尤麗潔

摘?要《標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》新增加了三個(gè)關(guān)鍵詞，之一就是“模型思想”，并指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑、建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”“模型思想”成為新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)明顯亮點(diǎn)，教育者們對(duì)其內(nèi)涵、組成、教育意義等都進(jìn)行了深入地探討。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué);模型建構(gòu)教學(xué)

中圖分類號(hào)：C931.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）27-0124-01

“模型思想”成為新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)明顯亮點(diǎn)，教育者們對(duì)其內(nèi)涵、組成、教育意義等都進(jìn)行了深入探討。如何在實(shí)際教學(xué)中幫助學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、融入模型思想，仍值得研究。本文略提幾點(diǎn)想法，求教于大家。

一、直觀感知——建模的土壤

案例：《圓的面積》

一、七次剪拼

1、學(xué)生操作學(xué)具。先是分成2等分，發(fā)現(xiàn)拼不起來(lái)，再等分成4等份，發(fā)現(xiàn)拼成的圖形有點(diǎn)平行四邊形的輪廓。接著引導(dǎo)學(xué)生操作學(xué)具將圓平均分成等分成8等份、16等份，再試著拼一拼，發(fā)現(xiàn)拼成的圖形接近平行四邊形。

2、電腦演示。等分成了32份、64份、128份，學(xué)生發(fā)現(xiàn)竟然越來(lái)越接近長(zhǎng)方形了。有了這樣的體會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生想象如果等分成無(wú)限份再拼的話，會(huì)怎樣呢？學(xué)生肯定地說(shuō)，拼成的圖形就是長(zhǎng)方形了。從不像，到有點(diǎn)輪廓，有點(diǎn)像，更像，最后到簡(jiǎn)直就是長(zhǎng)方形、就是長(zhǎng)方形，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)產(chǎn)生和形成時(shí)艱難的探索過(guò)程。

二、觀察比較

師：請(qǐng)大家觀察圓與長(zhǎng)方形，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？生①：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬=圓的半徑生②：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用字母表示πr，寬用r表示。生③：長(zhǎng)方形面積=圓的面積，圓的面積=長(zhǎng)方形面積=πrr=πr2。學(xué)生經(jīng)歷圓面積的推導(dǎo)過(guò)程，獲取廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將這些直觀經(jīng)驗(yàn)形成的表象深深地印在腦中，推導(dǎo)出圓面積的數(shù)學(xué)模型。

二、歸納抽象——建模的關(guān)鍵

在充分觀察、積累“厚實(shí)“的基礎(chǔ)上，從許多數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)觀象中舍去個(gè)別的，非本質(zhì)的屬性，而抽象出共同的本質(zhì)屬性，構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

案例《正比例的意義》

例1：一輛汽車每小時(shí)行50千米，行1小時(shí)、2小時(shí)、3小時(shí)……各行了多少千米？所行的路程和時(shí)間有什么關(guān)系？

例2：一種圓珠筆，枝數(shù)和總價(jià)如下表。

學(xué)生總結(jié)出關(guān)系式：

路程÷時(shí)間=速讀（一定）

總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)（一定）

學(xué)生概括出成正比例的量的含義。

師：你能不能用一種關(guān)系式，把成正比例的兩種量表示出來(lái)呢？學(xué)生展示自己創(chuàng)造出的各種關(guān)系式，最后統(tǒng)一概括成：如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系就可以用下面的式子表示：

可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，正是以一個(gè)抽象概括方式建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是“具體問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——符號(hào)模型”的過(guò)程。它舍去了與數(shù)無(wú)關(guān)的具體情節(jié)，把反映數(shù)學(xué)問(wèn)題的“本質(zhì)特征”抽取出來(lái)，用關(guān)系式概括，形成數(shù)學(xué)模型，以便于后面學(xué)習(xí)中有效地進(jìn)行解釋、應(yīng)用。當(dāng)教師們以抽象概括的思維方法來(lái)審視小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，貌似不同的數(shù)學(xué)情景的背后，往往具有相同的思維模型。

三、應(yīng)用拓展——建模的靈魂

案例《常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系》。

1、學(xué)生得出了數(shù)學(xué)模型：速度×?xí)r間=路程

2、師：我們來(lái)回顧二年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（師出示：4個(gè)盤子，每盤有3個(gè)蘋果）師：可以列出怎樣的算式？哪個(gè)數(shù)據(jù)相當(dāng)于速度？哪個(gè)數(shù)據(jù)相當(dāng)于時(shí)間……（師出示：用磚砌成的墻）師：什么相當(dāng)于速度？什么相當(dāng)于時(shí)間、路程？師：是不是還有些數(shù)量也是這種“一乘兩除”的關(guān)系？（師出示：?jiǎn)蝺r(jià)、數(shù)量、總價(jià)）師：它們之間是什么關(guān)系？學(xué)生回答。師：這些都是二年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法問(wèn)題。打個(gè)比方：乘法是個(gè)筐，好多東西里面裝！

【課件出示：（ ）×（ ）=（ ）】

學(xué)習(xí)不僅僅是局限于一個(gè)問(wèn)題、一類問(wèn)題的解答，而應(yīng)在解決問(wèn)題中體會(huì)數(shù)學(xué)的模型思想。思考至此，接下來(lái)的教學(xué)應(yīng)“乘勝追擊”。建立了行程問(wèn)題的模型后，教者并未罷手，進(jìn)行了類比抽象，將一系列“一乘兩除”的問(wèn)題歸之于乘法，對(duì)乘法模型進(jìn)行了適度的生成、拓展、與重塑，由此派生出新的數(shù)學(xué)模型。隨著一個(gè)個(gè)問(wèn)題的提出和解決，不但使學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解、把握與構(gòu)建，也使學(xué)生自然地養(yǎng)成從不同的問(wèn)題情境中找出統(tǒng)一結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)觀念。以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，加深學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)的把握，使得學(xué)生學(xué)會(huì)抓住數(shù)學(xué)的模型思想這個(gè)“靈魂”，在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)思考、善于思考，學(xué)會(huì)有效地去創(chuàng)造新知識(shí)，使他們適應(yīng)未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展。

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重要的是學(xué)會(huì)探求模式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。模式可以模仿，更可以創(chuàng)新。建模中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型“動(dòng)態(tài)”的、鮮活的形成過(guò)程，在活動(dòng)中獲得了“靜止”的、形式化的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和方法，也就可能使學(xué)生日后在面對(duì)不熟悉的問(wèn)題情境乃至數(shù)學(xué)學(xué)科以外的現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，像數(shù)學(xué)家那樣進(jìn)行“模型化”的處理，讓“模型思想之花”處處開放。