◇ 甘肅 韓多瑞

二次函數(shù)是初中和高中數(shù)學(xué)課程里最重要的一種函數(shù)模型,它是提高學(xué)生思維與運(yùn)算能力的一個(gè)載體,是高考和數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的熱點(diǎn)和難點(diǎn).因此,有必要對(duì)二次函數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題求解策略進(jìn)行更深層次的探究.

1 最大(小)值定義

1)一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：

a)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

b)存在x0∈I,使得f(x0)＝M.

那么,我們稱(chēng)M是函數(shù)f(x)的最大值,記作

2)一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足：

a)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥m；

b)存在x0∈I,使得f(x0)＝m.

那么,我們稱(chēng)m是函數(shù)f(x)的最小值,記作

2 二次函數(shù)的最值問(wèn)題解法分析

2.1 利用函數(shù)單調(diào)性定義求最值問(wèn)題

所謂的函數(shù)單調(diào)性也可以稱(chēng)為函數(shù)的增減性,也就是當(dāng)函數(shù)f(x)的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大(或減小)時(shí),函數(shù)值f(x)隨著自變量而增大(或減小),則稱(chēng)該函數(shù)為在該區(qū)間上具有單調(diào)性.

分析在解這種問(wèn)題時(shí),我們可以采用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)解決,即增函數(shù)與減函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2.若當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜f(x2),則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；若當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＞f(x2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

通過(guò)讓學(xué)生回憶定義并提問(wèn)的方式,進(jìn)行課程第一步,然后逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算.

解設(shè)2≤x1≤x2≤6,有f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2).

因?yàn)?≤x1≤x2≤6,所以x1－x2＜0,則f(x1)－f(x2)＜0,所以f(x1)＜f(x2),所以函數(shù)y＝x2－1在該區(qū)間為增函數(shù).所以當(dāng)x＝2時(shí),函數(shù)y＝x2－1取得最小值為3；當(dāng)x＝6時(shí),函數(shù)y＝x2－1取得最大值為35.

2.2 用函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合解題

分析像這類(lèi)考查圖象和單調(diào)性的問(wèn)題,我們可以先將其函數(shù)圖象畫(huà)出來(lái),根據(jù)圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再用定義法加以證明.而這種方法常常適合于選擇題和填空題.

解根據(jù)題目畫(huà)出函數(shù)圖象,因y＝－x2＋2|x|－3＝所以函數(shù)圖象如圖1.

圖1

由圖象可得,函數(shù)在區(qū)間(－∞,－1)和(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(－1,0)和(1,＋∞)上單調(diào)遞減,最高點(diǎn)是(±1,－2),因此函數(shù)在(－∞,－1),(0,1)上是增函數(shù),在(－1,0),(1,＋∞)上是減函數(shù),最大值為－2.

2.3 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判別法

分析這是一道典型的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解問(wèn)題,在進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解時(shí)需要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義,即對(duì)于函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x),如果u＝g(x)在區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性,當(dāng)x∈(a,b)時(shí),u∈(m,n),且y＝f(u)在區(qū)間(m,n)上也具有單調(diào)性,則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))在區(qū)間(a,b)具有的單調(diào)性,規(guī)律如表1.

表1

當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí),其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí),其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

解先確定定義域：x2＋2x－3≥0,得到x≤－3或x≥1,所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

令u＝x2＋2x－3,則；因?yàn)樵赱0,＋∞)為增函數(shù),而u＝x2＋2x－3在(－∞,－3)為減函數(shù),在(1,＋∞)為增函數(shù),所以函數(shù)y ＝的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,－3).

在解復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí),先判斷函數(shù)的定義域,然后對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行拆解.

2.4 導(dǎo)數(shù)判別法

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義：如果函數(shù)y＝f(x)在x 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi),總有f′(x)＞0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)；如果函數(shù)y＝f(x)在x 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi),總有f′(x)＜0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù).

在用導(dǎo)數(shù)判別法進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的計(jì)算時(shí),還需要注意f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件,f′(x)＜0 是f(x)為減函數(shù)的充分不必要條件.如f(x)＝x3在R上為增函數(shù),而f′(0)＝0,所以在x＝0處不滿(mǎn)足f′(x)＞0.故有可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒為零).

二次函數(shù)是高中階段的重點(diǎn),而函數(shù)的單調(diào)性又是二次函數(shù)的重要部分,所以我們一定要把握好重點(diǎn),才能用導(dǎo)數(shù)來(lái)準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性.

要求a 則必須消去參數(shù)b,c,從而

在這里涉及了導(dǎo)數(shù)求最值的一個(gè)重要方法,它可以便于學(xué)生解決二次函數(shù)的求最值問(wèn)題,即切比雪夫多項(xiàng)式.它的兩個(gè)性質(zhì)如下.

性質(zhì)1設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c,若對(duì)任意的x∈[－1,1],|f(x)|≤1,則|a|max＝2.

性質(zhì)2對(duì)于任意二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次函數(shù)f(x)必有,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)＝x2－時(shí),等號(hào)成立.所以,在遇到上述的題型時(shí),我們可以直接求其導(dǎo)數(shù),然后求f′(1),f′(),f′(0)即可.

用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間可以分為以下幾個(gè)步驟.

1)確定定義域；

2)求f′(x)；

3)在f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0 和f′(x)＜0；

4)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

需要注意的是單調(diào)區(qū)間不以“并集”的形式出現(xiàn).

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述相關(guān)例題與解析,我們能清晰地找到解決這類(lèi)二次函數(shù)問(wèn)題的方法.教師的任務(wù)就是針對(duì)某些問(wèn)題多研究與反思,嘗試用不同的角度以及數(shù)學(xué)解題方法揭示問(wèn)題背后的本質(zhì).“授人以魚(yú)不如授人以漁”,讓學(xué)生從本源上理解問(wèn)題,學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題才能如魚(yú)得水,游刃有余.