陳彩華

摘要：為轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，圍繞“學(xué)為中心”的教學(xué)觀，踐行睿智數(shù)學(xué)教學(xué)主張，文章結(jié)合教學(xué)實踐，對一次函數(shù)的一個最值問題進行了拓展與應(yīng)用研究。文章從一個問題、兩種解法、三類變式、四點思考四方面展開分析，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析問題能力的培養(yǎng)做了嘗試。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革 函數(shù) 最值問題

通過圖表，使學(xué)生能從中觀察審視函數(shù)，有利于更好地認識函數(shù)，提高學(xué)生對一次函數(shù)斜率的幾何直觀認識?！皼]有思路就沒有出路”，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的過程實質(zhì)上在于引導(dǎo)他們找出解決問題的有效方式與方法，使學(xué)生能從動態(tài)與靜態(tài)角度來觀察審視函數(shù)，這有利于學(xué)生更好地認識函數(shù)。

一、問題

已知：點（x，y）在如圖1所示的正方形的邊上運動，求s=y-2x的最大值和最小值。

旨在激發(fā)學(xué)生換位思考，讓學(xué)生明白任何一個代數(shù)式子的背后往往有它的幾何意義存在。

如果我們暫時將s當(dāng)作常數(shù)來認識，那么s在一次函數(shù)中起到截距的作用?，F(xiàn)在我們又讓它還原本色，s是一個可變化的截距，看會在什么范圍內(nèi)變化。

這種方法旨在滲透數(shù)形結(jié)合思想，強化數(shù)型結(jié)合，讓學(xué)生感受s變化的規(guī)律，體悟代數(shù)式背后的幾何意義。

對于y=kx+b，當(dāng)k不變時，與6對應(yīng)的所有直線都相互平行。所以我們通過畫圖可以看出，當(dāng)直線y=2x+s經(jīng)過點（-1，0），（1，0）時，相應(yīng)的截距分別達到最大值和最小值（如圖2）。所以我們直接將點（-1，0），（1，0）代入直線y=2x+s解析式，就可以求得s的最大值與最小值。

2.二類變式如下

（1）變式一

讓學(xué)生能通過改變點（x，y）的路徑，編制一個類似的問題。

學(xué)生提供的問題：

①點（x，y）在菱形的邊上運動，求s=y-2x的最大值和最小值。

（其他學(xué)生還補充了平行四邊形、矩形）

②點（x，y）在等腰梯形的邊上運動，求s=y-3x的最大值和最小值。

③點（x，y）在線段上運動，求s=y-x的最大值和最小值。

④把線段改成雙曲線段，其余不變。

⑤把線段改成拋物線段，其余不變。

⑥把線段改成圓，其余不變。

（針對學(xué)生可能對端值上取到最大值或最小值存在誤區(qū)，筆者又設(shè)置了兩個問題）

（2）變式二

教師給一個問題引領(lǐng)：

點（x，y）在如圖3所示的雙曲線段上運動，其中A（2，3），B（3，2），求s=y+x的最大值和最小值。

學(xué)生討論給出類似問題：

①點（x，y）在如圖4所示的拋物線段上運動，其中A（-3，0），B（1，0），拋物線段頂點縱坐標(biāo)為-4，求s=y+2x的最大值和最小值。

學(xué)生通過小組討論發(fā)現(xiàn)，S最大在點B取得2，最小在點（-2，-3）取得-7，

即：-7≤S≤2。

提出問題：你能歸納出何時一定在端點取得最值，何時有最值不在端點取得嗎？

②點在線段上運動時，最值在端點取得，點在曲線上運動時往往有一個最值通常不在端點上。

教師說明：其實學(xué)生提出來的點在圓上運動與雙曲線、拋物線一樣可求，待我們到高中進一步學(xué)習(xí)。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生對端值取值的情況重新做了認識，點在曲線上運動時，端值未必取到最值。

歸納：這類問題通常有兩種解法：一是代數(shù)方法：化歸函數(shù)，即已知自變量范圍，求函數(shù)的取值范圍或最值;二是幾何方法，即經(jīng)過換位思考，視s為截距，轉(zhuǎn)化為在給定條件下求s的取值范圍或最值。

二、四點思考

教育家陶行知說過：“創(chuàng)造始于問題，有了問題才會思考，有了思考，才有解決問題的方法，才有找到獨立思路的可能?！蓖ㄟ^對案例實踐的反思，筆者認為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的能力可以從以下四方面著手：

1.引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)思想，掌握思維方法

案例中學(xué)生的回答就是根據(jù)式子和圖形的特點，運用分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，對問題有初步的思考方法。將s與兩個變量x，y的關(guān)系轉(zhuǎn)化為s與x或者s與y的一次函數(shù)關(guān)系，回歸函數(shù)定義，為問題的解決提供關(guān)鍵性的一步。

數(shù)學(xué)思想在人的實踐活動中產(chǎn)生，并且成為人們認識世界和改造世界極為重要的工具，是問題解決的靈魂。所以要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法去分析、思考、發(fā)現(xiàn)，這樣解決問題更有針對性和實效性。

2.引導(dǎo)學(xué)生善編善變，促進靈活多變

案例中，當(dāng)學(xué)生回答完畢后，筆者有意識地讓學(xué)生自己編題，目標(biāo)是改變點（x，y）的路徑，編制類似的問題，使學(xué)生對問題的本質(zhì)有更深刻的理解，實現(xiàn)做一題懂一類的目的，大大提高學(xué)習(xí)效率。

所以讓學(xué)生自己參與問題的設(shè)計，或改變條件，或改變結(jié)論，從而更好地挖掘問題的生長點，獲得問題解決的通性通法，可以促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的進一步提升。

3.引導(dǎo)學(xué)生換位思考，突破思維定式

平時教學(xué)中，我們可以有意識地適當(dāng)調(diào)整視角，使問題中的元素進行“角色換位”，讓學(xué)生從不同角度審視問題，實現(xiàn)已知與未知、常量與變量、相等與不等、特殊與一般、局部與整體、數(shù)式與圖形、運動與靜止等的轉(zhuǎn)換，突破思維定式，獲得新的解決問題的思路和方法。換位思考也有利于教學(xué)內(nèi)容的深化和延伸，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新能力。

4.給學(xué)生創(chuàng)造自主發(fā)揮的機會

在“學(xué)為中心”教學(xué)理念指引下，在案例最后筆者設(shè)計學(xué)生自己編題一環(huán)，方向是s為定值、k可變的一類題型，并由學(xué)生自己解答，完成后進行小組交流共享。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力等情況，成立合作小組，把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生互相合作交流，在自主環(huán)境中有更多時間和空間盡情暢想。

三、總結(jié)

在培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的過程中，我們應(yīng)該努力做到“六讓”：特征讓學(xué)生觀察，思路讓學(xué)生探索，方法讓學(xué)生尋找，意義讓學(xué)生概括，結(jié)論讓學(xué)生驗證，規(guī)律讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力才會不斷得到強化，從而有效發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，逐漸接近數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)、分析與思考的最高境界。