湯 偉
(安徽省淮南市洞山中學(xué),安徽 淮南 232001)
如圖1,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 為△ABC 內(nèi)部一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=135°。
(1) 求證:△PAB ∽△PBC。(2)求證:PA=2PC。(3)若點(diǎn)P 到三角形的邊AB、BC、CA 的距離分別為h1、h2、h3,求證
圖1
本題延續(xù)了安徽省中考壓軸題的出題模式,考查學(xué)生的幾何綜合知識(shí)。試題呈現(xiàn)簡明扼要,起點(diǎn)低,基礎(chǔ)性強(qiáng),層次分明,梯度明顯,學(xué)生可以拾級而上,逐步深入。第(1)問證明三角形相似,題目中已有一明確條件∠APB=∠BPC=135°,只需再找一組角相等即可證明。學(xué)生可以通過內(nèi)角和求得∠PCB+∠PBC=45°,由△ABC 是等腰直角三角形推知∠PBA+∠PBC=45°,證得∠PCB=∠PBA,從而證得△PAB∽△PBC。第(2)、(3)問既有沿用第(1)問的基礎(chǔ)性解法,也有利用“截長補(bǔ)短”的通性通法,還有構(gòu)造基本圖形的特殊性解法,這為不同思維層次的學(xué)生搭建了不同的平臺(tái)。
本題解法多樣,特別是第(2)問證法多樣,解題中既可以聯(lián)系第(1)問的結(jié)論,利用相似的性質(zhì)解決問題,也可以利用“截長補(bǔ)短”的通法解決線段倍分問題,利用“全等變換”尋找基本圖形或者構(gòu)造基本模型解決問題,為學(xué)生提供了多角度、多層次思考問題的空間,既能考查能力一般的學(xué)生所應(yīng)具備的素質(zhì),又能分辨出優(yōu)秀學(xué)生具備的較強(qiáng)模型構(gòu)造能力和綜合運(yùn)用能力。第(1)、(3)問解法相對單一,本文主要對第(2)問的解法展開討論。
解法2:在線段PA 上截取PM=PC,可知△PCM是等腰直角三角形,易證△ACM≌△CBP,可得AM=CP,于是PA=PM+MA=2PC,也可進(jìn)行補(bǔ)短,“截長補(bǔ)短”是把線段的和差倍分問題轉(zhuǎn)化成線段相等問題,是把問題化難為易的常見解題策略。
解法3:(旋轉(zhuǎn))圖略。將△CAP 繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使CA 與CB 重合,易證△CPM、△PMB 是等腰直角三角形。可得PC=2PC,于是PA=2PC。
解法4:(翻折+共圓)將△CBP、△CAP 分別沿直線CB、CA 翻折,由∠ACN+∠BCM=180°證得N、C、M三點(diǎn)共線。由∠BMC+∠BAC=180°證得A、B、C、M 四點(diǎn)共圓,可得∠NMA=∠CBA=45°,可證△MNA 是等腰直角三角形,于是AN=NM=2CP,即PA=2PC。全等變換是幾何綜合題考察的重中之重,特別是“圖形的旋轉(zhuǎn)”與“圖形的翻折”逐漸變成中考題型甚至是壓軸題的必考內(nèi)容,這類問題集中考查學(xué)生對旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移變化的性質(zhì)的理解,以及對變換后的幾何圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、形狀關(guān)系的探究,有效考查學(xué)生觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推斷等各種數(shù)學(xué)能力。
解法5:(構(gòu)造“弦圖”)過點(diǎn)B 作BM⊥CP 于點(diǎn)M,易證△ACP≌△CBM。同解法3。
解法6:(構(gòu)造“十字架”+共圓)由“十字架”模型圖可證CM=BN,由∠NPM+∠NBC=180°證得P、M、B、N 四點(diǎn)共圓,又∠BPM=∠BPN=45°,可得BM=BN,于是tan∠BCN=,可得PA=2PC。
解法7:(構(gòu)造“手拉手模型”)以CP 為直角邊向右側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形,△CAB 與△CPM 構(gòu)成“手拉手模型”結(jié)構(gòu)圖,可得△CAP≌△CBM。以下過程同解法3。
解法8:(相似+共圓)過點(diǎn)C 作CM⊥AB 于點(diǎn)M。∠CPA=∠CMA=90°,證得A、M、P、C 四點(diǎn)共圓,∠PCM=∠PAM,∠APM=∠ACM=45°,可證△PCM∽△PAB,可得PA=2PC。
本題設(shè)置由易到難,梯度明顯,從基本知識(shí)與技能出發(fā),考查數(shù)學(xué)的核心知識(shí),即學(xué)生利用幾何直觀尋找、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決問題的能力,讓各個(gè)層次的學(xué)生均能夠有所思考。在教學(xué)中,教師要充分利用教材素材,夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本結(jié)論,滲透基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生展開數(shù)學(xué)“悟”的過程,通過精心設(shè)計(jì)問題,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。
在教學(xué)中,教師要重視訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與幾何直觀能力。較復(fù)雜的幾何圖形都是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上的基本圖形整合而成,學(xué)生只要能從復(fù)雜圖形中分離出解決問題所需的基本模型,把復(fù)雜問題化繁為簡、化未知為已知,問題便迎刃而解。
本題的多種解法是綜合運(yùn)用“幾何與圖形”相關(guān)知識(shí),考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。在新課標(biāo)理念下,數(shù)學(xué)教學(xué)必須強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性和連貫性,讓學(xué)生感數(shù)學(xué)各章節(jié)知識(shí)之間的互相聯(lián)系,這有助于提升學(xué)生核心素養(yǎng),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。
在日常教學(xué)中,教師要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和結(jié)構(gòu)性,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系,要充分挖掘典型問題的內(nèi)在數(shù)學(xué)價(jià)值與遷移功能。教師要讓學(xué)生真正理解基本圖形的本質(zhì)特征,具備模型意識(shí),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),甚至能夠構(gòu)造出所需基本圖形,提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)造性,提升學(xué)生思維的廣度與深度,促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。