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        例談橢圓離心率問題的求解

        2020-09-10 01:25:42王小檐肖振華
        高考·上 2020年1期
        關(guān)鍵詞:離心率解題策略

        王小檐 肖振華

        摘 要:圓錐曲線在平面解析幾何中處于核心地位,也是高考重點(diǎn)考查對象之一,文章主要以一道典型求橢圓離心率的問題展開多方位思考,探究數(shù)種不同的求解方法,總結(jié)了基本解題技巧以及常用的解題方法,豐富了橢圓離心率問題的探究,也加強(qiáng)了學(xué)生思維的訓(xùn)練,提高了學(xué)生的解題能力。

        關(guān)鍵詞:橢圓;離心率;解題策略

        1.橢圓離心率的定義

        橢圓離心率(偏心率)是指動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之比。用數(shù)學(xué)符號來表示:(c是半焦距,a是半長軸),橢圓離心率的范圍為(0,1)。

        2.典題呈現(xiàn)

        題目:已知雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓C的左、右焦點(diǎn),若,則橢圓C的離心率是多少?

        分析:這種題型是圓錐曲線中的一道典型求橢圓離心率的問題,一般解決方法都會(huì)涉及解析幾何、平面幾何、代數(shù)運(yùn)算等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),其綜合性比較強(qiáng),方法也比較靈活,要真正掌握橢圓離心率的求解,首先定義是基礎(chǔ),運(yùn)算是關(guān)鍵,再建立起關(guān)于a,b,c間的關(guān)系是解題的突破口。

        解法1:(尋找P點(diǎn)軌跡為橋梁)

        如圖2.1所示:雙曲性的漸近線方程為,設(shè),,定邊對定角,所以點(diǎn)P軌跡為圓弧,方程為與直線方程聯(lián)立可得:,解得

        點(diǎn)評:此種方法來求解要求掌握“定邊對定角模型”探尋P軌跡是一個(gè)圓弧,然后列出軌跡方程,并與直線方程聯(lián)立,求出P點(diǎn)坐標(biāo),再算離心率就很容易得出結(jié)果。

        解法2:(利用余弦定理來解三角形)

        如圖2.1所示:雙曲性的漸近線方程為則,設(shè),.

        在和中有余弦定理可得:

        將(2)+(3)式可得:

        將(2)-(3)式可得:

        所以,解得,

        點(diǎn)評:這種方法求解的思路不易把握,圓錐曲線問題也同樣可以利用平面幾何的知識(shí)求解,打破常規(guī)解法,這種想法可以作為圓錐曲線的一個(gè)重要解題思路,幫助學(xué)生面對求離心率問題有更多的選擇機(jī)會(huì),要熟練余弦定理的應(yīng)用,這樣使問題又更簡單明了。

        解法3:(巧用距離公式建立等量關(guān)系)

        如圖2.1所示:雙曲線的漸近線為聯(lián)立橢圓方程:

        解得又因?yàn)椋?/p>

        設(shè),所以,又因?yàn)椋?/p>

        ,所以,故,

        整理可得,所以即,

        故,所以

        點(diǎn)評:這種解法中運(yùn)用了余弦定理找出與c之間的關(guān)系,此外與a之間滿足,二者建立等量關(guān)系從而能夠求出橢圓離心率。

        解法4:(引入?yún)?shù)利用等面積法)

        如圖2.1所示:漸近線方程為,設(shè)則,所以,由可知,所以,即

        所以3e4-22e2+7=0解得(7舍去),所以

        點(diǎn)評:前面已經(jīng)給出了,再利用求出面積,根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)同樣能夠算出面積,面積相等求出參數(shù),再根據(jù)a,b,c間關(guān)系算出離心率即可。

        結(jié)論:探求橢圓離心率問題通常利用平面幾何關(guān)系、代數(shù)運(yùn)算等,如正、余弦定理,以及圖形的對稱性質(zhì),然后將這些關(guān)系結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)用a,b,c進(jìn)行表示,進(jìn)而得到等量關(guān)系,就可以確定離心率。本文以一道典型例題的多種方法求解為例,為橢圓離心率的問題挖掘了多條思路,供老師和學(xué)生參考,在某種程度上運(yùn)用一定的解題策略能夠激發(fā)學(xué)生的解題興趣,從而幫助學(xué)生提高解題能力。

        參考文獻(xiàn)

        [1]樊帆.一道圓錐曲線離心率范圍問題的討論[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017,51-52

        [2]劉族剛,朱新婉.圓錐曲線的離心率題型剖析[J]試題研究,2018,53-55

        作者簡介:王小檐、肖振華,江西省贛州市贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)研究生

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