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        多維視角巧切入 解三角形妙破解

        2020-09-10 11:56:45郭建能
        數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
        關(guān)鍵詞:正弦定理平面幾何解三角形

        摘 要:解三角形問(wèn)題主要借助平面幾何圖形,特別是三角形中的邊與角之間的關(guān)系,通過(guò)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,有時(shí)還綜合三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運(yùn)算,從而達(dá)到破解相關(guān)的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應(yīng)的問(wèn)題.此類問(wèn)題有助于學(xué)生知識(shí)體系的進(jìn)一步融會(huì)貫通,數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的全面提升,真正達(dá)到拓展思維,提升能力,培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

        關(guān)鍵詞:解三角形;正弦定理;余弦定理;平面幾何;變式;拓展

        中圖分類號(hào):G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A???? ?文章編號(hào):1008-0333(2020)34-0037-02

        收稿日期:2020-09-05

        作者簡(jiǎn)介:郭建能(1980.12-),女,江蘇省啟東人,本科,中學(xué)二級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        解三角形問(wèn)題是每年高考中的基本考點(diǎn)之一,有時(shí)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),有時(shí)以解答題的形式出現(xiàn),一般難度維持在中等檔次.解三角形問(wèn)題主要借助平面幾何圖形,特別是三角形中的邊與角之間的關(guān)系,通過(guò)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,有時(shí)還綜合三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運(yùn)算,從而達(dá)到破解相關(guān)的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應(yīng)的問(wèn)題.解三角形往往與三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識(shí)加以綜合,一般運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多.可以很好考查考生的運(yùn)算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想等,關(guān)鍵要善于審題,合理轉(zhuǎn)化,采用有效的策略,優(yōu)化過(guò)程,提升效益.

        一、真題在線

        高考真題 (2019·北京卷文·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.

        (1)求b,c的值;

        (2)求sin(B+C)的值.

        二、真題解析

        1.破解思維:解三角形思維

        方法1 (官方標(biāo)答——正、余弦定理法)

        (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×(-12).

        因?yàn)閎=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).

        解得c=5,所以b=c+2=7.

        (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.

        由正弦定理,得sinA=absinB=3314.

        在△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.

        點(diǎn)評(píng) 解三角形問(wèn)題,多為平面幾何圖形中邊和角的求值與轉(zhuǎn)化問(wèn)題,這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理以及三角形中的相關(guān)公式(三角形的面積公式、三角形內(nèi)角和公式等),結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其破解問(wèn)題的基本步驟是:第一步:“定條件”,即確定平面幾何圖形,特別是三角形中的已知和所求,在平面幾何圖形中標(biāo)出來(lái),然后確定轉(zhuǎn)化的方向;第二步:“定工具”,即根據(jù)條件和所求,有效、合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實(shí)施邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用;第三步:“求結(jié)果”.

        2.破解思維:平面幾何思維

        方法2 (平面幾何法1)

        圖1

        如圖1所示,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D.

        (1)設(shè)DB=m,由于cosB=-12,可得AB=c=2m,AD=3m.

        而b-c=2,則有b=c+2=2m+2,

        在Rt△ADC中,結(jié)合勾股定理有AD2+DC2=AC2,即(3m)2+(m+3)2=(2m+2)2,

        解得m=52,所以c=2m =5,b=c+2=7.

        (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.

        由正弦定理,得sinA=absinB=3314.

        在△ABC中,B+C=π-A,

        所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.

        方法3 (平面幾何法2)

        圖2如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.

        (1)由于a=3,cosB=-12,可得BD=12a=32,CD=32a=332.

        而b-c=2,則有b=c+2.

        在Rt△ACD中,結(jié)合勾股定理有CD2+DA2=CA2,

        即(332)2+(32+c)2=(c+2)2,

        解得c=5,所以b=c+2=7.

        (2)在Rt△ACD中,sinA=CDDA=3327=3314.

        在△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.

        點(diǎn)評(píng) 解三角形問(wèn)題本身就是在平面幾何中進(jìn)行的一般化探究與總結(jié),因而解三角形問(wèn)題往往也可以回歸平面幾何,借助平面幾何的相關(guān)知識(shí)加以思維與破解.利用平面幾何知識(shí)破解復(fù)雜的解三角形問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是根據(jù)條件加以合理切割、補(bǔ)形等操作,將問(wèn)題背景轉(zhuǎn)化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等,進(jìn)而結(jié)合特殊三角形中的相關(guān)定理與性質(zhì)(特別是直角三角形,比如勾股定理等)來(lái)處理,往往可以更為直觀形象、簡(jiǎn)單快捷地達(dá)到解決一些相關(guān)的解三角形問(wèn)題.

        三、變式拓展

        變式 (2019·北京卷理·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.

        (1)求b,c的值;

        (2)求sin(B-C)的值.

        解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

        得b2=32+c2-2×3×c×(-12).

        因?yàn)閎=c+2,

        所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).

        解得c=5,所以b=c+2=7.

        (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.

        由正弦定理,得sinC=cbsinB=5314.

        在△ABC中,∠B為鈍角,所以∠C為銳角.

        所以cosC=1-sin2C=1114.

        所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.

        四、解后反思

        對(duì)于解三角形中的相關(guān)綜合問(wèn)題,關(guān)鍵是有效發(fā)現(xiàn)三角形中的邊、角等要素之間的內(nèi)在聯(lián)系與變化規(guī)律,利用解三角形中的相關(guān)知識(shí)(包括正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)以及三角函數(shù)中的相關(guān)公式等加以有效轉(zhuǎn)化,從而充分融合與交匯不同的知識(shí)點(diǎn),構(gòu)建起知識(shí)點(diǎn)的有效聯(lián)系與合理轉(zhuǎn)化,真正有助于學(xué)生知識(shí)體系的進(jìn)一步融會(huì)貫通,數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的全面提升,真正達(dá)到拓展思維,提升能力,培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

        參考文獻(xiàn):

        [1]蔣凱,錢云祥.法隨心動(dòng) 心由境生——由一道數(shù)學(xué)題的解法探究產(chǎn)生的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2019(03):42-45.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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