湯 偉

（安徽省淮南市洞山中學(xué)，安徽 淮南 232001）

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P 為△ABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=135°。

（1） 求證：△PAB ∽△PBC。（2）求證：PA=2PC。（3）若點(diǎn)P 到三角形的邊AB、BC、CA 的距離分別為h1、h2、h3，求證

圖1

二、核心素養(yǎng)視角下的特色解讀

1.題目簡潔，層次分明

本題延續(xù)了安徽省中考壓軸題的出題模式，考查學(xué)生的幾何綜合知識(shí)。試題呈現(xiàn)簡明扼要，起點(diǎn)低，基礎(chǔ)性強(qiáng)，層次分明，梯度明顯，學(xué)生可以拾級而上，逐步深入。第（1）問證明三角形相似，題目中已有一明確條件∠APB=∠BPC=135°，只需再找一組角相等即可證明。學(xué)生可以通過內(nèi)角和求得∠PCB+∠PBC=45°，由△ABC 是等腰直角三角形推知∠PBA+∠PBC=45°，證得∠PCB=∠PBA，從而證得△PAB∽△PBC。第（2）、（3）問既有沿用第（1）問的基礎(chǔ)性解法，也有利用“截長補(bǔ)短”的通性通法，還有構(gòu)造基本圖形的特殊性解法，這為不同思維層次的學(xué)生搭建了不同的平臺(tái)。

2.解法多樣，彰顯素養(yǎng)

本題解法多樣，特別是第（2）問證法多樣，解題中既可以聯(lián)系第（1）問的結(jié)論，利用相似的性質(zhì)解決問題，也可以利用“截長補(bǔ)短”的通法解決線段倍分問題，利用“全等變換”尋找基本圖形或者構(gòu)造基本模型解決問題，為學(xué)生提供了多角度、多層次思考問題的空間，既能考查能力一般的學(xué)生所應(yīng)具備的素質(zhì)，又能分辨出優(yōu)秀學(xué)生具備的較強(qiáng)模型構(gòu)造能力和綜合運(yùn)用能力。第（1）、（3）問解法相對單一，本文主要對第（2）問的解法展開討論。

三、第（2）問具體解題思路

1.思路1：以“四基”為本，回歸教材本源

2.思路2：以方法為脈，凸顯通性通法——截長補(bǔ)短

解法2：在線段PA 上截取PM=PC，可知△PCM是等腰直角三角形，易證△ACM≌△CBP，可得AM=CP，于是PA=PM+MA=2PC，也可進(jìn)行補(bǔ)短，“截長補(bǔ)短”是把線段的和差倍分問題轉(zhuǎn)化成線段相等問題，是把問題化難為易的常見解題策略。

3.思路3：以思想為魂，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)——全等變換

解法3：（旋轉(zhuǎn)）圖略。將△CAP 繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使CA 與CB 重合，易證△CPM、△PMB 是等腰直角三角形。可得PC=2PC，于是PA=2PC。

解法4：（翻折+共圓）將△CBP、△CAP 分別沿直線CB、CA 翻折，由∠ACN+∠BCM=180°證得N、C、M三點(diǎn)共線。由∠BMC+∠BAC=180°證得A、B、C、M 四點(diǎn)共圓，可得∠NMA=∠CBA=45°，可證△MNA 是等腰直角三角形，于是AN=NM=2CP，即PA=2PC。全等變換是幾何綜合題考察的重中之重，特別是“圖形的旋轉(zhuǎn)”與“圖形的翻折”逐漸變成中考題型甚至是壓軸題的必考內(nèi)容，這類問題集中考查學(xué)生對旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移變化的性質(zhì)的理解，以及對變換后的幾何圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、形狀關(guān)系的探究，有效考查學(xué)生觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推斷等各種數(shù)學(xué)能力。

4.思路4：以能力為意，豐富知識(shí)內(nèi)涵——綜合運(yùn)用

解法5：（構(gòu)造“弦圖”）過點(diǎn)B 作BM⊥CP 于點(diǎn)M，易證△ACP≌△CBM。同解法3。

解法6：（構(gòu)造“十字架”+共圓）由“十字架”模型圖可證CM=BN，由∠NPM+∠NBC=180°證得P、M、B、N 四點(diǎn)共圓，又∠BPM=∠BPN=45°，可得BM=BN，于是tan∠BCN=，可得PA=2PC。

解法7：（構(gòu)造“手拉手模型”）以CP 為直角邊向右側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形，△CAB 與△CPM 構(gòu)成“手拉手模型”結(jié)構(gòu)圖，可得△CAP≌△CBM。以下過程同解法3。

解法8：（相似+共圓）過點(diǎn)C 作CM⊥AB 于點(diǎn)M。∠CPA=∠CMA=90°，證得A、M、P、C 四點(diǎn)共圓，∠PCM=∠PAM，∠APM=∠ACM=45°，可證△PCM∽△PAB，可得PA=2PC。

四、教學(xué)導(dǎo)向分析

1.夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)幾何直觀

本題設(shè)置由易到難，梯度明顯，從基本知識(shí)與技能出發(fā)，考查數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，即學(xué)生利用幾何直觀尋找、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，讓各個(gè)層次的學(xué)生均能夠有所思考。在教學(xué)中，教師要充分利用教材素材，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本結(jié)論，滲透基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生展開數(shù)學(xué)“悟”的過程，通過精心設(shè)計(jì)問題，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。

2.聚焦通性通法，突出數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)中，教師要重視訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與幾何直觀能力。較復(fù)雜的幾何圖形都是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上的基本圖形整合而成，學(xué)生只要能從復(fù)雜圖形中分離出解決問題所需的基本模型，把復(fù)雜問題化繁為簡、化未知為已知，問題便迎刃而解。

3.注重綜合運(yùn)用，提升核心素養(yǎng)

本題的多種解法是綜合運(yùn)用“幾何與圖形”相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。在新課標(biāo)理念下，數(shù)學(xué)教學(xué)必須強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性和連貫性，讓學(xué)生感數(shù)學(xué)各章節(jié)知識(shí)之間的互相聯(lián)系，這有助于提升學(xué)生核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

五、結(jié)語

在日常教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和結(jié)構(gòu)性，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系，要充分挖掘典型問題的內(nèi)在數(shù)學(xué)價(jià)值與遷移功能。教師要讓學(xué)生真正理解基本圖形的本質(zhì)特征，具備模型意識(shí)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，甚至能夠構(gòu)造出所需基本圖形，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)造性，提升學(xué)生思維的廣度與深度，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。