周迪

摘 要：上世紀(jì)八十年代至本世紀(jì)初，有學(xué)者利用某平面上三點(diǎn)來(lái)計(jì)算該平面產(chǎn)狀，受當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)普及的條件，該方法由于計(jì)算量過(guò)大，傾向方位角判別條件復(fù)雜等特點(diǎn)而沒(méi)有受到廣泛應(yīng)用。現(xiàn)如今，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，通過(guò)對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化，利用解析幾何思想來(lái)計(jì)算地質(zhì)體產(chǎn)狀，大大減少了計(jì)算量，精簡(jiǎn)了傾向方位角判別條件，使得該方法的應(yīng)用性大大提高。該方法是在高精度數(shù)學(xué)測(cè)量的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)地質(zhì)體層面進(jìn)行幾何建模，利用空間方向向量來(lái)解析地質(zhì)體層面，利用反三角函數(shù)估算地質(zhì)體層面傾向、走向及傾角。通過(guò)該方法，可對(duì)穩(wěn)定的地層、磁性礦體及某些特殊的結(jié)構(gòu)面等進(jìn)行產(chǎn)狀估算。

關(guān)鍵詞：測(cè)量;產(chǎn)狀;應(yīng)用;三點(diǎn)解析法

1 緒言

為獲取某地質(zhì)體產(chǎn)狀，傳統(tǒng)的方法是地質(zhì)人員在野外采用羅盤(pán)法測(cè)量確定，該方法測(cè)量精度受地質(zhì)體產(chǎn)狀波動(dòng)、測(cè)量人員水平、羅盤(pán)精度等多方面的制約。王鳳艷[1，2]等人通過(guò)統(tǒng)計(jì)羅盤(pán)測(cè)量?jī)A向、傾角中誤差分別為4°和3°。其次，羅盤(pán)法測(cè)量工作量極大，并且只能對(duì)接觸類(lèi)地質(zhì)體進(jìn)行測(cè)量，對(duì)高大地質(zhì)體上部、掩蓋地質(zhì)體等非接觸地質(zhì)體則愛(ài)莫能助。隨著近些年測(cè)量技術(shù)的高速發(fā)展，高精度RTK測(cè)量、免棱鏡全站儀、三維激光數(shù)字掃描儀、近景數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量、高精度遙感等測(cè)量技術(shù)的發(fā)展為野外工作提供了極大的便利，不僅對(duì)非接觸類(lèi)地質(zhì)體進(jìn)行測(cè)量，而且大大減小了工作量，提高了工作效率。

通過(guò)高精度數(shù)字測(cè)量技術(shù)在地質(zhì)體層面上采集三個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)，通過(guò)平面向量解析對(duì)層面進(jìn)行產(chǎn)狀估算（即“三點(diǎn)解析法”）。本方法是在前人成果[3，4]的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行簡(jiǎn)化、方向向量的確定來(lái)減少計(jì)算量及簡(jiǎn)化傾向方位角的判別方法。

2 幾何模型的建立

2.1 平面坐標(biāo)系統(tǒng)

由于我們的地球，是一個(gè)近似于梨形的不規(guī)則的橢球體，而我們平時(shí)處理的都是二維平面上的地物要素，因此我們需要將球面上的點(diǎn)通過(guò)某種數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系將其簡(jiǎn)化至平面上，也就是地圖投影變換。地質(zhì)學(xué)上常用地圖投影方法主要為高斯—克呂格法[5]。高斯—克呂格投影就是取中央經(jīng)線(xiàn)與赤道的交點(diǎn)為原點(diǎn)，中央經(jīng)線(xiàn)為縱坐標(biāo)軸（北為正方向，X軸），赤道為橫坐標(biāo)軸（東為正方向，Y軸），構(gòu)成高斯—克呂格平面直角坐標(biāo)系，高程坐標(biāo)軸以大地水準(zhǔn)面為原點(diǎn)（向上為正方向，Z軸），詳見(jiàn)圖1A版地質(zhì)體幾何化模型三維視圖。

2.2 自定義坐標(biāo)系統(tǒng)

為了方便理解及簡(jiǎn)化計(jì)算，將高斯—克呂格平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化平移。具體方法：在某一地質(zhì)體層面上測(cè)量三個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)后，選擇標(biāo)高最低點(diǎn)作為新原點(diǎn)，以北方向?yàn)閄軸正方向;東方向?yàn)閅軸正方向，構(gòu)成新的平面坐標(biāo)系統(tǒng)，向上為Z軸正方向，見(jiàn)圖1A版地質(zhì)體幾何化模型。自定義坐標(biāo)的建立就是將地質(zhì)體層面簡(jiǎn)化成通過(guò)自定義坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)的平面。

2.3 地質(zhì)體產(chǎn)狀

地質(zhì)體層面產(chǎn)狀除水平巖層呈水平狀態(tài)產(chǎn)出外，其它地質(zhì)體層面產(chǎn)狀均以其走向、傾向和傾角表示。

走向：地質(zhì)體層面與水平面的交線(xiàn)，或該層面上水平線(xiàn)的方向即為地質(zhì)體層面走向。因兩端所指方向均為走向，因此走向由相差180°的兩個(gè)方位角來(lái)表示，走向方位角取值范圍為[0°，360°）。圖1A版中OA、OB為走向線(xiàn)，所指方向即為走向方位角。

傾向：垂直于走向線(xiàn)向?qū)用嫦路揭咕€(xiàn)為該層面的傾斜線(xiàn)，傾斜線(xiàn)在水平面上投影即為傾向線(xiàn)。圖1中OD為傾斜線(xiàn)，OD為傾向線(xiàn)，以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，D點(diǎn)在水平面上以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至X軸正方向所形成的角度為傾向方位角。圖1A版中OD與X軸正方向的夾角（β），傾向方位角β取值范圍[0°，360°）。傾向與走向之間垂直，即走向=傾向±90°。

傾角：傾斜線(xiàn)與其水平面上投影（即傾向線(xiàn)）的夾角，或?qū)用媾c水平面的夾角即為傾角，圖1中∠DOD為傾角（α），傾角α取值范圍[0°，90°]。

3 “三點(diǎn)解析法”計(jì)算過(guò)程

首先，我們?cè)谀繕?biāo)層面上測(cè)量不在同一直線(xiàn)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，P（x1，y1，z1）、Q（x2，y2，z2）、O（x3，y3，z3）。先將坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化。圖1A版中我們以O(shè)點(diǎn)標(biāo)高最低為例，即以O(shè)點(diǎn)為新原點(diǎn)，以北方向?yàn)閄軸正方向，以東方向?yàn)閅軸正方向，以向上為Z軸正方向做新坐標(biāo)系統(tǒng)。在新坐標(biāo)系中O點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，0）;P點(diǎn)坐標(biāo)為（x1- x3，y1- y3，z1- z3），簡(jiǎn)化表示為（x1，y1，z1）;Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x2- x3，y2- y3，z2- z3），簡(jiǎn)化表示為（x2，y2，z2）。通過(guò)O點(diǎn)分別向P點(diǎn)，Q點(diǎn)做向量OP，OQ，則向量OP可表示為（x1，y1，z1）;向量OQ可表示為（x2，y2，z2）。在這里需驗(yàn)證三點(diǎn)不能在同一直線(xiàn)上，即OP≠λOQ（λ為任意常數(shù)）。

其次，引入平面法向量來(lái)解析目標(biāo)層面，即垂直于目標(biāo)層面的方向向量n來(lái)表示。由于方向向量n垂直于層面，因此方向向量n垂直于向量OP，OQ，就有以下行列式：

n=OP×OQ=

上式展開(kāi)得：（y1 z2- y2 z1）i+（x2 z1 -x1 z2）j+ （x1 y2- x2 y1）k，化簡(jiǎn)得：n=Ai+Bj+Ck（i，j，k分別是平行于X、Y、Z軸的單位向量），即方向向量n（A，B，C）（A、B、C不能同時(shí)等于0，若同時(shí)等于0，說(shuō)明三點(diǎn)共線(xiàn)，應(yīng)重新選擇三個(gè)點(diǎn)）。

根據(jù)地質(zhì)體傾向的性質(zhì)，方向向量n取指向Z軸正方向或垂直于Z軸的方向向量。因此取C值大于或等于0的方向向量，若C=0，則表明該地質(zhì)體層面垂直于XOY平面，則地質(zhì)體傾角為90°;若使C值大于0，可采用以下方法：

（1）若通過(guò)計(jì)算后C值小于0，即方向向量指向下方（Z軸負(fù)方向），可通過(guò)取該向量的反向向量-n（-A，-B，-C）做平面的方向向量。

（2）采用圖解法：將野外測(cè)得的三點(diǎn)數(shù)據(jù)投影到平面上，選標(biāo)高最低點(diǎn)分別向另外兩點(diǎn)做向量。采用向量乘積右手定則（見(jiàn)圖2向量右手定則）來(lái)確定指向上方方向向量n=OP×OQ，反之用n=OQ×OP。

在計(jì)算出方向向量n（A，B，C）（這里C取值大于或等于0）后，即可計(jì)算地質(zhì)體產(chǎn)狀。根據(jù)圖1B版中角度等價(jià)關(guān)系，向量n與Z軸夾角等于地質(zhì)體層面傾角α=arccos[C/ （A2+B2+C2）1/2]。由于C大于等于0，故α取值范圍[0°，90°]，與傾角取值范圍相同，故夾角α即為傾角;OD與X軸正方向夾角β= arccos[A/ （A2+B2）1/2]。由于向量夾角β取值范圍[0°，180°]，與傾向方位角[0，360）不符，因此討論：當(dāng)B大于等于0時(shí)，夾角β值即為傾向方位角;當(dāng)B小于0時(shí)，360°-β值即為傾向方位角;走向方位角=傾向方位角±90°，由于走向方位角取值范圍為[0，360），因此在計(jì)算走向方位角位角值小于0°或大于360°時(shí)，應(yīng)通過(guò)計(jì)算值±360°糾正。

該方法適用于一般地質(zhì)體產(chǎn)狀要素的測(cè)量，但地質(zhì)體應(yīng)滿(mǎn)足以下條件：（1）欲測(cè)地質(zhì)體層面起伏變化不太大，大致為一平面;（2）能在該面上找到不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，并且能測(cè)量或計(jì)算各點(diǎn)的三維坐標(biāo)值。

在實(shí)際中，地質(zhì)體層面產(chǎn)狀往往復(fù)雜多變，如呈舒緩波狀的斷層，受小褶皺影響的地層，呈下緩上陡的邊坡、滑坡面等，其層面產(chǎn)狀因測(cè)量位置不同而產(chǎn)狀不一。采用三點(diǎn)解析法是將目標(biāo)層面在三個(gè)點(diǎn)范圍內(nèi)進(jìn)行平面化，即認(rèn)為在O、P、Q三點(diǎn)范圍內(nèi)的平面是平直的平面（見(jiàn)圖3不規(guī)則地質(zhì)體平面化）。

4 “三點(diǎn)解析法”的應(yīng)用

4.1 地層產(chǎn)狀的估算

首先要確定地層的穩(wěn)定性，地層在遭受地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)影響形成不穩(wěn)定、不連續(xù)、產(chǎn)狀變化較大的地層時(shí)不能使用該方法進(jìn)行計(jì)算。只有在地層產(chǎn)狀穩(wěn)定，斷裂構(gòu)造不發(fā)育，褶皺構(gòu)造不發(fā)育或只受單斜構(gòu)造影響時(shí)可使用本方法進(jìn)行估算。具體方法：可在地層走向方向上選擇兩點(diǎn)，在傾向方向上選擇一點(diǎn)，選點(diǎn)位置一般應(yīng)在地層與下伏地層接觸界線(xiàn)上選擇，通過(guò)高精度數(shù)字測(cè)量測(cè)得三點(diǎn)坐標(biāo)后，通過(guò)三點(diǎn)解譯法計(jì)算地層產(chǎn)狀。在同一地層上不同位置測(cè)量若干個(gè)點(diǎn)，通過(guò)選擇不同的三個(gè)點(diǎn)分別計(jì)算，若多次計(jì)算后地層產(chǎn)狀變化較小，則計(jì)算平均值做為該地層產(chǎn)狀;若多次計(jì)算結(jié)果變化較大，則表明該地層可能遭受構(gòu)造影響產(chǎn)狀有一定的變化，可在該地層上不同部位選擇多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分段估算地層產(chǎn)狀。

產(chǎn)狀平緩地層（傾角小于10°），在野外測(cè)量產(chǎn)狀時(shí)有一定的難度，亦可采用三點(diǎn)解析法估算其產(chǎn)狀。

4.2 磁性地質(zhì)體產(chǎn)狀估算

要計(jì)算的磁性礦體應(yīng)為板狀、層狀或似層狀的穩(wěn)定礦體。由于在磁性體附近羅盤(pán)失靈，無(wú)法直接測(cè)量磁性礦體產(chǎn)狀，可采用三點(diǎn)解析法進(jìn)行產(chǎn)狀估算，具體方法是在磁性礦體與圍巖接觸帶上（三點(diǎn)位置應(yīng)同在礦體上盤(pán)或下盤(pán)選擇）選擇不在同一直線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，通過(guò)高精度數(shù)字測(cè)量三點(diǎn)坐標(biāo)后，采用三點(diǎn)解譯法估算磁性地質(zhì)體產(chǎn)狀。

4.3隱伏礦體產(chǎn)狀估算

在實(shí)際工作中，我們常常會(huì)遇到由物化探等異常圈定通過(guò)鉆探工程揭露的隱伏礦體。這些礦體往往只有少量的工程控制，礦體形態(tài)不清，因此我們可采用三點(diǎn)解析法近似預(yù)測(cè)其產(chǎn)狀，為下一步探礦工程部署提供參考，具體方法是在同一礦體上選擇三個(gè)見(jiàn)礦工程，通過(guò)計(jì)算各工程見(jiàn)礦中心點(diǎn)位置選取三個(gè)點(diǎn)，再用三點(diǎn)解析法計(jì)算礦體產(chǎn)狀。由于某些隱伏礦體產(chǎn)狀往往多變，特別是受構(gòu)造控制的有色金屬、貴金屬礦體，在選用此方法時(shí)，應(yīng)盡可能選擇小范圍內(nèi)的工程，可選擇相鄰勘探線(xiàn)上的相鄰工程進(jìn)行計(jì)算，大致估算礦體總體產(chǎn)狀。

4.4 某些特殊結(jié)構(gòu)面的計(jì)算

結(jié)構(gòu)面是指地質(zhì)體內(nèi)形成的具有一定的延伸方向和長(zhǎng)度，厚度相對(duì)較小的界面。主要包括斷層面，不整合面，節(jié)理面，工程力學(xué)軟弱結(jié)構(gòu)面，高陡邊坡面，露天采場(chǎng)邊坡面，地裂縫結(jié)構(gòu)面，滑移面等。以上結(jié)構(gòu)面往往產(chǎn)狀較化較大，可在范圍內(nèi)選擇三個(gè)點(diǎn)來(lái)估算其總體產(chǎn)狀，或在小范圍內(nèi)估算局部產(chǎn)狀。

5 結(jié)論

（1）“三點(diǎn)解析法”突破了人工使用羅盤(pán)法測(cè)量的局限性，可減少野外工作人員勞動(dòng)強(qiáng)度，提高工作效率。

（2）選點(diǎn)位置對(duì)產(chǎn)狀估算結(jié)果具有很大影響，因此在選點(diǎn)過(guò)程中選擇最能代表反映地質(zhì)體總體產(chǎn)狀的三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。

（3）基于高精度數(shù)字測(cè)量技術(shù)，使得計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確。但不可忽略的是該方法的理想模型化，對(duì)地質(zhì)體層面產(chǎn)狀變化往往考慮不周，具有一定的局限性。

（4）通過(guò)對(duì)平面方向向量的確定，可大大減少傾向方位角判別方法。

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