湯 偉
(安徽省淮南市洞山中學,安徽 淮南 232001)
如圖1,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 為△ABC 內部一點,且∠APB=∠BPC=135°。
(1) 求證:△PAB ∽△PBC。(2)求證:PA=2PC。(3)若點P 到三角形的邊AB、BC、CA 的距離分別為h1、h2、h3,求證
圖1
本題延續(xù)了安徽省中考壓軸題的出題模式,考查學生的幾何綜合知識。試題呈現簡明扼要,起點低,基礎性強,層次分明,梯度明顯,學生可以拾級而上,逐步深入。第(1)問證明三角形相似,題目中已有一明確條件∠APB=∠BPC=135°,只需再找一組角相等即可證明。學生可以通過內角和求得∠PCB+∠PBC=45°,由△ABC 是等腰直角三角形推知∠PBA+∠PBC=45°,證得∠PCB=∠PBA,從而證得△PAB∽△PBC。第(2)、(3)問既有沿用第(1)問的基礎性解法,也有利用“截長補短”的通性通法,還有構造基本圖形的特殊性解法,這為不同思維層次的學生搭建了不同的平臺。
本題解法多樣,特別是第(2)問證法多樣,解題中既可以聯系第(1)問的結論,利用相似的性質解決問題,也可以利用“截長補短”的通法解決線段倍分問題,利用“全等變換”尋找基本圖形或者構造基本模型解決問題,為學生提供了多角度、多層次思考問題的空間,既能考查能力一般的學生所應具備的素質,又能分辨出優(yōu)秀學生具備的較強模型構造能力和綜合運用能力。第(1)、(3)問解法相對單一,本文主要對第(2)問的解法展開討論。
解法2:在線段PA 上截取PM=PC,可知△PCM是等腰直角三角形,易證△ACM≌△CBP,可得AM=CP,于是PA=PM+MA=2PC,也可進行補短,“截長補短”是把線段的和差倍分問題轉化成線段相等問題,是把問題化難為易的常見解題策略。
解法3:(旋轉)圖略。將△CAP 繞點C 逆時針旋轉90°,使CA 與CB 重合,易證△CPM、△PMB 是等腰直角三角形??傻肞C=2PC,于是PA=2PC。
解法4:(翻折+共圓)將△CBP、△CAP 分別沿直線CB、CA 翻折,由∠ACN+∠BCM=180°證得N、C、M三點共線。由∠BMC+∠BAC=180°證得A、B、C、M 四點共圓,可得∠NMA=∠CBA=45°,可證△MNA 是等腰直角三角形,于是AN=NM=2CP,即PA=2PC。全等變換是幾何綜合題考察的重中之重,特別是“圖形的旋轉”與“圖形的翻折”逐漸變成中考題型甚至是壓軸題的必考內容,這類問題集中考查學生對旋轉、軸對稱、平移變化的性質的理解,以及對變換后的幾何圖形的數量關系、位置關系、形狀關系的探究,有效考查學生觀察、操作、猜想、驗證、推斷等各種數學能力。
解法5:(構造“弦圖”)過點B 作BM⊥CP 于點M,易證△ACP≌△CBM。同解法3。
解法6:(構造“十字架”+共圓)由“十字架”模型圖可證CM=BN,由∠NPM+∠NBC=180°證得P、M、B、N 四點共圓,又∠BPM=∠BPN=45°,可得BM=BN,于是tan∠BCN=,可得PA=2PC。
解法7:(構造“手拉手模型”)以CP 為直角邊向右側構造等腰直角三角形,△CAB 與△CPM 構成“手拉手模型”結構圖,可得△CAP≌△CBM。以下過程同解法3。
解法8:(相似+共圓)過點C 作CM⊥AB 于點M?!螩PA=∠CMA=90°,證得A、M、P、C 四點共圓,∠PCM=∠PAM,∠APM=∠ACM=45°,可證△PCM∽△PAB,可得PA=2PC。
本題設置由易到難,梯度明顯,從基本知識與技能出發(fā),考查數學的核心知識,即學生利用幾何直觀尋找、構造數學模型解決問題的能力,讓各個層次的學生均能夠有所思考。在教學中,教師要充分利用教材素材,夯實學生的基礎知識、基本結論,滲透基礎數學思想方法,讓學生展開數學“悟”的過程,通過精心設計問題,培養(yǎng)學生的幾何直觀。
在教學中,教師要重視訓練、培養(yǎng)學生的邏輯推理與幾何直觀能力。較復雜的幾何圖形都是由兩個或者兩個以上的基本圖形整合而成,學生只要能從復雜圖形中分離出解決問題所需的基本模型,把復雜問題化繁為簡、化未知為已知,問題便迎刃而解。
本題的多種解法是綜合運用“幾何與圖形”相關知識,考查學生發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的能力。在新課標理念下,數學教學必須強調知識的整體性和連貫性,讓學生感數學各章節(jié)知識之間的互相聯系,這有助于提升學生核心素養(yǎng),提高學生的數學綜合應用能力。
在日常教學中,教師要強調數學知識的整體性和結構性,讓學生感受數學知識的相互聯系,要充分挖掘典型問題的內在數學價值與遷移功能。教師要讓學生真正理解基本圖形的本質特征,具備模型意識,讓學生發(fā)現,甚至能夠構造出所需基本圖形,提高學生綜合運用數學知識解決問題的能力,增強學生思維的靈活性與創(chuàng)造性,提升學生思維的廣度與深度,促進學生全面發(fā)展。