柏 楊，李逸飛，林志超，徐 鑫，周禮剛

(1.安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601; 2.安徽大學 計算機科學與技術學院，合肥 230601)

多屬性群決策(MAGDM)問題是決策分析領域的重要研究方向，指對包含多個屬性的有限備選方案，多個專家衡量備選方案的屬性信息進行排序和選擇的決策問題.然而隨著科技進步和經(jīng)濟的不斷發(fā)展，在實際生活中，決策信息日益復雜與模糊，以及決策者的主觀性，決策者不能明確給出屬性信息，往往選擇以區(qū)間自然形式給出[1].距離測度是模糊集理論中度量不確定性信息的有效工具之一，衡量了信息之間的差異程度，在模糊識別、聚類分析、醫(yī)療診斷、圖像處理和決策分析等多個領域得到廣泛應用.

距離測度的構建主要利用加權平均手段，如加權平均漢明距離，加權平均歐式距離等[2].在有序加權距離測度中，Xu和Chen[2]首先提出了基于有序加權距離測度的群體共識達成法.Su和Li[3]研究了Atanassov的直覺語言有序加權平均距離測度及其在決策中的應用.Xian和Sun[4]研究了模糊語言誘導的歐式有序加權平均距離算子及其在群語言決策中的應用；Zeng和Su[5]給出了直覺模糊有序加權距離測度及其在金融決策中的應用;Zhou和Wu[6]等研究了語言連續(xù)有序加權距離測度及其在多屬性群決策中的應用.隨著模糊集理論的提出，在已有文獻中，將距離測度應用于模糊集，豐富了模糊集應用的研究成果.

1965年，Zadeh[7]提出模糊集理論.1986年，Atanassov[8]提出了直覺模糊集，不僅考慮了隸屬度，引入了非隸屬度和猶豫度的概念，其中隸屬度和非隸屬度之和小于1.但客觀世界還存在隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況，Yager[9]將這種情況定義為Pythagorean模糊集，隸屬度與非隸屬度之和大于1，但隸屬度與非隸屬的平方和小于等于1，故其比直覺模糊集有更強的刻畫客觀世界模糊性的能力.Zhang與 Xu[10]給出了Pythagorean模糊集的TOPSIS方法.Zeng等[11]基于有序加權研究了Pythagorean模糊距離測度方法及其在多屬性決策中的應用.Zeng和Mu[12]研究了基于混合加權視角的Pythagorean模糊距離測度的多屬性決策方法.

雖然直覺模糊集和畢達哥拉斯模糊集已經(jīng)處理實際決策問題的有用工具，但是他們評估信息的范圍仍然有限.因此，為了克服這一限制，在原有理論的基礎上，Yager[13]又提出了 Orthopair模糊集理論，其中隸屬度的q次冪與非隸屬度的q次冪之和等于1，此時直覺模糊集和畢達哥拉斯模糊集均為Orthopair模糊集的特例.這一理論的提出，引起諸多學者的廣泛關注.Liu和Chen[14]研究了Orthopair模糊麥克勞林均值算子及其在多屬性決策中的應用.Wei和Gao[15]研究了Orthopair模糊Heronian均值算子及其在多屬性決策中的應用.

然而，在實際的決策問題中，由于決策者的主觀性和決策環(huán)境的不確定性，決策者很難準確給出一個清晰的數(shù)字表達其觀點，為了克服這一局限性，Wang和Gao[16]提出了區(qū)間Orthopair模糊集的定義，其中隸屬度和非隸屬度由一個區(qū)間值給出.Wang和Wei[17]研究了區(qū)間Orthopair模糊麥克勞林均值算子及其在多屬性決策中的應用.

文獻研究表明，Orthopair模糊集理論和應用的研究成果日趨豐富，但從有序加權平均視角研究區(qū)間Orthopair模糊距離測度方法比較少見，同時區(qū)間Orthopair模糊多屬性決策方法也有待進一步完善.鑒于其在模糊識別、聚類分析、醫(yī)療診斷、圖像處理和決策分析等問題上應用的重要性以及必要性.

1 預備知識

定義1[8]設X為論域，則稱三元組

I={〈x,uI(x),vI(x)〉|x∈X}

(1)

為論域X上的直覺模糊集，其中：uI(x)和vI(x)分別為X中元素x屬于I的隸屬度和非隸屬度，即uI(x):X→[0,1],vI(x):X→[0,1],且0≤uI(x)+vI(x)≤1.此外，X中元素x屬于I的猶豫度πI(x)=1-[uI(x)+vI(x)]，且0≤πI(x)≤1.

定義2[9]設X為論域，則稱三元組

P={〈x,uP(x),vP(x)〉|x∈X}

(2)

定義3[13]設X為論域，則稱三元組

Q={〈x,uQ(x),vQ(x)〉|x∈X}

(3)

定義4[16]設X為論域，則稱三元組

A={〈x,uA(x),vA(x)〉|x∈X}

(4)

(5)

定義6α=<[uL,uU],[vL,vU]>設為一個區(qū)間Orthopair模糊數(shù)，稱

(6)

為α的得分函數(shù)，

(7)

為α的精度函數(shù).

1) 若S(α1)

2) 若S(α1)=S(α2)，則若H(α1)H(α2)，則α1>α2.

2 區(qū)間Orthopair模糊混合加權距離測度

(8)

為α1和α2的區(qū)間Orthopair模糊Hamming距離測度.

1)0≤d(α1,α2)≤1;

2)d(α1,α2)=d(α2,α1);

3)d(α1,α2)=0?α1=α2;

4)d(α1,α3)≤d(α1,α2)+d(α2,α3).

(9)

顯然，IOFWD測度僅考慮待集成指標的重要性，沒有體現(xiàn)出其位置的重要.為此，提出區(qū)間Orthopair模糊有序加權距離(IOFOWD)測度.

(10)

特別地，當λ=1和λ=2時，IOFOWD測度分別稱為區(qū)間Orthopair模糊有序加權漢明距離(IOFOWHD)測度和區(qū)間Orthopair模糊有序加權歐式距離(IOFOWED)測度.

(11)

為了確定權重ωj，本文運用正態(tài)分布函數(shù)給出IOFHWD測度的權重確定方法，即令

(12)

3 基于IOFHWD測度的TOPSIS多屬性群決策方法

步驟1由式(13)計算專家權重L=(l1,l2,…,lt)T，其中

lk=

(13)

步驟2由式(14)計算綜合群決策矩陣R=(rij)m×n，其中

(14)

步驟3由式(15)、(16)分別計算區(qū)間Orthopair模糊正理想解r+和負理想解為r-：

(15)

(16)

步驟4由式(17)求解屬性權重w=(w1,w2,…,wn)T，其中

(17)

其中

(18)

(19)

(20)

其中

(21)

步驟6由式(22)計算方案xi(i=1,2,…,m)的相對貼近度ξ(xi)：

(22)

相對貼近度ξ(xi)越大，說明方案xi越好.

步驟7根據(jù)方案的相對貼近度對方案進行排序，選出最優(yōu)方案.

4 實例分析

“風險為本”的工作方法一直是反洗錢金融行動特別工作組所推崇的基本工作方法.準確評估金融機構和金融產(chǎn)品面臨的洗錢風險，判斷各類洗錢風險的大小程度，并依此形成對反洗錢工作資源的合理配置，完善洗錢風險控制手段，是實現(xiàn)有效控制洗錢風險，降低洗錢威脅的重要工作方法.為檢驗基于IOFHWD測度的TOPSIS多屬性群決策方法在金融機構洗錢風險評估[18-19]中的可操作性和運用效果.現(xiàn)選取某地區(qū)4家銀行x1,x2,x3,x4作為樣本，依照上述多屬性群決策方法，對這4家銀行的洗錢風險狀況進行評估.假設選取反洗錢監(jiān)管部門2名人員，以及金融機構經(jīng)驗豐富的1名反洗錢從業(yè)人員，d1,d2,d3共同組成洗錢風險評估專家小組.根據(jù)以下四個主要指標屬性來評估這四家銀行：賬戶持有人身份識別風險(c1)，賬戶使用人身份識別風險(c2)，客戶風險等級分類風險(c3)，可疑交易報告風險(c4).

各個決策者給出的區(qū)間Orthopair模糊決策矩陣為R(k)=(k=1,2,3)如下：

步驟1 利用式(13)計算專家權重，得到L=(0.333 7,0.333 4,0.332 9)T，這里λ=3，q=3.

步驟2 利用公式(14)，計算得到綜合群決策矩陣：R=(rij)4×4

步驟3 利用公式(15)和(16)計算區(qū)間Orthopair模糊正負理想解r+和r-：

r+=(〈[0.500 1,0.7293 ],[0.032 9,0.103 7]〉,〈[0.532 0,0.684 6],[0.078 1,0.111 7]〉,〈[0.444 4,0.635 4],[0.083 0,0.125 0]〉,〈[0.635 4,0.745 7],[0.032 9,0.084 1]〉)

r-=(〈[0.227 4,0.415 7],[0.046 5,0.083 0]〉,〈[0.320 7,0.496 1],[0.086 3,0.138 8]〉,〈[0.350 4,0.549 4],[0.124 4,0.192 5]〉,〈[0.293 8,0.383 9],[0.061 5,0.131 7]〉)

步驟4 利用式(17)、(18)計算屬性權重，得到w=(0.0226 3,0.318 5,0.241 0,0.214 3)T.

表1 各方案與正負理想解的混合加權距離

步驟6 利用式(22)計算各方案的相對貼近度ξ(xi)，得到表2.

表2 各方案的相對貼近度

步驟7 排序擇優(yōu).

根據(jù)表2可得，方案的相對貼近度排序為ξ(x4)>ξ(x2)>ξ(x1)>ξ(x3)，即四家銀行的風險排序為x4?x2?x1?x3，x4銀行的洗錢風險最高.

將本文的IOFHWD測度公式與IOFOWD測度公式進行比較，比較結果如表3.當λ=3,q=3,各方案與正負理想解的有序加權距離見表3.

表3 各方案與正負理想解的有序加權距離

基于以上有序加權距離，可得各方案的相對貼近度，見表4.

表4 各方案的相對貼近度

由表4可知，方案的相對貼近度排序為:ξ(x4)>ξ(x2)>ξ(x1)>ξ(x3)，即四家銀行的風險排序為x4?x2?x1?x3，x4銀行的洗錢風險最高，說明本文提到的方法是可行且有效的.

進一步分析IOFHWD測度中的參數(shù)λ和q的變化對相對貼近度函數(shù)和決策結果的影響.如圖1所示，隨著參數(shù)λ(q=3不變)的增加，方案x1，x2的相對貼近度單調(diào)減少，方案x3的相對貼近度先遞減然后逐漸增加，方案x4一直是最優(yōu)的；如圖2所示，隨著參數(shù)q(λ=3不變)的增加，各方案的相對貼近度均單調(diào)減少，排序結果也隨之變化，但方案x4一直是最優(yōu)的.根據(jù)IOFHWD中的參數(shù)特征發(fā)現(xiàn)，λ的大小可用于體現(xiàn)決策者決策風險偏好的程度.

圖1 各方案的相對貼近度函數(shù)(基于λ)

由分析可知，本文提出的基于IOFHWD測度的多屬性群決策方法具備良好性質(zhì).相比較麥克勞林對稱平均算子[17]直接給出權重，本文利用混合加權平均距離測度計算權重的方法，不僅考慮了數(shù)據(jù)的重要性，而且突出了數(shù)據(jù)所在位置的重要性，從而可以增大或降低偏差過大或者過小數(shù)據(jù)決策結果的影響.同時提出的區(qū)間Orthopair模糊集有更好的刻畫模糊的能力，其適用范圍也更廣泛.

圖2 各方案的相對貼近度函數(shù)(基于q)

5 結 語

本文從有序加權視角研究了基于區(qū)間Orthopair模糊混合加權距離(IOFHWD)測度的TOPSIS多屬性群決策方法及其應用.定義了區(qū)間Orthopair模糊有序加權距離(IOFOWD)測度，考慮不同的屬性權重信息情況，有效消除了過大或過小的不合理信息造成的誤差.在IOFOWD測度的基礎上，進一步提出了區(qū)間Orthopair模糊混合加權距離(IOFHWD)測度，考慮數(shù)據(jù)本身數(shù)據(jù)的重要性，體現(xiàn)數(shù)據(jù)所在位置的重要程度.提出一種基于IOFHWD測度的TOPSIS多屬性群決策方法，利用IOFHWD測量方案與正負理想解的距離，計算得到方案的相對貼近度，并根據(jù)其大小對方案進行排序擇優(yōu).案例說明了新方法的可行性和有效性.