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        不一般的相似

        2020-09-10 11:56:45陳峰
        數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
        關(guān)鍵詞:圓錐曲線雙曲線拋物線

        摘 要:本文分別探討了拋物線、橢圓、雙曲線中的位似關(guān)系,最終獲得結(jié)論:離心率相等的圓錐曲線是位似圖形.

        關(guān)鍵詞:位似;拋物線;橢圓;雙曲線;圓錐曲線

        中圖分類號:G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A????? 文章編號:1008-0333(2020)34-0007-02

        收稿日期:2020-09-05

        作者簡介:陳峰(1982.9-),男,江蘇省蘇州人,碩士,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        在蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1》課本P74-P75中提出了一個很有意思的問題:嘗試證明離心率相同的圓錐曲線“形狀都相同”.如果上述結(jié)論成立,這意味著圓錐曲線中也存在著相似關(guān)系,為了弄清這個問題,首先必須引入位似的概念.

        一、位似

        兩個多邊形不僅相似,而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點,并且對應(yīng)邊互相平行或位于同一直線上,像這樣的兩個圖形叫做位似圖形(homothetic figures),這個交點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比.

        兩個圖形位似,它們的相對位置關(guān)系有三種:位似中心在圖形的一側(cè)(如圖1)、兩個圖形分居位似中心的兩側(cè)(如圖2)、位似中心在兩個圖形的內(nèi)部(如圖3).

        根據(jù)位似的定義不難得出:兩個圖形位似則它們一定相似,而兩個圖形相似則它們不一定位似.同時,當(dāng)兩個圖形位似時,除了滿足相似的一切性質(zhì)外,還滿足一些特有性質(zhì),如“對應(yīng)頂點的連線相交于一點”、“對應(yīng)邊互相平行或在同一直線上”等.

        二、圓錐曲線的位似關(guān)系

        1.拋物線

        結(jié)論1 拋物線y=ax2(a>0)與y=Ax2(A>0,A≠a)是位似圖形,原點是位似中心.

        證明 設(shè)直線l的方程為y=mx(m>0),則這條直線與拋物線y=ax2(a>0)和y=Ax2(A>0,A≠a)分別相交于M(ma,m2a)和N(mA,m2A),則OM=ma1+m2和ON=mA1+m2,所以O(shè)MON=Aa=1a1A(常數(shù)).則拋物線y=ax2(a>0)與y=Ax2(A>0)形狀相同,它們是位似圖形,原點是位似中心.

        結(jié)論2 拋物線y=a1x2(a1>0),y=a2x2(a2>0),…,y=anx2(an>0)是位似圖形,原點是位似中心.

        證明 設(shè)直線l的方程為y=mx(m>0),則這條直線與拋物線y=a1x2(a1>0),y=a2x2(a2>0),…,y=anx2(an>0)分別相交于P1(ma1,m2a1),P2(ma2,m2a2),…,Pn(man,m2an),則OP1=ma11+m2,OP2=ma21+m2,…,OPn=man1+m2,所以O(shè)P1∶OP2∶…∶OPn=1a1∶1a2∶…∶1an.則拋物線y=a1x2(a1>0),y=a2x2(a2>0),…,y=anx2(an>0)形狀相同,它們是位似圖形,原點是位似中心.

        以上結(jié)論說明所有的拋物線形狀都是相同的,換而言之,所有拋物線的開口大小都是相同的.而兩條拋物線的圖象的開口明顯有大小之分,這又該如何解釋呢?以拋物線y=x2和y=14x2為例,首先在圖4中作出了拋物線y=x2和y=14x2的圖象,然后將圖4中y=14x2的圖象放大2倍,得圖5中y=14x2的圖象,不難發(fā)現(xiàn),它與圖4中y=x2的圖象是可以重合的.因此,這兩條拋物線形狀相同,它們的開口大小必然也是相同的.

        結(jié)論3 拋物線y=a1x2-14a1(a1>0),y=a2x2-14a2(a2>0),…,y=anx2-14an(an>0)是位似圖形,它們的焦點是位似中心.(證明略)

        由結(jié)論3可知,拋物線的位似中心并不是唯一的,其頂點和焦點均可作為位似中心.

        2.橢圓與雙曲線

        結(jié)論4 若橢圓C1∶x2a21+y2b21=1(a1>b1>0)與橢圓C2∶x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)離心率相同,則它們是位似圖形,原點是位似中心;反之亦然.

        證明 設(shè)直線l的方程為y=mx(m>0),則這條直線與橢圓x2a21+y2b21=1(a1>b1>0)與x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)分別相交于P1(a1b1b21+a21m2,a1b1mb21+a21m2)、P2(-a1b1b21+a21m2,-a1b1mb21+a21m2)、P3(a2b2b22+a22m2,a2b2mb22+a22m2)、P4(-a2b2b22+a22m2,-a2b2mb22+a22m2).令c21=a21-b21,c22=a22-b22.

        若橢圓C1與橢圓C2離心率相同,所以e=c1a1=c2a2,易得b1a1=b2a2(*).令a1a2=b1b2=δ(常數(shù)),OP1OP3=1+m2·a1b1b21+a21m21+m2·a2b2b22+a22m2=a1b1a2b2·b22+a22m2b21+a21m2=δ2a2b22a22+m2a1b21a21+m2=δb22a22+m2b21a21+m2,由(*)式可得OP1OP3=δ.同理,OP2OP4=δ.所以橢圓C1與橢圓C2是位似圖形,原點是位似中心,δ為位似比.

        若橢圓C1∶x2a21+y2b21=1(a1>b1>0)與C2∶x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)是位似圖形,原點是位似中心.則滿足a1b1b21+a21m2a2b2b22+a22m2=a1a2=b1b2=δ,其中δ為位似比.則a1b1b21+a21m2a2b2b22+a22m2=δ2a2b22a22+m2a1b21a21+m2=δb22a22+m2b21a21+m2=δ,所以b21a21+m2=b22a22+m2,即b21a21=b22a22,故c1a1=c2a2,因此橢圓C1與橢圓C2離心率相同.

        結(jié)論5 若雙曲線C1∶x2a21-y2b21=1(a1>0,b1>0)與雙曲線C2∶x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)離心率相同,則它們是位似圖形,原點是位似中心;反之亦然.(證明略)

        利用證明結(jié)論4的方法可以類似地證明結(jié)論5,在此不再贅述.同時,如果將結(jié)論5中雙曲線C1和雙曲線C2關(guān)系式分別改為y2a21-x2b21=1(a1>0,b1>0)和y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0)則結(jié)論亦成立.

        3.圓錐曲線的統(tǒng)一形式

        在極坐標(biāo)系中,運(yùn)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,可得圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程ρ=ep1-ecosθ(*).

        當(dāng)0<e<1時,方程(*)表示橢圓;當(dāng)e=1時,方程(*)表示拋物線;當(dāng)e>1時,方程(*)表示雙曲線.

        結(jié)論6 離心率相等的圓錐曲線C1,C2是位似圖形,反之,若圓錐曲線C1,C2是位似圖形,則它們的離心率相等.(證明略)

        ? 參考文獻(xiàn):

        [1]林群.數(shù)學(xué)九年級下冊[M].北京:人民教育出版社,2014:36.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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