羅毅 陳方玉

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的靈魂，概念課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一類重要課型. 概念課的教學(xué)不能簡單地采用“讀概念，舉例子”的方式進(jìn)行，而是需要教師充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的重要性，激發(fā)學(xué)生的研究欲望，引導(dǎo)學(xué)生思考，體現(xiàn)概念的形成過程，鼓勵(lì)類比學(xué)習(xí)，以舊促新，使學(xué)生既學(xué)到知識(shí)，又學(xué)到研究方法.

[關(guān)鍵詞] 概念課;教學(xué);向量

問題提出

數(shù)學(xué)概念常常因?yàn)槠淅碚摫尘吧羁蹋哂懈叨瘸橄笮?，?dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不濃厚. 通常涉及數(shù)學(xué)概念的課堂都略顯枯燥，因此，概念課教學(xué)在數(shù)學(xué)類型課教學(xué)中是比較難以把握的. 在常規(guī)課堂中，很多教師采用“讀概念，舉例子”的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)概念如何應(yīng)用于解題，“以解題教學(xué)代替概念教學(xué)”[1]. 教師對概念的解讀常常采用“‘一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意的方式”[1]，不注意引導(dǎo)學(xué)生理解概念，導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，無法從根本上理解和掌握由此展開的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，更無法養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng). 結(jié)果是培養(yǎng)了很多“解題高手”，而能夠把握本質(zhì)，會(huì)思考的學(xué)生卻寥寥無幾. 那么，教師應(yīng)當(dāng)怎樣認(rèn)知概念課，怎樣實(shí)施概念課教學(xué)呢？

不久前，筆者在參加我校組織的名師精品課活動(dòng)中，講授了一節(jié)課，課題為“平面向量”的第一節(jié)“向量”，授課對象為高一年級某班全體學(xué)生. 這是一堂典型的概念課，在對課題進(jìn)行“準(zhǔn)備——講授——反思”的過程中，筆者對概念課教學(xué)形成了一些體會(huì)，現(xiàn)將教學(xué)實(shí)錄及筆者關(guān)于本課的體會(huì)與廣大同行共享.

課堂實(shí)錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

老師：請看一段文言文：“古者，秀才赴試入京，向路人問：何以京師. 路人曰：京師去此三百里. ”你覺得秀才聽完之后知道怎么去京城嗎？

學(xué)生1：不一定知道.

老師：說說你的理由.

學(xué)生1：路人只給出京城離此地的距離，但沒有告知京城所在的方向，所以秀才不一定能找到去京城的路.

老師：所以要想確定京城的位置，還需要告知方向，借用物理學(xué)中的概念，即此地到京城的——

學(xué)生1：位移.

2. 數(shù)學(xué)抽象，形成概念

老師：在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小，又有方向的量抽象出來，稱之為向量. 而把那些只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量.

（板書：（1）概念：大小、方向）

老師：大家還能找出具有這樣特征的量嗎？

學(xué)生：力、速度、加速度……

老師：看來在我們的生活情境中，存在大量的“向量”，那么我們不妨就來一起探究一下“向量”. 通常在形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念后，我們需要對它進(jìn)行表示，進(jìn)而研究它的性質(zhì)，那么你認(rèn)為可以怎么表示向量呢？

（學(xué)生討論）

學(xué)生2：可以用有向線段表示向量，用有向線段的長度表示向量的大小，用有向線段的方向表示向量的方向.

老師：非常好，這樣像用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)一樣，我們也找到了向量的幾何表示（板書：（2）表示）. 我們在有向線段的終點(diǎn)畫上箭頭表示它的方向，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，這個(gè)有向線段我們記作■，也可以用小寫字母■表示向量（板書：■或■）. 同時(shí)，我們也要注意，書上的印刷用的是黑體a，而我們在書寫時(shí)字母a上面的箭頭必不可少. 另外，我們還用符號■或■表示向量的大?。ò鍟骸龌颉觯Q之為向量的長度，或稱之為向量的模.

3. 多維探究，完善概念

老師：既然向量有大小和方向這兩個(gè)要素，那么我們研究向量自然也可以從這兩個(gè)方面著手，接下來我們不妨先研究向量的大小. 請說出圖1中各向量的模.

學(xué)生答（略）.

老師：有沒有哪些具有特殊長度的向量呢？

學(xué)生3：我認(rèn)為向量■的長度很特殊，其長度為1，而1是單位長度.

老師：很好，我們稱長度為1個(gè)單位長度的向量為單位向量. 那圖1中還有單位向量嗎？

學(xué)生3：■也是單位向量.

老師：由于我們現(xiàn)在只關(guān)心向量的長度，所以單位向量在方向上是不唯一的，在平面上每個(gè)方向都有單位向量. 除了單位向量，還有沒有一些長度特殊的向量呢？

學(xué)生4：長度為零的向量.

老師：稱長度為零的向量叫作零向量. 再從方向的關(guān)系上看，圖中這些向量中，有沒有兩個(gè)向量存在特殊位置的關(guān)系呢？

學(xué)生5：我認(rèn)為向量■，■和■是平行關(guān)系.

老師：那你覺得平行向量該如何定義？

學(xué)生5：因?yàn)橄蛄恐魂P(guān)注大小和方向，而從方向上看，它們的方向相同或者相反.

老師：非常好，我們把方向相同或者相反的非零向量稱為平行向量，并規(guī)定零向量平行于任意向量. 繼續(xù)觀察這三個(gè)平行的向量，是否存在更特殊的關(guān)系？

學(xué)生6：■和■這兩個(gè)向量不僅方向相同，而且大小也相等.

老師：那你覺得可以如何“稱呼”它們呢？

學(xué)生6：可以稱它們?yōu)橄嗟认蛄?

老師：和它們的位置有關(guān)嗎？

學(xué)生6：和位置無關(guān)，因?yàn)橄蛄恐魂P(guān)心大小和方向.

老師：可不可以用平面上兩個(gè)大小相等、方向相同的線段表示同一個(gè)向量呢？

學(xué)生6：可以.

老師：如果我們在圖形中任作一條與■所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O，則可在l上分別作出■=■，■=■，那么■和■這兩個(gè)向量還能叫作平行向量嗎？

學(xué)生7：不行，這兩個(gè)向量出現(xiàn)在了同一條直線上，叫作共線向量更合理一些.

學(xué)生8：可以，根據(jù)我們對平行向量的定義，方向相同或相反的向量都可以叫做平行向量，我們不需要關(guān)心它們的具體位置，所以它們是平行向量.

老師：任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫共線向量. 那這時(shí)我們也不難發(fā)現(xiàn)向量平行的概念和直線平行的概念是有區(qū)別的.

4.立足實(shí)例，鞏固概念

（略）

5. 小結(jié)提煉，升華概念

老師：今天我們在實(shí)際情境中，歸納、抽象出了向量的概念，探索了向量的表示方法，并從大小和方向兩個(gè)方面探究了特殊向量及向量間的特殊關(guān)系. 這樣的探究實(shí)際上就是一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的建立過程，即“歸納抽象——數(shù)形表示——認(rèn)識(shí)特殊——研究一般……”. 而當(dāng)我們形成了一個(gè)數(shù)學(xué)概念，并能夠用符號語言進(jìn)行表示之后，還應(yīng)該探究并界定什么，從而完備這個(gè)體系呢？同學(xué)們不妨課后交流.

教學(xué)思考

1. 教師只有正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的重要性，才能重視概念課教學(xué)

教師采用什么方式教授概念課，取決于他怎樣看待數(shù)學(xué)概念. 正如筆者在本文開始時(shí)提出的，如果教師認(rèn)為向量的概念教學(xué)僅僅是一句話、幾個(gè)例題，把課堂重心由概念的形成和理解轉(zhuǎn)向“用概念解題”的教學(xué)，或者對概念進(jìn)行“一個(gè)定義、三個(gè)注意”式的模式化教學(xué)，甚至出現(xiàn)把本節(jié)課內(nèi)容與“向量的加減法”合二為一，都體現(xiàn)出教師本身就不重視概念，沒有認(rèn)真思考向量概念在這個(gè)知識(shí)體系中的重要作用;更談不上揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程，使得“生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋中”[2]. 讓學(xué)生學(xué)好“向量”，從何談起？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2017年版）》）指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該“努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”[3]. 我們知道，數(shù)學(xué)概念不僅僅是一個(gè)孤立的定義，還涉及與之相關(guān)的后續(xù)知識(shí)的產(chǎn)生依據(jù)和解決方法. “數(shù)學(xué)概念是組成數(shù)學(xué)命題的基本單元，是揭示數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵或外延的邏輯方法”[4]. 本課中，向量的概念指出了向量的兩個(gè)核心特征——大小、方向，從全章的知識(shí)框架來看，這兩個(gè)特征不僅是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，是判斷向量關(guān)系的依據(jù)，也是所有后續(xù)相關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用（如正弦定理、余弦定理的向量法推導(dǎo)，解析幾何中的向量工具，等等）的起點(diǎn).

李邦河院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也”[5]. 也就是說，只有當(dāng)學(xué)生對基本概念具有了清晰的認(rèn)識(shí)，才能真正把握住知識(shí)的內(nèi)核，一些技巧也就自然形成了. 教師應(yīng)該正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的重要性，重視概念課的教學(xué)方式. 上好一堂概念課，特別是新知識(shí)內(nèi)容起始章節(jié)的概念課，不僅有利于學(xué)生清晰地理解概念本身，也有利于學(xué)生建構(gòu)整個(gè)知識(shí)體系的框架，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ). 可見，概念課教學(xué)不僅不能馬虎應(yīng)對、一筆帶過，反而應(yīng)該花大力氣，好好研究.

2. 概念課教學(xué)應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的研究欲望，引導(dǎo)學(xué)生思考，體現(xiàn)“概念的形成過程”

《課標(biāo)（2017年版）》要求教師在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，還要“使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡”[3]. 高中學(xué)生并不缺乏對實(shí)際生活中“既有大小，又有方向的量”的模糊認(rèn)知，高一物理中的“力學(xué)”已經(jīng)提出過“矢量”的概念，但矢量并不完全等同于數(shù)學(xué)意義上的向量，如何從實(shí)際情境中抽象出一個(gè)更具普遍性的數(shù)學(xué)概念，并對這個(gè)概念進(jìn)行初步的研究，是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和難點(diǎn).

一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念要在短時(shí)間被學(xué)生自覺認(rèn)知和接受非常困難. 數(shù)學(xué)概念的高度抽象特征“決定了對它的認(rèn)識(shí)過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個(gè)螺旋上升，在已有基礎(chǔ)上再概括的過程”[6]. 受此啟發(fā)，筆者從數(shù)學(xué)發(fā)展史看到，向量這一數(shù)學(xué)分支也是從應(yīng)用角度出發(fā)，由定義到性質(zhì)、運(yùn)算的. 可不可以讓學(xué)生也來走一走這個(gè)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)家是怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的？在筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)中，就借助了“位移”等物理量引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生感到“向量”不是一個(gè)嶄新的知識(shí)體系，它來源于生活實(shí)際，具有研究價(jià)值. 鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生對“向量還有什么可以研究的”產(chǎn)生了興趣，學(xué)生產(chǎn)生了這樣的感覺——數(shù)學(xué)體系的建立不困難、不高深、不神秘，它是大家都能夠想到的. 從而激發(fā)了所有學(xué)生強(qiáng)烈的研究欲望，開始圍繞“向量”大膽進(jìn)行討論，探索建立向量體系的其他必要條件，把“數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”[3]. 這正體現(xiàn)了新課程改革的基本理念之一：倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).

3.概念課教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)類比學(xué)習(xí)，以舊促新，使學(xué)生既學(xué)到知識(shí)，又學(xué)到研究方法

在以教師為中心的講授式課堂中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)常常只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，教師直接將數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)介紹給學(xué)生，省時(shí)省力，顯然不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，更無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值. 因此，關(guān)于特殊長度的向量及兩個(gè)向量平行、相等等概念的探究成為本節(jié)課另外一個(gè)難點(diǎn).

在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，在抽象出向量概念之后，無人想到接下來可以研究什么，這顯然是受到長期被動(dòng)學(xué)習(xí)“熏陶”的后果. 筆者在授課過程中，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)類比，相互交流，大膽探索，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行新知識(shí)研究學(xué)習(xí)，從而讓學(xué)生在其思維就近發(fā)展區(qū)進(jìn)行延伸，從而找到了研究的方向. 學(xué)生通過自主探究、合作交流，順利地想到零向量、單位向量等特殊向量，準(zhǔn)確對它們進(jìn)行了定義，研究平行向量、相等向量等特殊關(guān)系. 更重要的是，學(xué)生還借助這個(gè)過程，體會(huì)了一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)方法，發(fā)現(xiàn)“除了現(xiàn)實(shí)需要，數(shù)學(xué)還是一種理性文化”[7]. 數(shù)學(xué)研究不再是遙不可及的海市蜃樓，而是非常自然的思維過程，極大提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究問題的信心和能力，有助于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.

結(jié)束語

概念課教學(xué)不僅需要教師具有高超的教學(xué)技巧，“引導(dǎo)學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括過程”[1]，更需要教師具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)功底，對數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要作用有正確認(rèn)識(shí). 讓學(xué)生真正從概念課學(xué)習(xí)中掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、歸納類比等數(shù)學(xué)思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，這才是概念教學(xué)的真正目標(biāo)和本來面目.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 章建躍，陶維林. 概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程——“平面向量的概念”的教學(xué)與反思[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（01）.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S]. 北京：人民教育出版社，2003（7），第2版.

[3]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4]? 沈文選. 走進(jìn)教育數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

[5]? 李邦河. 數(shù)的概念的發(fā)展[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（08）.

[6]? 章建躍. 中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（03）.

[7]? 劉潔民. 淺析高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)文化[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)2010，49（09）.