王德軍

(南京師范大學第二附屬中學，211900)

教學設計的精準定位是衡量一節(jié)課優(yōu)劣的重要指標.圍繞教材,基于學情,瞄準核心素養(yǎng)展開設計,有助于實現教學目標,打造高效課堂,提升學生數學學習的能力．本文結合“正切函數的圖象與性質”一節(jié)課的兩種教學設計及實施過程談談一些想法.

一、教學實錄一

1.引入

師:前面我們學習了正、余弦函數的圖象與性質,今天我們進一步學習正切函數的圖象與性質．結合已學知識,對于正切函數我們知道了什么?

師:還有其他我們已知的嗎?

生:周期和奇偶性.

師:如何得到上述結論?

生:由誘導公式 tan(-x)=-tanx及tan(π+x)=tanx.

2.探究

問題1如何作正切函數的圖象?(學生思考并相互討論,給定足夠時間)

生:用“五點法”作圖來完成.

師:五點作圖是在完全作出完整圖象的情況下總結出來的近似畫法,面對一個新函數,顯然“五點法”是不適合的.

生:利用描點.

師:我們可以將作圖的作法總結如下,一般作圖可分為代數描點和幾何描點,前者粗略,后者作圖較為準確.

追問1:確定了作法,請類比正弦函數圖象作法,將分幾步完成.

生:第一步:先作一個周期內圖象;第二步:再將一個周期內圖象向左向右平移拓展到整個定義域中.

追問2:先作哪個區(qū)間內的圖象?

生:[0,π].

師:還有其他方案嗎?

追問3:哪種方案最佳?

3.結論

通過幾何畫板作出正切函數圖象,請同學們結合正切函數圖象探討未知的性質.

師:有無不同意見?(思考片刻,沒有任何反應,老師引導,學生觀察在定義域中被挖去的點與圖象之間存在什么關系?)

師:好的,通過圖象我們將正切函數的基本性質已經歸納出來了.

問題2函數y=tanx在定義域上是單調函數嗎?

生:當x1=0,x2=π時,由于x1

4.應用

(由學生講思考過程,老師板書)

設計意圖引導學生利用化歸思想將有關正切函數的復雜形式通過整體法轉化為正切函數,利用其性質解決問題.

例2比較大小

(1)tan 167°,tan 173° ；

設計意圖正切值的大小比較．我們一般首選函數的單調性來完成,遇見復雜的角,我們通常利用正切函數的周期來化簡，并將其統一到一個單調區(qū)間,完成大小比較.

5.小結

本節(jié)課你有何收獲?

知識層面：(1)正切函數圖象的畫法;(2)正切函數的性質;(3)正切函數性質的簡單應用.

基本活動經驗：類比、數形結合思想的滲透.

二、教學實錄二

1.回顧復習,引入新課

所有同學一起口答填表,復習正、余弦函數的性質:圖象、定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期及對稱性.

生:由圖象歸納而來.

討論1：研究正、余弦函數圖象的方法是什么?

學生討論后得出方法有畫單位圓，五點作圖法，平移正弦線等.

師:結合大家的想法,我們一起回顧正弦函數的圖象的作法.

(1) 確定一個周期,分成若干等分；

(2) 利用單位圓,平移正弦線；

(3) 用光滑的曲線將正弦線的端點順次連接.

討論2:我們今天研究正切函數的圖象與性質,如何來作正切函數圖象?

通過研討,很快有部分學生給出答案:類比正、余弦函數的圖象作法.

2.學生探究,解決問題

問題1y=tanx的最小正周期是不是2π?

生:周期是π,因為tan(π+x)=tanx.

師:你會論證嗎?(思考片刻無人作出反應,由老師引導給出證明)

=tanx，

∴正切函數y=tanx的最小正周期是π.

問題2研究哪個周期上的圖象比較好呢?

同學們拿出紙,先獨立畫函數圖象．稍等片刻,老師找出幾份代表性的作業(yè)進行投影,暴露一些典型的錯誤(有的沒有畫出漸近線；有的圖象在一個周期內出現兩個端點……).教師利用多媒體,展示標準的作圖過程.

追問1:由正切函數的圖象,我們可以得到哪些性質?

眾生:(1)定義域；(2)值域；(3)奇偶性；(4)周期性；(5)單調性；(6)對稱性.

生:不可以,因為圖象不連續(xù).

師:對！我們應強調每一個區(qū)間上函數保持單調遞增.

追問3:對稱中心為(kπ,0)(k∈Z)，對嗎?

3.學以致用,主動出擊

師:根據性質,你可以提出哪些問題?(由學生討論共同得到如下問題)

(2)函數y=tan 2x的周期；

4.總結思考,提高能力

(1)正切函數的圖象作法;

(2)正切函數的性質；

(3)正切函數的應用；

(4)感受數形結合思想和整體法的應用.

三、兩種教學設計的比較和思考

1.兩種設計的異同點

這兩種設計的共同點都是基于學生現有的知識儲備,在學生最近發(fā)展區(qū)來設計問題；問題的設計突出了教學重點,能充分挖掘學生潛能,調動學生主動探究的積極性,生生互動,師生互動較好；學生圍繞問題展開思考、討論,教師針對教學難點設計了一系列追問,并在學生反饋的基礎之上加以引導和點評,使得本節(jié)課的教學難點在無形之中得以化解．總體上,這兩種設計都是有效的．比較來看,也有各自獨特的地方．第一種設計思路是先由前面的知識推導出正切函數的部分性質,以已掌握的部分性質為基礎去研究正切函數的圖象,接著再解決未知的性質,體現了由性質——圖象——性質的流程,整個設計貫穿了一條由數——形——數的思維過程．第二種設計思路是由函數的圖象到性質,整節(jié)課圍繞如何作圖,在反饋、示范以及規(guī)范作圖方面處理細致入微,使得課堂重心前移,后面正切函數的應用沒有得到充分展開.

2..根據教材的編寫意圖來審視本節(jié)課的教學設計

通過研究教材我們發(fā)現,正切函數的學習是放在正、余弦函數之后,前面的知識和研究方法為本節(jié)課的學習提供了經驗．利用三角函數線作正切函數圖象是本節(jié)課的重點也是難點,大多數學生已經了解該方法,本節(jié)課不必大動干戈.幾何作圖的方法和流程設計上可以淡化,不應成為本節(jié)課的重心,第二種設計顯然已經偏離了教材的意圖．第一種設計沒有必要就描點作圖設計過細,總結過多,糾纏不清,影響了后面時間分配,導致整節(jié)課前松后緊.

3.基于學情來考量兩節(jié)課的教學設計

如果將教學的設計思路發(fā)散一下,我們大體上可用三類方式展開．一類是研究函數的一般思路,由圖象到性質，再到應用；第二類是由性質到圖象，再到性質；第三類是由性質到圖象．比較而言,第一種方式雖然是教材的一廂情愿,但畢竟正切函數的圖象不同于正、余弦函數,對學生來說,正切函數圖象的作法是有難度的,一開始就作圖,顯得生硬,摸不著頭腦．第三類設計方式,老師需要先引導學生利用已學知識推導出性質,尤其正切函數的單調性值域需要用到正切函數線來探求,對學生的能力要求較高,一般要慎用此種設計．第二類設計先推導出部分簡單性質,這樣為作圖提供知識基礎,化解了作圖的難度,作好圖象后再利用圖象討論性質,使得對性質的理解升華．這種設計既貼近學生的最近發(fā)展區(qū),又自然,學生的參與度高,體驗深,效果好.