馬驍

摘要：均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)一直是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個難點(diǎn)和重點(diǎn)，為了幫助學(xué)生掌握最大似然估計(jì)方法的內(nèi)容，本文歸納整理并給出了四類常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)量的求解過程，有助于增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用最大似然估計(jì)方法的能力

關(guān)鍵詞：均勻分布;最大似然估計(jì);點(diǎn)估計(jì)

最大似然估計(jì)方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)點(diǎn)估計(jì)中的一類重要方法，其參數(shù)估計(jì)值的選取以似然函數(shù)取得最大值為標(biāo)準(zhǔn)，相較于炬估計(jì)的方法，最大似然估計(jì)因?yàn)閷傮w的信息要求較高，故得到的結(jié)果可靠性更高^[1]。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中參數(shù)的最大似然估計(jì)方法一直是參數(shù)估計(jì)教學(xué)中的一個難點(diǎn)和重點(diǎn)^[2-3]，其困難之處主要是似然函數(shù)最大值點(diǎn)的求取，而在這部分內(nèi)容中，均勻分布參數(shù)似然函數(shù)最大值點(diǎn)的計(jì)算和常規(guī)的求極值的方法有所不同^[4]，有一定的教學(xué)難度，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來看對似然函數(shù)一取對數(shù)，二求導(dǎo)數(shù)的求極值方法普遍掌握較好，但均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)對上述方法并不適用，需要借助順序統(tǒng)計(jì)量得到參數(shù)估計(jì)量的表達(dá)式，故本文歸納整理常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)量的計(jì)算結(jié)果，并用統(tǒng)一的方法給出求解過程，有一定的教學(xué)指導(dǎo)意義。

一、第一類常見均勻分布參數(shù)最大似然

假設(shè)，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。

解析：因?yàn)?，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是關(guān)于的減函數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x₂，…x_n和參數(shù)滿足：≥max（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計(jì)量

二、第二類常見均勻分布參數(shù)最大似然估計(jì)

假設(shè)，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。

解析：因?yàn)?，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是關(guān)于的減函數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數(shù)滿足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），-≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計(jì)量

三、第三類常見均勻分布參數(shù)最大似然估計(jì)

假設(shè)，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)，b的最大似然估計(jì)量和。

解析：因?yàn)椋蔢的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是關(guān)于的減函數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數(shù)，b滿足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），b≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計(jì)量，

第四類常見均勻分布參數(shù)最大似然估計(jì)

假設(shè)，x₁，x_2，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量

解析：因?yàn)?，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是不含參數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數(shù)滿足：

+1/2≥max（x₁，x₂，…x_n），-1/2≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計(jì)量

結(jié)語

為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)均勻分布參數(shù)估計(jì)的難度，本文歸納整理常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)量的計(jì)算結(jié)果，并用統(tǒng)一的方法給出求解過程，在作者的教學(xué)實(shí)踐中顯示這種模式較容易為學(xué)生掌握和理解，幫助學(xué)生掌握了極大似然估計(jì)的內(nèi)容

參考文獻(xiàn)

[1]李裕奇.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4版[M].北京.國防工業(yè)出版社，2014.

[2]李明泉.對最大似然估計(jì)法教學(xué)的探討[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2010（07）：117-119.

[3]王星.最大似然估計(jì)法淺談[J].試題與研究：教學(xué)論壇，2019（6）：119-120.

[4]劉銳.一類均勻分布參數(shù)極大似然估計(jì)及優(yōu)良性的討論[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，29（4）：95-96.