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        Hom-李超三系的上同調(diào)和形變

        2020-10-14 06:35:10
        關(guān)鍵詞:定義研究

        郭 雙 建

        (貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴陽 550025)

        Hom-李代數(shù)起源于向量場上李代數(shù)的離散型量子q-形變理論,其概念是由Hartwig等學(xué)者在研究擬李代數(shù)時(shí)引進(jìn)的[1-2]. 隨后,Hom-型代數(shù)引起大量學(xué)者的研究興趣[3-6],比如,生云鶴教授系統(tǒng)研究了Hom-李代數(shù)的表示[7]等. 其一些推廣概念,如Hom-李超代數(shù),Hom李著色代數(shù)、Hom李三系,3-Hom李代數(shù)等相繼出現(xiàn),它們的諸多性質(zhì)也相繼被研究.

        李超三系是李三系的自然推廣,其最早源于在高能物理場上三元乘法求解Yang-Baxter方程的理論研究[8-9]. 隨后,文獻(xiàn)[10]刻畫了擬-經(jīng)典李超三系的概念,討論了其與Yang-Baxter方程的求解的聯(lián)系,并且給出了若干具體例證. 文獻(xiàn)[11]討論了李超三系的上同調(diào)和Nijenhuis 算子. 雖然李超三系的概念引入的時(shí)間不長,但是它已經(jīng)被許多學(xué)者接受.但遺憾的是,除了文獻(xiàn)[12]刻畫了Hom李超三系的導(dǎo)子之外,對(duì)Hom李超三系的性質(zhì)研究還不多,這也是本文的研究出發(fā)點(diǎn).

        設(shè)T為Hom-李超三系.本文主要刻畫其上的若干代數(shù)性質(zhì),并引入了T的上同調(diào)和上邊界算子,最后利用上同調(diào)方法討論了T的形變.

        1Hom-李超三系的上同調(diào)

        定義1[12]保積Hom-李超三系(T,[·,·,·])是一個(gè)Z2分次向量空間T,伴有三元運(yùn)算[·,·,·]:T×T×T→T和線性映射φ:T→T,φ([x,y,z])=[φ(x),φ(y),φ(z)]使得下列等式成立

        |[x,y,z]|=(|x|+|y|+|z|)(mod 2);

        (1)

        [y,x,z]=-(-1)|x||y|[x,y,z];

        (2)

        (-1)|x||z|[x,y,z]+(-1)|y||x|[y,z,x]+

        (-1)|z||y|[z,x,y]=0;

        (3)

        [φ(x),φ(y),[z,u,v]]=

        [[x,y,z],φ(u),φ(v)]+

        (-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,u],φ(v)]+

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|u|)[φ(z),φ(u),[x,y,v]].

        (4)

        其中,齊次元x,y,z,u,v∈T.以|x|表示x的Z2次數(shù). 在本文中,出現(xiàn)|x|時(shí),均默認(rèn)x為T中的齊次元.

        如果三線性映射χ:(T,[·,·,·],φ)→(T′,[·,·,·]′,φ′)為Z2-空間上的態(tài)射,且滿足χ([x,y,z])=[χ(x),χ(y),χ(z)]′和χφ=φ′χ,則稱χ為Hom-李超三系的同態(tài).

        定義2設(shè)T為保積Hom-李超三系,V為Z2-分次向量空間和A∈End(V). 若雙線性映射θ:T?T→End(V)滿足下列條件: 對(duì)任意的x,y,z,u∈T,

        θ(φ(x),φ(y))A=Aθ(x,y),

        (5)

        (-1)(|x|+|y|)(z+|u|)θ(φ(z),φ(u))θ(x,y)-

        (-1)|x||y|+|u|(|z|+|x|)θ(φ(y),φ(u))θ(x,z)-

        θ(φ(x),[y,z,u])A+

        (-1)|x|(|y|+|z|)D(φ(y),φ(z))θ(x,u)=0,

        (6)

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|u|)θ(φ(z),φ(u))D(x,y)-

        D(φ(x),φ(y))θ(z,u)+θ([x,y,z],φ(u))A+

        (-1)|z|(|x|+|y|)θ(φ(z),[x,y,u])A=0.

        (7)

        其中,D(x,y)=(-1)|x||y|θ(y,x)-θ(x,y),則稱(V,θ)為T的表示,即V為T-模.

        例1設(shè)T為保積Hom-李超三系.定義θ:T?T→End(V)為

        θ(x,y)(z)=(-1)|z|(|x|+|y|)[z,x,y].

        易知,D(x,y)(z)=[x,y,z]. 此時(shí),(T,θ)為T的伴隨表示.

        命題1設(shè)T為保積Hom-李超三系,(V,θ)為T的一個(gè)表示,則T?V為保積Hom-李超三系.

        證明對(duì)任意的(x,u),(y,v),(z,w)∈T?V,定義三線性積[·,·,·]:(T?V)?(T?V)?(T?V)→(T?V)為

        [(x,u),(y,v),(z,w)]=
        ([x,y,z],(-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
        (-1)|y||z|θ(x,z)(v)+D(x,y)(w)),

        其中,|(x,u)|=|x|.

        由于T為保積Hom-李超三系,容易驗(yàn)證(1)成立.

        對(duì)于(2),令(x,u),(y,v),(z,w)∈T?V并計(jì)算如下,

        -(-1)|x||y|[(y,v),(x,u),(z,w)]=
        -(-1)|x||y|([y,x,c],(-1)|y|(|x|+|z|)·
        θ(x,z)(v)-(-1)|x||z|θ(y,z)(u)+
        D(y,x)(w))=
        (-(-1)|x||y|[y,x,c],
        -(-1)|y||z|θ(x,z)(v)-
        (-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
        (-1)|x||y|D(y,x)(w))=
        ([x,y,z],(-1)|x|(|y|+|z|)·
        θ(y,z)(u)-(-1)|y||z|θ(x,z)(v)+
        D(x,y)(w))=[(x,u),(y,v),(z,w)],

        由于

        -(-1)|x||y|[y,x,w]=[x,y,w]=

        D(x,y)(w),

        所以最后一個(gè)等式成立.

        對(duì)于(3),有

        (-1)|x||z|[(x,u),(y,v),(z,w)]+

        (-1)|y||x|[(y,v),(z,w),(x,u)] +

        (-1)|z||y|[(z,w),(x,u),(y,v)]=

        ((-1)|x||z|[x,y,z]+(-1)|y||x|[y,z,x]+

        (-1)|z||y|[z,x,y],Ω)=(0,Ω),

        其中,

        Ω=(-1)|x||y|θ(y,z)(u)-

        (-1)(|x|+|y|)|z|θ(x,z)(v)+

        (-1)|x||z|D(x,y)(w)+

        (-1)|y||z|θ(z,x)(v)-

        (-1)(|y|+|z|)|x|θ(y,x)(w)+

        (-1)|b||a|D(y,z)(u)=

        (-1)|x||y|θ(y,z)(u)+

        (-1)|y||z|θ(z,x)(v)+

        (-1)|z||y|θ(x,y)(w)-

        (-1)|x||z|θ(x,y)(w)+

        (-1)|y||x|θ(y,z)(u)-

        (-1)|y||z|θ(z,x)(v)=0,

        則有

        (-1)|x||z|[(x,u),(y,v),(z,w)]+
        (-1)|y||x|[(y,v),(z,w),(x,u)]+

        (-1)|z||y|[(z,w),(x,u),(y,v)]=(0,0).

        對(duì)于(4),令(x,u),(y,v),(z,w),(s,m),(p,n)∈T?V.首先,計(jì)算如下,

        [[(x,u),(y,v),(z,w)],(φ+A)(s,m),

        (φ+A)(p,n)]=[([x,y,z],

        (-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-

        (-1)|y||z|θ(x,z)(v)+D(x,y)(w))·

        (φ+A)(s,m),(φ+A)(p,n)] =

        ([[x,y,z],φ(s),φ(p)],Π1),

        其中,

        Π1=(-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)·

        (-1)|x|(|y|+|z|)θ(φ(s),φ(p))θ(y,z)(u)-

        (-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)(-1)|y||z|·

        θ(φ(s),φ(p))θ(x,z)(v)+

        (-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)·

        θ(φ(s),φ(p))D(x,y)(w)-

        (-1)|y||z|θ([x,y,z],φ(p))θ(x,z)A(m)+

        D([x,y,z],s)A(n),

        其次,計(jì)算

        (-1)|z|(|x|+|y|)(φ+A)[(z,w),
        [(x,u),(y,v),(s,m)],(φ+A)(p,n)]=
        [(-1)|z|(|x|+|y|)(φ+A)(z,w)·
        ([x,y,s],(-1)|x|(|y|+|s|)θ(y,s)(u)-
        (-1)|y||s|θ(x,s)(v)+D(x,y)(m)),
        (φ+A)(p,n)]=
        ((-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,s],φ(p)],Π2),

        其中,

        Π2=-(-1)(|x|+|y|+|s|)|p|·

        (-1)|z|(|x|+|y|)+|x|(|y|+|s|)·

        θ(φ(z),φ(p))θ(y,s)(u)+

        (-1)(|x|+|y|+|s|)|p|·

        (-1)|z|(|x|+|y|)+|y||s|·

        θ(φ(z),φ(p))θ(x,s)(v)+

        (-1)(|x|+|y|+|s|+|p|)|z|·

        (-1)|z|(|x|+|y|)θ([x,y,s],φ(p))A(w)-

        (-1)(|x|+|y|+|s|)|p|(-1)|z|(|x|+|y|)·

        θ(φ(z),φ(p))D(x,s)(m)+

        (-1)|z|(|x|+|y|)D(φ(z),[x,y,s])A(n),

        第三,再計(jì)算

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
        [(φ+A)(z,w),(φ+A)(s,m),
        [(x,u),(y,v),(p,n)]]=
        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
        [(φ+A)(z,w),(φ+A)(s,m),
        ([x,y,p],(-1)|x|(|y|+|p|)·
        θ(y,p)(u)-(-1)|y||p|θ(x,p)(v)+
        D(x,y)(n))]=
        ((-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
        [φ(z),φ(s),[x,y,p]],Π3),

        其中,

        Π3=(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

        (-1)|x|(|y|+|p|)D(φ(z),φ(s))θ(y,p)(u)-

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)(-1)|y||p|·

        D(φ(z),φ(s))θ(x,p)(v)+

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

        (-1)(|x|+|y|+|p|)|z|θ(φ(s),[x,y,p])A(w)-

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

        (-1)(|x|+|y|+|p|)|s|·

        θ(φ(z),[x,y,p])A(m)+

        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

        D(φ(z),φ(s))D(x,y)(n),

        第四,計(jì)算

        [(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
        [(z,w),(s,m),(p,n)]]=
        [(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
        ([z,s,p],(-1)|z|(|s|+|p|)·
        θ(s,p)(w)-(-1)|s||p|θ(z,p)(m)+
        D(z,s)(n))]=([x,y,[z,s,p]],Π4),

        其中,

        Π4=(-1)|x|(|y|+|z|+|s|+|p|)·

        θ(φ(y),[z,s,p])A(u)-

        (-1)|y|(|z|+|s|+|p|)θ(φ(x),[z,s,p])A(v)+

        (-1)|z|(|s|+|p|)D(α(z),α(s))θ(s,p)(w)-

        (-1)|s||p|D(α(z),α(s))θ(z,p)(m)

        +D(φ(z),φ(s))D(z,s)(n),

        最后,由等式(5),(6)和(7),可得

        [[(x,u),(y,v),(z,w)],
        (φ+A)(s,m),φ(α+A)(p,n)]+
        (-1)|z|(|x|+|y|)[(φ+A)(z,w),
        [(x,u),(y,v),(s,m)],(φ+A)(p,n)]+
        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)[(φ+A)(z,w),
        (φ+A)(s,m),[(x,u),(y,v),(s,m)]]=
        ([[x,y,z],φ(s),φ(p)]+
        (-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,s],φ(p)]+
        (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)[φ(z),φ(s),
        [x,y,p]],Π1+Π2+Π3)=
        ([φ(x),φ(y),[z,s,p]],Π4)=
        [(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
        [(z,w),(s,m),(p,n)]],

        證畢.

        定義3設(shè)T為保積Hom-李超三系,V為T-模. 如果存在n-線性映射χ:T×T×…×T→T滿足下列條件:

        Aχ(x1,x2,…,xn)=χ(φ(x1),φ(x2),…,φ(xn)),

        (8)

        χ(x1,x2,…,x,y,…,xn)=

        -(-1)|x||y|χ(x1,x2,…,x,y,…,xn),

        (9)

        -(-1)|x||z|χ(x1,x2,…,xn-3,x,y,z)+

        (-1)|y||x|χ(x1,x2,…,xn-3,x,z,y)+

        (-1)|z||y|χ(x1,x2,…,xn-3,z,x,y)=0.

        (10)

        Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)=

        (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)-

        (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

        θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n)+

        D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))·

        [x2k-1,x2k,xj],…,φ(x2n+1)).

        Φ2nχ(x1,…,x2n+1)=

        (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|y|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn(x2n),φn(x2n+1))χ(y,x1,…,x2n-1)-

        (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|y|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)·

        θ(φn(x2n-1),φn(x2n+1))χ(y,x1,…,x2n-2,x2n)+

        D(φn(x2k-1),φn(x2k))·

        不難驗(yàn)證Φnχ滿足(9)和(10). 要驗(yàn)證Φnχ滿足(8),使得Φnχ是良定義的,事實(shí)上,只需驗(yàn)證

        A(Φ2n-1χ(x1,…,x2n-1))=(Φ2n-1χ(φ(x1),…,

        φ(x2n-1))).Φ2n-1χ(φ(x1),…,φ(x2n-1))=

        (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn(x2n),φn(x2n+1))χ(φ(x1),…,φ(x2n-1))-

        (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

        θ(φn(x2n-1),φn(x2n+1))χ(φ(x1),…,φ(x2n-2),

        (-1)(|x2k-1|+|x2k|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2k-2|)·

        φ([x2k-1,x2k,xj]),…,φ2(x2n+1))=

        (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn(x2n),φn(x2n+1))A(χ(x1,…,x2n-1))-

        (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

        θ(χn(x2n-1),χn(x2n+1))A(χ(x1,…,x2n-1,x2n))+

        Aθ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))(χ(x1,…,x2n-1))-

        A(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))(χ(x1,…,x2n-1,x2n))+

        D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))·

        A(Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)).

        定理1設(shè)T為保積Hom-李超三系,V為T-模,則上邊界算子Φn滿足Φn+2Φn=0.

        證明由上邊界算子的定義可知,Φ2n+1Φ2n-1=0可推出Φ2n+2Φ2n=0. 因此只需驗(yàn)證Φ2n+1Φ2n-1=0,n=1,2,3,… .

        其中,

        (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)-

        (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|f|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

        θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n),

        χ(x1,…,x2n+3)=

        (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

        θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3))Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)-

        (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

        θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))Φ2n-1χ(x1,…,x2n,x2n+2)+

        (-1)(|x2k-1|+|x2k|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2k-2|)·

        (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

        θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3)).

        (a1) ((-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)

        (a2) -(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

        θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n)+

        D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))

        (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

        θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))

        (a3) (-1)(|x2n|+|x2n+2|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+2))χ(x1,…,x2n-1)

        (a4) -(-1)(|x2n-1|+|x2n+2|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+2||x2n|·

        θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+2))χ(x1,…,x2n-2,x2n)+

        D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))

        …,[x2k-1,x2k,xj],…,φ(x2n),φ(x2n+2))+

        D(φn(x2k-1),φn(x2k))

        (b3) (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

        (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

        θ(φn-1(x2n+1),φn-1(x2n+3))

        D(φn(x2n+1),φn(x2n+2))·

        (-1)(|x2n|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

        θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+3))

        (a5)χ((x1,…,x2n-1))-

        (-1)(|x2n-1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n||x2n+3|·

        θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+3))

        (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

        θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3))

        (b6)θ(φn(x2n+2),φn-1[x2k-1,x2k,x2n+3])χ(φ(x1),

        (-1)(|x2n|+|x2n+1|+|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)

        (a7)θ(φn(x2n),φn-1[x2n+1,x2n+2,x2n+3])χ(φ(x1),

        (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

        θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))

        (a8)θ(φn(x2n-1),φn-1[x2n+1,x2n+2,x2n+3])χ(φ(x1),…,φ(x2n-2),φ(x2n))

        由等式(6)和(8),可知(a1)+···+(a8)=0; 由(7)和(8),可知(b1)+···+(b8)=0;不難驗(yàn)證(c1)+(c2)=(d1)+(d2)=0. 因此

        2Hom-李超三系的單參數(shù)形式形變

        設(shè)T為保積Hom-李超三系,k[[t]]為變量t的冪級(jí)數(shù)環(huán).假設(shè)T[[t]]是一組形式級(jí)數(shù),其系數(shù)是向量空間T的元素.

        定義5設(shè)T為保積Hom-李超三系,則T的單參數(shù)形式形變?yōu)橐唤M冪級(jí)數(shù)

        χt:T[[t]]×T[[t]]×T[[t]]→T[[t]]

        φ(z))=φχt(x,y,z),

        (11)

        其中,每一個(gè)χi為k-三線性映射χi:T×T×T→T和χ0(y1,y2,y3)=[y1,y2,y3],滿足下列條件:

        |χt(y1,y2,y3)|=|y1|+|y2|+|y3|;

        (12)

        χt(y1,y2,y3)=

        -(-1)|y1||y2|χt(y1,y2,y3);

        (13)

        -(-1)|y1||y3|χt(y1,y2,y3)+

        (-1)|y2||y1|χt(y2,y3,y1)+

        (-1)|y3||y2|χt(y3,y1,y2)=0;

        (14)

        χt(φ(y1),φ(y2),χt(y3,y4,y5))=

        (-1)|y3|(|y1|+|y2|)χt(φ(y3),

        χt(y1,y2,y4),φ(y5))+

        χt(χt(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        χt(φ(y3),φ(y4),χt(y1,y2,y5)).

        (15)

        注記1等式(11)~(15)等價(jià)于

        χt(φ(x),φ(y),φ(z))=φχt(x,y,z);

        (16)

        |χi(y1,y2,y3)|=|y1|+|y2|+|y3|;

        (17)

        χi(y2,y1,y3)=-(-1)|y1||y2|χi(y1,y2,y3);

        (18)

        (-1)|y1||y3|χi(y1,y2,y3)+

        (-1)|y2||y1|χi(y2,y3,y1)+

        (-1)|y3||y2|χi(y3,y1,y2)=0;

        (19)

        χi(α(y3),χj(y1,y2,y4),φ(y5))+

        χi(χj(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        χi(φ(y3),φ(y4),χj(y1,y2,y5)).

        (20)

        χiχj(y1,y2,y3,y4,y5)+

        χi(χj(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        χi(φ(y3),φ(y4),χj(y1,y2,y5)).

        當(dāng)n=1,等式(20)等價(jià)于χ0χ1+χ1χ0=0. 當(dāng)n≥2,等式(20)等價(jià)于-(χ0χn+χnχ0)=χ1χn-1+χ1χn-2+…+χn-1χ1.

        由χ0(y1,y2,y3)=[y1,y2,y3],有

        χ0χ1(y1,y2,y3,y4,y5)=

        -D(φ(y1),φ(y2),χ(y3,y4,y5))-

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y5|)+|y4||y5|·

        D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|+|y3|)(|y4|+|y5|)·

        θ(φ(y4),φ(y5))χ(y1,y2,y3)+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))=

        -[φ(y1),φ(y2),χ1(y3,y4,y5)]+

        (-1)|y3|(|y1|+|y2|)·

        [φ(y3),χ1(y1,y2,y4),φ(y5)]+

        [χ1(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5)]+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        [φ(y3),φ(y4),χ1(y1,y2,y5)]=

        -D(φ(y1),φ(y2),φ(y3,y4,y5))-

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y5|)+|y4||y5|·

        D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|+|y3|)(|y4|+|y5|)·

        θ(φ(y4),φ(y5))χ(y1,y2,y3)+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5)),

        類似的,有

        χ1χ0(y1,y2,y3,y4,y5)=

        -χ1(φ(y1),φ(y2),χ0(y3,y4,y5))-

        (-1)|y3|(|y1|+|y2|)·

        χ1(φ(y3),χ(y1,y2,y4),φ(y5))+

        χ1(χ0(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        χ1(y3,y4,χ0(y1,y2,y5))=

        -χ1(φ(y1),φ(y2),[y3,y4,y5])+

        (-1)|y3|(|y1|+|y2|)·

        χ1(φ(y3),χ0(y1,y2,y4),φ(y5))+

        χ1([y1,y2,y3],φ(y4),φ(y5))+

        (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

        χ1(φ(y3),φ(y4),y1,y2,y5),

        于是

        (χ0χ1+χ1χ0)(y1,y2,y3,y4,y5)=

        Φ3χ1(y1,y2,y3,y4,y5).

        因此,由χ0χ1+χ1χ0=0,可得Φ3χ1=0. 也可得

        -Φ3χn=χ1χn-1+χ2χn-2+…+χn-1χ1,

        稱χ1為χt的無窮小形變.

        定義6設(shè)T為保積Hom-李超三系.如果存在k[[t]]-模形式同構(gòu)

        其中Ψt°φ=φ°Ψt:T→T為k-線性映射使得

        ?y1,y2,y3∈T.

        特別的,如果χ1=χ2=…=0,則稱χ1=χ0為零形變. 如果χt~χ0,則稱χt為微小形變. 如果每一個(gè)單參數(shù)形式形變?chǔ)謙均為微小的,則稱T為Hom-分析剛性的.

        其中,y1,y2,y3∈T. 比較上述等式兩邊t1的系數(shù),有

        χ1(y1,y2,y3)+Ψ1([y1,y2,y3])=

        [y1,Ψ(y2),y3]+[y1,y2,Ψ(y3)],

        進(jìn)一步,

        [Ψ1(y1),y2,y3]+[y1,Ψ1(y2),y3]+

        [y1,y2,Ψ1(y3)]-Ψ1([y1,y2,y3])=

        (-1)|y1|(|y2|+|y3|)θ(y2,y3)Ψ1(y1)-

        Ψ1([y1,y2,y3])+D(y1,y2)Ψ1(y3)-

        (-1)|y2||y3|θ(y1,y3)Ψ1(y2)=

        Φ1Ψ1(y1,y2,y3).

        Φ3χn=χ1φn-1+χ2χn-2+…+χn-1χ1=0.

        令Ψt=idT-ηntn,則

        χ0(y1,y2,y3)-{χ0(ηn(y1),y2,y3)+

        χ0(y1,ηn(y2),y3)+χ0(y1,y2,ηn(y3))}tn+

        {χ0(ηn(y1),ηn(y2),y3)+

        χ0(y1,ηn(y2),ηn(y3))+

        χ0(y1,ηn(y2),ηn(y3))}t2n+

        χ0(ηn(y1),ηn(y2),ηn(y3))t3n+

        χ0(y1,y2,ηn(y3))}ti+n+

        χi(y1,ηn(y2),ηn(y3))+

        χi(y1,ηn(y2),ηn(y3))}ti+2n-

        于是,

        χ′1(y1,y2,y3)=…=χ′n-1(y1,y2,y3)=0,

        χn(y1,y2,y3)-[ηn(y1),y2,y3]-

        [y1,ηn(y2),y3]-[y1,y2,ηn(y3)]=

        χn(y1,y2,y3)-

        (-1)|y1|(|y2|+|y3|)θ(y2,y3)ηn(y1)+

        (-1)|y2||y3|θ(y1,y3)ηn(y2)-

        D(y1,y2)ηn(y3),

        因此,推出

        χn(y1,y2,y3)-Φ1ηn(y1,y2,y3)=0.

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