張 成， 李 銘

(廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室∥華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣州 510006)

1963年哈伯徳模型的提岀[1]極大地發(fā)展了布洛赫關(guān)于巡游電子的能帶理論，打開了對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)研究的大門，而以哈伯徳模型為基礎(chǔ)的強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)磁性理論，一直以來(lái)都是凝聚態(tài)物理中的一個(gè)重要而活躍的研究領(lǐng)域. 哈伯徳模型主要考慮了自旋取向相反的電子在同一個(gè)格點(diǎn)上的庫(kù)侖排斥作用，即所謂的強(qiáng)關(guān)聯(lián)項(xiàng). 對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)做哈特利?？私?HFA)就可以得到斯通納的能帶磁性模型[2]. 以此為基礎(chǔ)的巡游電子模型，克服了海森伯模型[3]中局域電子自旋磁矩的不足. 這種局域電子自旋磁矩模型只能比較好地解釋絕緣材料的磁性，而無(wú)法解釋含有巡游電子的金屬材料的磁性. 近年來(lái)，隨著拓?fù)洳牧系呐d起[4-5]，人們對(duì)自旋軌道耦臺(tái)的興趣逐漸增加. 一個(gè)問(wèn)題隨之而來(lái)：在強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中加入自旋軌道耦臺(tái)[6-7]，電子的自旋磁化率受到什么影響. 本文主要考慮Rashba自旋軌道耦臺(tái)(R-SOC)[8-11]對(duì)自旋磁化率的影響.

1 模型和方法

考慮一個(gè)二維正方晶格結(jié)構(gòu)，含有R-SOC的Hubbard模型的哈密頓量[12]為

H=Ho+Hi,

(1)

(2)

(3)

(4)

哈特里?？私?HFA)的單電子能量為

其中，n=〈n↓〉+〈n↑〉表示平均每個(gè)原胞的電子數(shù)，m=〈n↓〉-〈n↑〉表示相對(duì)磁化強(qiáng)度(以玻爾磁子μB為單位). 本文不考慮自發(fā)磁化的影響(取m=0),能帶圖和費(fèi)米面如圖1所示. 圖中能帶的波矢沿著二維正方晶格的第一布里淵區(qū)的對(duì)角線方向，并以該對(duì)角線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). 庫(kù)侖排斥勢(shì)U使電子能量增加，而R-SOC引起電子能帶劈裂，上下能帶在布里淵區(qū)中心處相交. 劈裂后的2個(gè)能帶上填充的電子是自旋混合的. 圖1D、E和F分別為R-SOC加入前后的費(fèi)米面.

圖1 二維布里淵區(qū)對(duì)角線上的能帶圖及其相應(yīng)的費(fèi)米面Figure 1 The energy bands along the diagonal line of the Brillouin zone and the Fermi surfaces注：t1=1，t2=-0.01，U=1.5， kBT=0.1， μ=0.1.

(5)

其中,自旋密度算符為

一般情況下，自旋磁化率是一個(gè)張量[8-9]，這里只考慮它的橫向分量，它表示一個(gè)磁矩對(duì)垂直外磁場(chǎng)的響應(yīng).

推遲格林函數(shù)可以用如下運(yùn)動(dòng)方程求解：

ω〈〈A;B〉〉ω=〈[A,B]〉+〈〈[A,H];B〉〉ω,

(6)

〈[A,B]〉=〈nk+q↓〉-〈nk↑〉,

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(7)、(8)、(10)帶入式(6)得到運(yùn)動(dòng)方程:

(11)

(12)

(13)

2 結(jié)果和討論

首先在不考慮R-SOC(VSO=0)時(shí)，強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)的自旋磁化率表示為：

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其中，

(15)

χ0(q,ω)表示無(wú)相互作用電子系統(tǒng)的橫向動(dòng)態(tài)磁化率[15-16]. 靜態(tài)磁化率(ω=0)與庫(kù)侖排斥勢(shì)、溫度及化學(xué)勢(shì)的關(guān)系如圖2所示.從圖2A可以看出，Reχ(q,ω=0) 隨著庫(kù)侖排斥勢(shì)U的增大而增大[15,18]，同時(shí)隨著庫(kù)侖排斥勢(shì)的加入，在布里淵區(qū)域邊界的高對(duì)稱點(diǎn)出現(xiàn)了1個(gè)峰值，并且會(huì)隨著U的增大向中間移動(dòng). 從圖2B可以看出，在較低溫度下，Reχ(q,ω=0)隨溫度的變化較小，但仍然存在一個(gè)隨著溫度的升高而逐漸減小的趨勢(shì)，因?yàn)闇囟仍礁?，自旋漲落越大，系統(tǒng)對(duì)外磁場(chǎng)的響應(yīng)越弱. 從圖2C可以看出，在一定的范圍內(nèi)，Reχ(q,ω=0)隨化學(xué)勢(shì)的增大逐漸增大，因?yàn)殡娮拥幕瘜W(xué)勢(shì)越大意味著填充能帶的電子數(shù)越多，系統(tǒng)的自旋磁矩對(duì)外磁場(chǎng)的響應(yīng)越強(qiáng)，但是超出了限度，Reχ(q,ω=0)將隨著μ的增大而逐漸減小.

不考慮自旋軌道耦合作用，動(dòng)態(tài)磁化率(ω≠0)與庫(kù)侖排斥勢(shì)、溫度及化學(xué)勢(shì)的關(guān)系如圖3所示. 圖中角頻率取特殊值ω=0.1. 與圖2A、B和C對(duì)比，磁化率的實(shí)部幾乎無(wú)變化，但是動(dòng)態(tài)磁化率的虛部出現(xiàn)，并且隨某些參數(shù)的變化而發(fā)生顯著變化. 動(dòng)態(tài)磁化率的虛部可以通過(guò)中子散射實(shí)驗(yàn)直接觀測(cè)，表示電磁波在介質(zhì)中傳播受到阻尼，從而產(chǎn)生能量損耗.

圖2 靜態(tài)磁化率隨U、溫度和化學(xué)勢(shì)的變化Figure 2 The changes of the static susceptibility with U, the temperature and the chemical potential注： 參數(shù)t1=1,t2=-0.01,kBT=0.1，ω=0.

圖3 動(dòng)態(tài)磁化率的實(shí)部和虛部隨U、溫度和化學(xué)勢(shì)的變化Figure 3 The changes of the real and imaginary pars of the dynamical susceptibility with U, temperature and chemical potential注：參數(shù) t1=1，t2=-0.01，ω=0.1.

現(xiàn)在加入自旋軌道耦合R-SOC(VSO≠0)，采用迭代法求解矩陣方程GX=Y. 此時(shí)靜態(tài)磁化率隨自旋軌道耦合強(qiáng)度的變化關(guān)系如圖4A所示. 靜態(tài)磁化率Reχ(q,ω=0)隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的增大而減小，自旋軌道耦合作用對(duì)磁化率有顯著的抑制作用，特別是自旋軌道耦合導(dǎo)致靜態(tài)磁化率Reχ(q,ω=0)在q=0周圍出現(xiàn)1個(gè)下陷的平底. 隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的增大，平底寬度增加. 磁化率平底的大小可以清楚地顯示材料自旋軌道耦合的強(qiáng)弱. 因此，這個(gè)磁化率平底可作為自旋軌道耦合強(qiáng)弱的標(biāo)志.

動(dòng)態(tài)磁化率隨自旋軌道耦合系數(shù)的變化如圖4B、C所示，圖中角頻率的取值為ω=0.1. 與圖4A對(duì)比可以看出，動(dòng)態(tài)磁化率的實(shí)部與靜態(tài)磁化率的變化趨勢(shì)很接近，呈現(xiàn)基本相同的磁化率平底；非常顯著的特點(diǎn)是動(dòng)態(tài)磁化率的虛部在磁化率平底的邊界位置呈現(xiàn)尖銳的起伏. 該效應(yīng)可作為自旋軌道耦合強(qiáng)弱的顯著標(biāo)志.

圖4 磁化率的實(shí)部和虛部隨自旋軌道耦合系數(shù)的變化Figure 4 The changes of the real and imaginary parts of the spin susceptibility with the spin-orbital coupling strength注：參數(shù) t1=1，t2=-0.01，U=1.5，kBT=0.1，μ=0.1.

3 結(jié)論

研究了Rashba自旋軌道耦合作用下二維正方晶格中的電子自旋磁化率，推導(dǎo)出在RPA下磁化率遵守的一般方程，并對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值求解，得到了庫(kù)侖排斥勢(shì)、溫度、化學(xué)勢(shì)和自旋軌道耦合強(qiáng)度等不同參數(shù)下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)磁化率. 計(jì)算結(jié)果表明：自旋軌道耦合作用對(duì)磁化率有顯著的影響，自旋軌道耦合一方面抑制系統(tǒng)的磁化率，另一方面引起磁化率平底，而且自旋軌道耦合越強(qiáng)，磁化率平底越寬.動(dòng)態(tài)磁化率的虛部則在磁化率平底邊界位置出現(xiàn)強(qiáng)烈起伏，因而，磁化率平底的效應(yīng)成為材料自旋軌道耦合強(qiáng)弱的顯著標(biāo)志.