uj在Ω 中是局部有限的．因此，∑∞

j＝1uj在

D′（σ）（Ω）中收斂．所以，u∈D′（σ）（Ω）．故有命題得證．

依照定理3的方法，可以證明同樣的結(jié)論對于E′｛ω｝（Ω）也成立，即：

推論1 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，那么

由引理1，2及3，在文獻［12］中得到了下面關(guān)于ω－超廣義函數(shù)空間E′＊（Ω）的一個結(jié)構(gòu)表示定理：

定理4［12］設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

現(xiàn)在，把這一結(jié)果推廣到更為一般的開集中去：為此，先介紹一個引理：

引理4［9］設(shè)ω 是偽解析的權(quán)函數(shù)，K1，K2是RN中的緊子集．那么，對任取的supp（u）?K1∪K2，存在u1，u2∈E′｛ω｝（RN），且supp（uj）?Kj（j＝1，2），使得u＝u1＋u2成立．

定理5 設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是 權(quán) 函 數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

證明 對RN中的開集Ω，當ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)時，推論1已經(jīng)給出結(jié)論：

下面，考慮ω 為偽解析的權(quán)函數(shù)時的情況．

若Ω 為RN中的開凸集，由定理4已得．

現(xiàn)在設(shè)Ω 為RN中的任意開集．

設(shè)u∈E′｛ω｝（Ω），K＝supp（u）．則K 為RN中的緊集．由有限覆蓋定理，在Ω 中可選取有限多個開凸集Ωj，使得K?∪Ωj．由引理4，對每個j，可取使得

又由定理4，對每個j，存在權(quán)函數(shù)σj，使得

現(xiàn)取σ＝max｛σj｝，則對每個j有

另一方面

是顯然的．命題得證．

［1］Bonet J，Braun R W，Meise R，et al．Whitney’s extension theorem for non－quasianalytic classes of ultradifferentiabl functions［J］．Studia Math．，1991，99（2）：155－184．

［2］Bonet J，F(xiàn)ernández C，Meise R．Characterization of theω－h(huán)ypoelliptic convolution opertiors on ultradistributions［J］．Ann．Acad．Sci．Fenn．Math．，2000（25）：261－284．

［3］Bonet J，Meise R．Ultradistributions of Beurling type and projective descriptions［J］．J．Math．Anal．a(chǎn)nd Appl．，2001（255）：122－136．

［4］Bonet J，Meise R．Quasianalytic functional and projective descriptions［J］．Math．Scand．，2004（94）：249－266．

［5］Braun R W，Meise R，Taylor B A．A characterization of the algebraic surfaces on which the classical Phragmén－L ind el?f of theorem holds using branch curves［J］．Pure Appl．Math．Q．，2011，7（1）：139－197．

［6］Braun R W，Meise R，Taylor B A．Ultradifferentiable functions and Fourier analysis［J］．Resulte Math．，1990（17）：206－237．

［7］H?rmander L．Between distributions and hyperfunctions［J］．Asterisque，1985（131）：89－106．

［8］Meise R，Taylor B．A．Whitney’s extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type［J］．Ark．Math．，1988（26）：265－287．

［9］Heinrich T，Meise R．A support theorem for Quasianalytic functionals［J］．Math．Nachr．，2007（28）：364－387．

［10］Bonet J，Meise R．On the theorem of Borel for quasianalytic classes［J］．Math．Scand．，2013，112（2）：302－319．

［11］任美華，王光．兩類加權(quán)的實解析空間A＊（CN，Ω）的結(jié)構(gòu)和關(guān)系［J］．中北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，34（5）：560－562．Ren Meihua，Wang Guang．Constructions and relations of two weighted real－analytic functions spaces A＊（CN，Ω）［J］．Journal of North Uniwersity of China（Natural Science Edition），2013，34（5）：560－562．（in Chinese）

［12］薛琳．ω－超廣義函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)與關(guān)系［J］．中北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，36（2）：126－130．Xue Lin．Constructions and relations of someω－Ultradistributions［J］．Journal of North Uniwersity of China（Natural Science Edition），2015，36（2）：126－130．（in Chinese）