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        《高等數(shù)學》中不定積分易錯題分類剖析

        2020-10-17 07:19:54左曉虹
        黑龍江科學 2020年19期
        關(guān)鍵詞:學生

        左曉虹

        (三門峽職業(yè)技術(shù)學院 公共教學部,河南 三門峽 472000)

        1 將四則運算法則中的乘除運算法則用于不定積分

        受中學數(shù)學代數(shù)運算的影響,部分學生忽視積分與代數(shù)運算的不同方式,將加減乘除四則運算直接套用到積分運算中。

        剖析:初學定積分的學生容易受極限四則運算法則及導數(shù)四則運算法則的影響,在解題過程中認為不定積分也具有加減乘除四則運算法則。錯誤的理解成如下計算公式:

        結(jié)論:不定積分有加減運算法則,但沒有乘法運算法則,也沒有除法運算法則。例1的正確解答是:

        例2的正確解答是:

        2 兩類基本函數(shù)積分公式被混淆

        冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)有相似的“外形”,部分學生在學習中混淆了二者的形式,也混淆了二者的原函數(shù)。

        剖析:對于不定積分的基本公式,許多學生雖然能夠熟記,但在運用過程中常?;煜齼深惞?。本題中出現(xiàn)的錯誤在于解題者混淆了冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的積分公式,將指數(shù)函數(shù)的不定積分套用了冪函數(shù)的原函數(shù)。

        結(jié)論:指數(shù)函數(shù)不定積分公式是:

        冪函數(shù)不定積分公式是:

        3 混淆積分變量

        在積分的學習過程中,學生容易混淆積分變量和被積函數(shù),尤其是當被積函數(shù)為兩個及以上三角函數(shù)的乘積時,計算過程中學生稍一疏忽便可出錯。

        剖析:該題是一個復合函數(shù)的積分,積分的中間變量是sinx,發(fā)生的錯誤原因在于解題者盲目套用基本初等函數(shù)的不定積分公式,忽略了sinx其實質(zhì)為中間變量,直接套用了正弦函數(shù)的不定積分公式進行解答。本題的正確解法為:

        4 復合函數(shù)被錯誤地看成基本初等函數(shù)

        湊微分法是積分的基本方法之一,在第一章節(jié)復合函數(shù)的教學中,教師要注意引導學生體會、感受符合函數(shù)的復合過程,即外函數(shù)、中間變量、自變量的“層層”包裹關(guān)系,通過對復合函數(shù)復合過程的練習,使學生明確復合函數(shù)是由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的復合運算而得到的函數(shù),為導數(shù)和積分的學習打下基礎(chǔ)。

        5 忽略了求出的不定積分成立區(qū)間

        學生們在記憶或求解的過程中往往會錯誤地求解為:

        剖析:沒有注意被積函數(shù)中x與a的大小關(guān)系,如果分段討論可有如下結(jié)果

        如果不分段則可以通過如下式子表示

        (1)

        類似題的運算還有如下公式,注意公式(1)與公式(2)的區(qū)別

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        不定積分常見錯誤的求法還有很多,這里就不一一列舉了。初學者要對比練習、勤于思考、善于總結(jié)、舉一反三、學以致用,對所學知識做到融會貫通。

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