解才先

(江蘇省高郵中學(xué)，225600)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)無形,少直觀;形無數(shù),難入微”.而向量具有代數(shù)與幾何的雙重身份,是數(shù)學(xué)知識的交匯點,為江蘇高考八個C級考點之一,是每年高考必考內(nèi)容.本文以蘇教版《數(shù)學(xué)》必修4第二章第四節(jié)“向量的數(shù)量積”第一課時為課題,設(shè)計并實施了一節(jié)追本溯源、循序漸進(jìn)的數(shù)學(xué)課.教學(xué)過程實錄如下.

一、溫故知新

師:前面我們學(xué)習(xí)了向量的概念及表示,向量的線性運算及向量的坐標(biāo)表示,在向量的線性運算中,學(xué)習(xí)了向量的加法,向量的減法與向量的數(shù)乘.

問題1向量除了與實數(shù)相乘(向量的數(shù)乘)之外,還有沒有別的“乘法”呢?

設(shè)計意圖孔子曰:“溫故而知新,可以為師矣”.通過對已有知識的復(fù)習(xí),既能溫習(xí)舊知識,又能感受到新知識是在什么基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.感受數(shù)學(xué)文化循序漸進(jìn)、不斷發(fā)展的過程,有助于加深學(xué)生對舊知識的再理解,意識到新知識是在舊知識框架基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.

二、新知探索

已知一個物體在力F作用下產(chǎn)生的位移量為S,該力所做的功如何計算?

(1)若力F的方向與物體的運動方向相同，則W=|F||S|.

(2)若力F的方向與物體的運動方向垂直，則W=0.

(3)若力F的方向與物體的運動方向相反，則W=-|F||S|.

師:這里力F與位移S均為矢量即向量,功可以看成是由兩個向量進(jìn)行某種運算之后的結(jié)果,(1)中方向相同,即力與位移的夾角為0°;(2)中方向垂直,即力與位移的夾角為90°;(3)中方向相反,即力與位移的夾角為180°.三個等式又可以寫成W=|F||S|cos 0°,W=|F||S|cos 90°,W=|F||S|cos 180°,這是三種角度比較特殊的情形.一般地:

(4)若力F的方向與物體的位移S的夾角為θ呢?

問題2“做功運算”能一般化成什么樣的數(shù)學(xué)運算?

W=|F||S|cosθ,這里力F與位移S均為矢量，即向量.F一般化記為a,S一般化記為b,則有W=|a||b|cosθ,等式右邊是三個數(shù)乘積形式,結(jié)果為數(shù)量,即左邊是標(biāo)量(數(shù)量),我們稱之為向量的數(shù)量積.

向量的數(shù)量積可用文字表述為:已知向量a,b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ稱為向量的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,則根據(jù)向量的數(shù)量積的文字表述,功的運算可以記為

W=|F||S|cosθ=F·S.

設(shè)計意圖以學(xué)生已有知識為背景進(jìn)行導(dǎo)入,符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.德國教育家第斯多惠說過:“教學(xué)必須符合人的天性及其發(fā)展的規(guī)律,這是任何教學(xué)的首要的、最高的規(guī)律”.通過對已有物理知識的再學(xué)習(xí),探索背后隱藏的數(shù)學(xué)知識,讓學(xué)生感受物理數(shù)學(xué)“一家親”,通過知識發(fā)生與發(fā)展過程的教學(xué),使學(xué)生感受和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)化過程及其思想.數(shù)學(xué)教學(xué)不是單一的教授知識,還必須關(guān)注思想、方法的滲透與能力的培養(yǎng).

三、新知形成

向量數(shù)量積定義中有一句話:夾角為θ.在功的學(xué)習(xí)中我們也提到了力與位移的夾角,力與位移均為矢量即向量,下面來學(xué)習(xí)兩向量的夾角.

問題3討論探究圖2中正六邊形各向量的夾角:(1)a與b的夾角大小為120°.(2)a與c的夾角大小為60°.

師:對于(2)，有的同學(xué)說是60°,有的同學(xué)說是120°,到底是多少呢?

注意(1)在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是“共起點”的;

(2)向量的夾角的范圍為0°≤θ≤180°.

問題4上述“向量的數(shù)量積”文字表述是否精確嚴(yán)謹(jǐn)?

生:不夠嚴(yán)謹(jǐn),向量的夾角定義中指的是兩個非零向量,那么這里也應(yīng)該指明是非零向量,也要注明向量夾角的范圍.

向量的數(shù)量積可進(jìn)一步表述為:已知兩個非零向量a,b的夾角為θ(0°≤θ≤180°),則稱數(shù)量|a||b|cosθ為向量a和b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

師:這就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的向量數(shù)量積的定義.定義中要求是非零向量,但是學(xué)習(xí)向量的概念及其表示時,我們知道向量也包括零向量,是不是這個定義不夠完美呢!為彌補這一“遺憾”,我們規(guī)定:

(1)零向量與任何向量的數(shù)量積是0,即0·a=0(等式右邊的0指的是實數(shù)0)；

(2) 符號“·”在向量運算中既不能省略,也不能用“×”代替.

特別地,當(dāng)a與b同向時,a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a||b|.

問題5向量的數(shù)量積運算的結(jié)果與向量的加、減、數(shù)乘運算有什么不同?

設(shè)計意圖葉圣陶先生說過:“教師之謂教,不在全盤授予,而在相機誘導(dǎo).”以學(xué)生為中心,以問題串為驅(qū)動,采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法,讓學(xué)生親身感受數(shù)學(xué)知識逐步形成與完善發(fā)展的過程.課堂上教師不能是一味地“填鴨式”灌輸,然后讓學(xué)生死記硬背,而應(yīng)該是讓學(xué)生親身去感悟數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).

四、 新知應(yīng)用

例1已知向量a與向量b的夾角為θ,|a|=2,|b|=3,分別在下列條件下求a·b.

(1)θ=135°; (2)a∥b; (3)a⊥b.

例2已知?ABC三邊長滿足AB=3,BC=4,CA=5,求

練習(xí)判斷下面說法是否正確:

(1)若a≠0,則對任意非零向量b,有a·b≠0.

(2)若a·b=0,則a與b至少有一個是0.

(3)若a與b的夾角為銳角,那么a·b>0.

(注：(3)亦可變?yōu)椋喝鬭·b>0,那么a與b的夾角為銳角.)

(4)對任意的a有a2=|a|2成立.

(5)任意a與b滿足a·b=b·a成立.

(6)任意a,b和c滿足(a·b)c=a(b·c).

我們知道，對于任意實數(shù)a,b,c,有如下運算律:

(1)a·b=b·a;

(2)(a·b)·c=a·(b·c).

請大家課后思考:向量的數(shù)量積滿足哪些運算律呢?

設(shè)計意圖美國著名學(xué)者布魯納認(rèn)為:“不論我們選教什么知識,務(wù)必使學(xué)生理解知識的基本結(jié)構(gòu),這是在運用知識方面的最低要求.”通過對向量數(shù)量積定義的應(yīng)用,讓學(xué)生真正理解定義結(jié)構(gòu)的精髓,學(xué)以致用,使其對知識的理解得到升華.一般學(xué)習(xí)完新定義之后,我們會研究它的運算律等,通過題目引出基本結(jié)構(gòu),也為下節(jié)課的學(xué)習(xí)埋下伏筆.讓學(xué)生在意猶未盡中結(jié)束課堂,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)濃厚的思考熱情與學(xué)習(xí)興趣.