高翠俠

（江蘇大學(xué)理學(xué)院 江蘇·鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

隨著2017 年新工科建設(shè)的提出，“工程數(shù)學(xué)”的地位進(jìn)一步加深，使得對(duì)這門(mén)課的教學(xué)要求也提高了。“工程數(shù)學(xué)”是針對(duì)工科學(xué)生開(kāi)設(shè)的運(yùn)用數(shù)學(xué)理論處理實(shí)際工程問(wèn)題的專(zhuān)門(mén)課程，此課程普遍由多門(mén)數(shù)學(xué)子課程組成，比如矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、復(fù)變函數(shù)等。數(shù)值分析（Numerical Analysis）不同于其他子課程，其應(yīng)用性更強(qiáng)，重在教授學(xué)生如何運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主性、探索性、合作性和研究性。同時(shí)，不同于本科教學(xué)，研究生的數(shù)值分析教學(xué)更注重于學(xué)生能力的培養(yǎng)。

數(shù)值分析教學(xué)的目的在于計(jì)算理論方法的掌握和解決問(wèn)題的實(shí)踐能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)計(jì)算與工程的結(jié)合、理論性與實(shí)踐性的結(jié)合，為學(xué)生各自領(lǐng)域的科研，甚至是以后的工作打下必要的基礎(chǔ)。而對(duì)于“工程數(shù)學(xué)”中數(shù)值分析的教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)少、難度大是普遍存在的問(wèn)題，[1,2]加之學(xué)生前期所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，致使教學(xué)效果欠佳。因此，應(yīng)該如何運(yùn)用有效的課時(shí)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化，使得教學(xué)效果達(dá)到最高，是每一位任課教師需要思考的問(wèn)題。

1 學(xué)情分析

江蘇大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“我?！保┑难芯可肮こ虜?shù)學(xué)”課程是依托車(chē)輛工程、動(dòng)力工程、材料工程、機(jī)械工程、光學(xué)工程、儀表儀器工程、建筑與土木工程等工科專(zhuān)業(yè)碩士研究生的學(xué)位課。學(xué)習(xí)群體涉及多個(gè)專(zhuān)業(yè)，同一專(zhuān)業(yè)也會(huì)涉及眾多的研究方向，這就對(duì)課堂上應(yīng)用案例的選擇和講授提出了一定的挑戰(zhàn)。而首要的問(wèn)題是對(duì)歷屆選課學(xué)生的專(zhuān)業(yè)背景、學(xué)術(shù)研究中所涉及數(shù)值計(jì)算方法等情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析?！肮こ虜?shù)學(xué)”在各行各業(yè)的實(shí)際應(yīng)用很多，通過(guò)對(duì)近幾年本人所授工科研究生學(xué)生的畢業(yè)論文進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，涉及2018-2019 屆300 多篇論文，聚焦得到的核心詞匯見(jiàn)表1。

表1 所研究樣本中涉及數(shù)值計(jì)算知識(shí)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分析

2 教學(xué)存在的一些問(wèn)題與改革措施

2.1 對(duì)教師工科背景知識(shí)理解的要求

對(duì)學(xué)生學(xué)情的掌握是首要問(wèn)題，而接下來(lái)的問(wèn)題就是教師如何實(shí)施自己的教學(xué)。教學(xué)的進(jìn)一步實(shí)施離不開(kāi)教師對(duì)工科背景知識(shí)的了解，即教師自身專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的提高。而工科背景缺乏是數(shù)學(xué)教師普遍存在的問(wèn)題之一。教師自身專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的提高包括：將自己的科研與工科教學(xué)相結(jié)合、更新教學(xué)素材、關(guān)注學(xué)科前沿等等。通過(guò)教學(xué)，不僅能使學(xué)生掌握基本理論，還能縮短基礎(chǔ)知識(shí)與學(xué)科前沿的距離，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

作為數(shù)學(xué)教師，不能局限于數(shù)學(xué)學(xué)科的精通，還需要對(duì)工科背景或者基礎(chǔ)理論知識(shí)有一定的掌握和思考，把各學(xué)科之間的聯(lián)系融入到你的課程中來(lái)。以如下一個(gè)具有突起的開(kāi)槽里流體流動(dòng)的伯努利方程[3]為例，

問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用迭代法求解非線性方程 的根

。首先繪制 函數(shù)圖像以確定根的大致區(qū)間，要求精度（絕對(duì)誤差） ，最大迭代次數(shù) 。此時(shí)，可以分別使用二分法、牛頓法和弦截法對(duì)方程組進(jìn)行求解并進(jìn)行對(duì)比。以上所講的都是數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題，而作為教師，還要明確關(guān)于伯努利方程的背景、方程中各參數(shù)的含義以及彼此之間的作用關(guān)系等等。了解“伯努利原理”是1726 年由丹尼爾伯努利提出的，是在流體力學(xué)的連續(xù)介質(zhì)理論方程建立之前，水力學(xué)所采用的基本原理；了解其實(shí)質(zhì)是流體的機(jī)械能守恒：動(dòng)能+重力勢(shì)能+壓力勢(shì)能=常數(shù)；了解實(shí)際應(yīng)用案例有噴霧器、汽油發(fā)動(dòng)機(jī)的化油器、兵乓球的旋轉(zhuǎn)等等。

2.2 明確實(shí)踐能力培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)

我校研究生“工程數(shù)學(xué)”課程由矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析三門(mén)子課程組成，共36 課時(shí)。數(shù)值分析占“工程數(shù)學(xué)”總課時(shí)的三分之一，共12 課時(shí)，具有典型的內(nèi)容多、課時(shí)少特征。從而對(duì)數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)模式、考核方式等都提出了挑戰(zhàn)。

（1）教學(xué)內(nèi)容選擇。內(nèi)容的選擇依賴(lài)于教學(xué)的目標(biāo)，“數(shù)值分析”作為理工科專(zhuān)門(mén)開(kāi)設(shè)的一門(mén)課程，涉及內(nèi)容廣，通常包括函數(shù)插值與數(shù)值逼近、線性與非線性方程（組）求解的數(shù)值方法、常微分方程求解等，具有理論證明或推導(dǎo)繁雜、難度大、缺乏應(yīng)用案例分析的特點(diǎn)。而“工程數(shù)學(xué)”中的數(shù)值分析不同，其致力于學(xué)生解決工程問(wèn)題能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)。因此，在教學(xué)內(nèi)容選擇時(shí)，需擺脫“重理論、輕實(shí)踐”的傳統(tǒng)教學(xué)模式，即“重原理分析、輕證明推導(dǎo)”“重案例式教學(xué)、輕課堂講授”“重交互實(shí)驗(yàn)、輕理論灌輸”。

（2）“理論講授-案例教學(xué)-小組研討”的教學(xué)模式。傳統(tǒng)的教學(xué)模式主要以理論知識(shí)講授為主，缺乏與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，缺乏因?qū)嶋H問(wèn)題解決而產(chǎn)生的生-生、師-生之間的互動(dòng)，這不利于學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，更不利于新工科人才的培養(yǎng)。既然“工程數(shù)學(xué)”課程以實(shí)踐能力培養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)，那么就在一定程度上決定了教學(xué)的方式。工程教學(xué)案例的引入，能夠讓學(xué)生更加清楚所學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法在自己的領(lǐng)域中如何用、用在何處，真正做到從實(shí)際中來(lái)再應(yīng)用到實(shí)際中去。教學(xué)實(shí)踐表明：案例教學(xué)以及小組專(zhuān)題研討，有利于提高研究生對(duì)本課程的學(xué)習(xí)興趣，有利于提高研究生的工程應(yīng)用能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力和學(xué)術(shù)研究動(dòng)力。

（3）綜合的評(píng)價(jià)與考核機(jī)制。數(shù)值分析內(nèi)容涵蓋較廣、綜合性較大，期末試卷上不能涵蓋所有知識(shí)點(diǎn)。既然教學(xué)內(nèi)容和方式在逐步地改變，那么課程的考核方式也應(yīng)隨之而變化。本課程的定位是培養(yǎng)新工科建設(shè)人才，而學(xué)生的成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的閉卷考核方式已不能完全符合新工科人才培養(yǎng)的需求。[4]在通過(guò)卷面考試評(píng)價(jià)學(xué)生基礎(chǔ)理論知識(shí)學(xué)習(xí)掌握程度的基礎(chǔ)下，還需創(chuàng)新考試方式，注重考核學(xué)生的實(shí)際編程能力和應(yīng)用能力，比如可以將參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的成績(jī)作為期末成績(jī)的參考標(biāo)準(zhǔn)之一。另一方面，充分利用課堂上所采用的教學(xué)案例，教學(xué)案例的講解一般是伴隨著程序的編寫(xiě)，此時(shí)，可以讓學(xué)生通過(guò)調(diào)節(jié)部分參數(shù)得到新的設(shè)定的結(jié)果，以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力，這也可以作為期末成績(jī)的考核標(biāo)準(zhǔn)之一。

3 打通不同課程之間的壁壘

數(shù)值分析部分的教學(xué)要注意與不同課程間的壁壘。首先，是與已有相關(guān)數(shù)學(xué)或非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的銜接。作為工科課程，需要修高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和數(shù)學(xué)軟件等課程。為了幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，需幫助學(xué)生將重要的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，厘清彼此之間的關(guān)系，形成一個(gè)整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架。例如，在線性方程組求解常用的直接法和迭代法的講解之前，先回憶以前學(xué)過(guò)的求解方程組的方法有十字相乘法、Gramer法則等，其中Gramer 法則線性代數(shù)中的一種重要的方程組求解判定法則，具有收斂、穩(wěn)定、結(jié)論可靠的有點(diǎn)，但是其缺點(diǎn)是計(jì)算量大。此外，還要注重教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生正在學(xué)習(xí)的專(zhuān)業(yè)課程的相互呼應(yīng)。

此外，要注重與理工科“數(shù)值分析”課程教學(xué)側(cè)重點(diǎn)的區(qū)別。除了“工程數(shù)學(xué)”中的數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容外，我校還開(kāi)設(shè)了專(zhuān)門(mén)的針對(duì)理工科研究生的“數(shù)值分析”課程，并且數(shù)值分析是很多高等院校理工科專(zhuān)業(yè)的必修課程。[5]理工科的“數(shù)值分析”課程涉及數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、微分方程等眾多數(shù)學(xué)學(xué)科，要求學(xué)生修過(guò)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等基本學(xué)科，即具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。對(duì)于“工程數(shù)學(xué)”中的數(shù)值分析課程而言，同樣需要學(xué)生具有以上多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)，但是不乏有學(xué)生同時(shí)選修“工程數(shù)學(xué)”和“數(shù)值分析”兩門(mén)課程，此時(shí)就要注意區(qū)分教學(xué)側(cè)重點(diǎn)。比如，理工科“數(shù)值分析”課程較多地注重定理的證明、計(jì)算公式的推導(dǎo)，容易與應(yīng)用脫節(jié)。本課程的教學(xué)則要更加注重對(duì)案例的講解、借助信息化技術(shù)提高學(xué)生的體驗(yàn)感、設(shè)計(jì)交互實(shí)驗(yàn)增加學(xué)生的實(shí)踐能力，同時(shí)，對(duì)于有些理論推導(dǎo)證明可以省略，留給學(xué)生課后去閱讀。

最后，還要明確與矩陣論和概率統(tǒng)計(jì)課程之間的地位與作用。傳統(tǒng)的“工程數(shù)學(xué)”課程體系不系統(tǒng)，多是分別對(duì)不同模塊內(nèi)容進(jìn)行講解。[2]

4“線上教學(xué)”下本課程的機(jī)遇

為了落實(shí)教育部和學(xué)校關(guān)于“停課不停教、停課不停學(xué)”的政策，高校教師紛紛將教學(xué)搬到線上進(jìn)行，數(shù)學(xué)類(lèi)課程也不例外。數(shù)值分析本身就是面向計(jì)算機(jī)、強(qiáng)調(diào)實(shí)踐性的課程。在線下教學(xué)時(shí)就采用應(yīng)用案例教學(xué)設(shè)計(jì)與信息技術(shù)相融合的教學(xué)方式，但是總未充分發(fā)揮學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)的作用，比如教室投影設(shè)備中沒(méi)有數(shù)學(xué)類(lèi)軟件等?！肮こ虜?shù)學(xué)”課程所涉及的常用數(shù)學(xué)軟件有MATLAB,Python,Lingo,Mathematica 等。教學(xué)軟件的模擬仿真、動(dòng)畫(huà)展示能夠讓學(xué)生產(chǎn)生直觀的體驗(yàn)，特別是面對(duì)復(fù)雜的定理和推導(dǎo)公式時(shí)。

圖1 不同插值方法和擬合圖形的繪制

線上教學(xué)無(wú)疑給案例教學(xué)、交互實(shí)驗(yàn)等課堂活動(dòng)帶來(lái)機(jī)遇。在疫情下，應(yīng)積極構(gòu)建信息化的、立體化的教學(xué)手段和教學(xué)資源，增加學(xué)生在課堂中對(duì)工程案例實(shí)現(xiàn)過(guò)程的體驗(yàn)，打破時(shí)間和空間限制。

實(shí)驗(yàn)1 不同插值曲線的繪制以及與曲線擬合的比較。

在講授插值法和曲線擬合內(nèi)容時(shí)，可以借助MATLAB 軟件，讓學(xué)生參與運(yùn)行和修改程序，體驗(yàn)不同插值方法結(jié)果的差異性。程序1 實(shí)現(xiàn)了不同插值方法下插值曲線的繪制，以及同一實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)下擬合曲線的繪制。圖1 給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生不僅可以清楚地了解插值與擬合的區(qū)別，還能對(duì)分段線性插值、三次樣條插值等不同差值方法、外插風(fēng)險(xiǎn)、誤差等概念有直觀和深入的理解。當(dāng)然，這就要求學(xué)生在掌握算法的同時(shí)，還要熟練掌握和運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言。此外，基于這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，可以隨堂給學(xué)生布置小組任務(wù)，每一個(gè)小組要求提供出一組研究領(lǐng)域相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合出一條曲線，使得這個(gè)曲線與原始數(shù)據(jù)間的誤差最小。

程序1 不同插值及擬合曲線的多子圖繪制

clc;clear all;

x=1:1:10;y=[15 12 17.5 17 22 16 15.5 14 12 13];

subplot(1,2,1)

xx=1:.25:10;yy=interp1(x,y,xx);plot(x,y,'kd',xx,yy)

hold on;yy=interp1(x,y,xx,'nearest');plot(xx,yy)

hold on;yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(xx,yy)

subplot(1,2,2)

plot(x,y,'kd')

hold on;polyfit(x,y,4)

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)研究生“工程數(shù)學(xué)”中“數(shù)值分析”教學(xué)模式中存在的課時(shí)少、內(nèi)容量大、缺少交互實(shí)驗(yàn)等弊端，本文從學(xué)生層面、教師層面進(jìn)行分析，并從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、評(píng)價(jià)機(jī)制三個(gè)方面做出改革建議，打破傳統(tǒng)的以基本理論為主而忽略學(xué)生實(shí)踐能力、分析和解決實(shí)際問(wèn)題能力培養(yǎng)的教學(xué)模式，更好地發(fā)揮出“工程數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的重要作用。此外，在新冠疫情下，線上教學(xué)給學(xué)生帶來(lái)了全新的體驗(yàn)。本課程應(yīng)充分發(fā)揮其面向計(jì)算機(jī)這一特點(diǎn)，積極提升信息化、多元化、立體化的教學(xué)模式與資料，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和樂(lè)趣，有助于應(yīng)用型人才、復(fù)合型人才的培養(yǎng)。