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        巧用反證法 讓數(shù)學(xué)解題“柳暗花明”

        2020-09-10 11:56:45陳辰
        數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
        關(guān)鍵詞:柳暗花明反證法應(yīng)用策略

        摘 要:高中數(shù)學(xué)解題中,不少的題目通過(guò)正面角度難以解答,如果換個(gè)角度可以非常輕松地解答問(wèn)題.反證法是屬于逆向思維解題方式,在高中數(shù)學(xué)解題中廣泛使用.通過(guò)反證法解題,可以更加簡(jiǎn)便地獲得結(jié)論,完成數(shù)學(xué)問(wèn)題解答,同時(shí)可以鍛煉學(xué)生思維模式,引導(dǎo)學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).文章中結(jié)合數(shù)學(xué)例題,探究反證法的應(yīng)用策略.

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);反證法;應(yīng)用策略

        中圖分類(lèi)號(hào):G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A????? 文章編號(hào):1008-0333(2020)34-0030-02

        收稿日期:2020-09-05

        作者簡(jiǎn)介:陳辰(1986.2-),男,安徽省六安人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        一、利用反證法,解決數(shù)列問(wèn)題

        高中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容比較多,并且知識(shí)復(fù)雜繁多,在解題過(guò)程中存在不少的困難,使得學(xué)生難以完成解題.數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)內(nèi)容,題目復(fù)雜多變,涉及到的知識(shí)內(nèi)容比較多.部分?jǐn)?shù)列問(wèn)題在解題中,從正面思考有著很大的難度,面對(duì)這樣的情況,教師可以引入反證法,幫助學(xué)生解決解題中的困擾,明確題目解題思路,快速、準(zhǔn)確地解答問(wèn)題,提高學(xué)生解題能力.

        例1 已知等比數(shù)列{an}的公比是q,其前n項(xiàng)和為Sn,判斷數(shù)列{Sn}是否為等比數(shù)列.

        解析 通過(guò)對(duì)題目問(wèn)題進(jìn)行分析,得出問(wèn)題屬于定性命題,此種問(wèn)題類(lèi)型想要從正面進(jìn)行解答或者證明,其難度比較大,證明的過(guò)程非常復(fù)雜.因此,教師引導(dǎo)學(xué)生利用反證法,利用逆向思維進(jìn)行解題.設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,所以S22=S1S3,根據(jù)題意得出a21(1+q)2=

        a1·a1(1+q+q2).因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以a1≠0,對(duì)上式簡(jiǎn)化得出(1+q)2=1+q+q2,通過(guò)整理解答得出q=0,與等比數(shù)列中公比不等零相互矛盾,所有原來(lái)的假設(shè)不成立,因此數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.

        點(diǎn)評(píng) 面對(duì)復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題,如果從正面求解比較困難,引導(dǎo)學(xué)生靈活利用反證法,節(jié)約學(xué)生解題時(shí)間,提高學(xué)生解題準(zhǔn)確性,保證學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果.因此,在具體的解題教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)打破以往解題方式的約束,加強(qiáng)學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng),對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合理應(yīng),在最短的時(shí)間內(nèi)容找到最佳的解題方式,提高解題教學(xué)效果.

        二、利用反證法,解決命題證明題

        1.唯一性命題解答

        數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)性學(xué)科,涉及到的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式等內(nèi)容比較多,在實(shí)際的解題中,命題證明問(wèn)題是常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型.不少唯一性命題的證明問(wèn)題從正面是很難得到證明的.因此,面對(duì)命題證明問(wèn)題,需要對(duì)題目類(lèi)型進(jìn)行分析,靈活引入反證法,從反面進(jìn)行證明,完成唯一性命題的解題.

        例如,在圓的知識(shí)學(xué)習(xí)中,所學(xué)學(xué)生都知道一個(gè)圓只有一個(gè)圓心,那么怎樣去證明呢.面對(duì)這樣的問(wèn)題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從反面進(jìn)行思考和證明.假設(shè)一個(gè)圓有兩個(gè)圓心,分別是圓心O和圓心A,在圓內(nèi)作出任意一條弦CD,找出CD的中點(diǎn)E,將AE和OE連接起來(lái),在這樣的情況下,經(jīng)過(guò)直線CD的中點(diǎn)E存在兩條直線和CD垂直.這樣的結(jié)論和“經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直”的性質(zhì)相互矛盾,因此,假設(shè)不成立,則證明一個(gè)圓只有一個(gè)圓心.

        2.必然性命題解題

        在必然性命題證明中,可以將題目中的結(jié)論加以否定,將原來(lái)的肯定命題轉(zhuǎn)變成否定命題,通過(guò)相應(yīng)的論證,推斷否定命題不成立,得出原命題正確的幾輪,完成題目的論證.因此,面對(duì)必然性命題解題時(shí),需要對(duì)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行分析,準(zhǔn)確分析其原命題,做出相應(yīng)的假設(shè).在論證時(shí),應(yīng)當(dāng)保證其嚴(yán)謹(jǐn)性,避免出現(xiàn)論證遺漏等問(wèn)題.

        例2 已知a、b、c均為正整數(shù),并且a2+b2=c2,a為質(zhì)數(shù),求證:b、c兩個(gè)數(shù)字必然是一個(gè)偶數(shù)、一個(gè)奇數(shù).

        解析 在證明時(shí),假設(shè)b、c兩個(gè)數(shù)字都是偶數(shù)或者都是奇數(shù),根據(jù)a2+b2=c2進(jìn)行轉(zhuǎn)化,c2-b2=a2,所有(c-b)(c+b)=a2,根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)可以得出c-b和c+b都是偶數(shù),所以得出a2為偶數(shù).根據(jù)已知中a為質(zhì)數(shù),所有,當(dāng)a=2時(shí),則(c-b)(c+b)=4,通過(guò)求解得出b、c的值,根據(jù)題目中a、b、c都是正整數(shù)做出判斷,證明b和c兩個(gè)數(shù)字為一奇一偶.

        3.解答無(wú)限命題

        高中數(shù)學(xué)解題中,部分題目的條件比較少,從正面很難做到求解,因此,需要引導(dǎo)學(xué)生掌握反證法,從反面進(jìn)行思考和解題,培養(yǎng)學(xué)生解題能力.

        例題:求證6是無(wú)理數(shù).

        解析 在此題目中,能夠利用的條件非常少,從正面解題沒(méi)有明確的思路,無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的,很難進(jìn)行表示.如果利用反證法,假設(shè)6是有理數(shù),那么可以增加一個(gè)已知條件,將6通過(guò)分?jǐn)?shù)表示出來(lái).

        在解題中,假設(shè)6是有理數(shù),那么存在m,n∈N*,并且m、n互質(zhì).使得6=mn,轉(zhuǎn)化得出m2=6n2,所以m為偶數(shù),設(shè)m=2k(k∈N*),則有42=6n2,3n2=2k2,那么n也是偶數(shù),這與m、n互質(zhì)矛盾,因此6為無(wú)理數(shù).點(diǎn)評(píng) 面對(duì)命題證明問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題類(lèi)型做出分析,根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),做出相應(yīng)的假設(shè),根據(jù)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行分析,靈活利用反證法完成題目求解.

        三、利用反證法,解答不等式問(wèn)題

        不等式作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,不等式問(wèn)題也是學(xué)生解題中的難點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)于一般的不等式問(wèn)題,學(xué)生通過(guò)分析法、綜合法和比較法就能完成解題,但是,對(duì)于一些較為極端的不等式問(wèn)題,通過(guò)此三種方式很難解題,甚至不能完成解題.此時(shí)可考慮引導(dǎo)學(xué)生利用反證法解題,培養(yǎng)學(xué)生多種解題方式,強(qiáng)化學(xué)生解題能力.

        例3 已知a、b>0,求證:a3+b3≥a2b+ab2.

        解題時(shí),利用反證法進(jìn)行解題,先假設(shè)不等式不成立.則有

        a3+b3

        (a-b)2<0.這與任意實(shí)數(shù)的平方非負(fù)矛盾,所以假設(shè)不成立.

        點(diǎn)評(píng) 高中數(shù)學(xué)不等式解題中,題目類(lèi)型豐富多樣,形式各不相同,雖然綜合法、比較法等解題方式是常見(jiàn)的解題方式,解題更加準(zhǔn)確、快速,但是,反證法有著其自己的優(yōu)勢(shì),豐富學(xué)生解題方式,加強(qiáng)學(xué)生思維能力鍛煉.

        高中數(shù)學(xué)解題中,反證法是一種有效的解題方式,幫助學(xué)生解答疑難問(wèn)題,明確解題關(guān)鍵點(diǎn),找到最佳的解題思路.通過(guò)反證法的利用,加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力培養(yǎng),提高學(xué)生創(chuàng)新能力.因此,作為高中數(shù)學(xué)教師,應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目類(lèi)型,做出相應(yīng)的分析,靈活利用反證法,有效解決數(shù)學(xué)難題,提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

        參考文獻(xiàn):

        [1]谷小溪.例談反證法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].讀與寫(xiě)(教師),2019(2):246.

        [2]宋澤.高中數(shù)學(xué)解題中的反證法應(yīng)用初探[J].數(shù)理化解題研究,2018(21):27-28.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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