常坤龍，高 靜，沈 欣, 陳偉衡

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009； 2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471009; 3.空裝駐洛陽地區(qū)第一軍事代表室，河南 洛陽 471009)

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭離不開空中優(yōu)勢的支持，性能先進的空空導(dǎo)彈是奪取和保障空中優(yōu)勢的重要手段，隨著超視距空戰(zhàn)時代的到來，具有超視距攻擊能力的雷達型空空導(dǎo)彈在空戰(zhàn)中的作用越來越明顯[1-2]。新一代雷達型空空導(dǎo)彈具有全天候使用、全方位攻擊、多目標(biāo)攻擊、抗電子干擾等優(yōu)點[3]。導(dǎo)彈研制過程中，半實物仿真[4]具有成本低廉、試驗數(shù)據(jù)采集全面且與外場數(shù)據(jù)較為相仿等特點。但仿真試驗分析中，數(shù)據(jù)量龐大且參數(shù)繁多，因此，優(yōu)化數(shù)據(jù)分析方法，篩選數(shù)據(jù)參數(shù)，就顯得迫在眉睫。

空空導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段，目標(biāo)戰(zhàn)機面對導(dǎo)彈來襲，往往會采取投放干擾或做規(guī)避機動等手段躲避導(dǎo)彈攻擊，這可能使雷達制導(dǎo)系統(tǒng)的測量信息出現(xiàn)誤差，造成導(dǎo)彈脫靶距離增大甚至導(dǎo)彈脫靶。本文選取末制導(dǎo)段的半實物仿真試驗數(shù)據(jù)，考察典型制導(dǎo)參數(shù)回路下，雷達導(dǎo)引頭測量參數(shù)與脫靶距離[5]之間的關(guān)系[6]。利用向后選擇的多元回歸方法對各項指標(biāo)進行篩選，得到與脫靶距離顯著相關(guān)的試驗參數(shù)，建立了脫靶距離檢驗?zāi)Ｐ?，并對模型進行有效性驗證，實現(xiàn)對半實物仿真平臺脫靶距離的檢測。同時，利用標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)，對比了篩選后的導(dǎo)引頭測量參數(shù)，得到了約束量測參數(shù)控制側(cè)重點的條件，對比結(jié)果與工程經(jīng)驗基本吻合。本文中回歸模型的建立和顯著性檢驗方法均由MATLAB軟件編程實現(xiàn)。

1 研究方法

1.1 確定多元線性回歸研究方法

多元線性回歸分析是處理多變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法[7]，用來研究多個變量對因變量的影響程度。該方法通過建立多個變量與因變量之間的統(tǒng)計關(guān)系方程式，對未來時刻的量做出估計，有助于認(rèn)識客觀事物的定量關(guān)系及內(nèi)在規(guī)律。本文擬采用多元線性回歸的方法，建立多元線性回歸模型，對脫靶距離與各相關(guān)參數(shù)進行分析，明確脫靶距離與其自變量之間的相互關(guān)系。

由于導(dǎo)彈參數(shù)尤其導(dǎo)引頭參數(shù)均會對脫靶距離產(chǎn)生一定的影響，如果未經(jīng)顯著性檢驗就將所有的參數(shù)考慮在回歸模型中，則有可能影響模型精確度，并且降低模型的檢測速度。同時，由于不同的自變量組合模型計算出的脫靶距離檢測模型也有所差異，而所有模型組合中必有一個檢驗?zāi)Ｐ妥顬榫_，因此自變量最優(yōu)組合的確定對估計脫靶距離至關(guān)重要。

向后選擇法[8-9]是對包含所有變量的模型進行分析，根據(jù)其對因變量的貢獻程度逐次剔除對脫靶距離影響不顯著的自變量，即當(dāng)有多個自變量對因變量無顯著影響時，由于自變量之間的相互作用，不能一次剔除所有不顯著的變量。原則上每次只剔除一個變量，然后再對求得的新方程進行檢驗，直到保留的變量都有顯著性影響為止。與之相對應(yīng)的前向選擇法的思想是變量由少變多，每次增加一個，直至沒有可引入的變量為止[8]。若自變量相互獨立，前向選擇法和向后選擇法在選擇效果上是相同的。但是在實際情況中，很難碰到自變量之間真正無關(guān)的情況，這就會使得隨著回歸方程中變量的增加和減少，某些自變量對回歸方程的影響也會發(fā)生變化。如果幾個自變量的聯(lián)合效應(yīng)對因變量有重要作用，但是單個自變量對因變量的作用都不顯著，那么前向選擇法就不能引入這幾個自變量，而向后選擇法卻可以保留這幾個自變量，因此，本文選用向后選擇法對脫靶距離進行分析。

1.2 向后選擇法多元回歸模型顯著性檢驗

應(yīng)用向后選擇法建立多元回歸模型需要進行逐次顯著性檢驗，研究每一步模型的有效性。

首先，為考慮各自變量對脫靶距離的影響，采用顯著性檢驗對所有自變量參數(shù)單獨進行變量回歸系數(shù)的顯著性分析，并按照回歸模型的假設(shè)檢驗方法分析各模型有效性，剔除無效參數(shù)； 其次，將滿足檢驗的參數(shù)作為多元回歸自變量，對脫靶距離建立多元回歸模型，并檢驗該模型的有效性； 再次，若建立的方程有效，則對該多元回歸方程中的每個參數(shù)進行檢驗，因為多元線性回歸中，回歸方程顯著并不意味著每個自變量的影響都顯著，如果出現(xiàn)多個不顯著的參數(shù)，則剔除檢驗概率最低的參數(shù)； 最后，利用余下的參數(shù)重新建立多元回歸模型，重復(fù)上一步過程，直到每個參數(shù)均顯著，即得到向后選擇多元回歸模型。

1.2.1 自變量的顯著性檢驗

對各個自變量進行顯著性分析，保證每個自變量對脫靶距離的影響是顯著的。

構(gòu)造一元回歸方程，即

(1)

由最小二乘擬合可知，如果數(shù)據(jù)的離散程度過大，擬合效果將非常不理想。此時應(yīng)使用假設(shè)檢驗的F檢驗法[10]。F檢驗是根據(jù)平方和分解式，直接從回歸效果檢驗回歸方程的顯著性。檢驗的原假設(shè)為

(2)

平方和分解式為

(3)

SST=SSR+SSE

(4)

據(jù)此可以構(gòu)造F檢驗統(tǒng)計量為

(5)

在正態(tài)假設(shè)下，如果原假設(shè)H0成立，則因變量Y與自變量Xi之間沒有真正的線性關(guān)系，F(xiàn)服從(1,n-2)的F分布。當(dāng)F>Fα(1,n-2)時，拒絕H0，說明回歸方程顯著，自變量與因變量有顯著線性關(guān)系。

1.2.2 多元回歸模型的顯著性檢驗

多元回歸的模型同樣利用F檢驗法。

多元回歸模型可以表示為

Y=β0+β1X1+β2X2+…+βpXp+ε

(6)

式中：β0，β1，…，βp為p+1個未知參數(shù)；β0為回歸常數(shù)；β1，…，βp為回歸系數(shù)；Y為被解釋變量(因變量);X1，X2，…，Xp為p個可以精確測量并可控制的一般變量，為解釋變量(自變量)；ε為隨機誤差。

提出原假設(shè)：

H0:β0=β1=…=βp=0

(7)

構(gòu)造F檢驗統(tǒng)計量如下：

(8)

其他計算步驟與一元回歸相似。當(dāng)F>Fα(p,n-p-1)時，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為在顯著性水平α下，多元回歸方程是顯著的。

1.2.3 回歸模型中各自變量的顯著性檢驗

由于F檢驗法是針對多元回歸整體模型的檢驗，需要選用t檢驗法[11]對各個自變量進行顯著性檢驗。

原假設(shè)：

H0j:βj=0j=1,2,…,p

(9)

記：

(X'X)-1=(cij)ij=0,1,2,…,p

(10)

于是有

(11)

(12)

當(dāng)原假設(shè)H0j:βj=0成立時，式(12)構(gòu)造的tj統(tǒng)計量服從自由度為n-p-1的t分布。給定顯著性水平α，查出雙側(cè)檢驗的臨界值tα/2。當(dāng)|tj|≥tα/2時，拒絕原假設(shè)H0j:βj=0，認(rèn)為自變量Xj對因變量Y的線性效果顯著，即影響顯著。

通過t檢驗法可以篩選出影響不顯著的自變量，并剔除影響最小，即|tj|min對應(yīng)的自變量，再重復(fù)1.2.2和1.2.3操作，直到自變量均滿足|tj|≥tα/2為止。

2 回歸模型的建立

雷達導(dǎo)引頭測量參數(shù)眾多，本文選取若干具有代表性的參數(shù)，建立與脫靶距離的回歸模型。

2.1 多元線性回歸模型參數(shù)的定義

2.1.1 定義多元回歸因變量

脫靶距離本質(zhì)上是一個誤差，用來測度威脅系統(tǒng)將戰(zhàn)斗部送到飛機附近區(qū)域的能力[12]，是導(dǎo)彈性能的基本測量參數(shù)[13]。徑向脫靶距離是制導(dǎo)導(dǎo)彈和目標(biāo)在最接近(CPA)處的標(biāo)量距離，矢量脫靶距離是目標(biāo)和導(dǎo)彈在最接近處的矢量[14-17]?？湛諏?dǎo)彈仿真試驗平臺將脫靶距離自動輸出為徑向脫靶距離，作為試驗結(jié)果的直觀考察。

脫靶距離取決于系統(tǒng)跟蹤精度[18-19]和系統(tǒng)火力控制/制導(dǎo)精度[20]。仿真試驗中，系統(tǒng)跟蹤精度主要由雷達導(dǎo)引頭測量的速度測量誤差和距離測量誤差等表示； 制導(dǎo)精度由制導(dǎo)系統(tǒng)濾波處理后的估計速度誤差表示。

2.1.2 定義多元回歸自變量

空空導(dǎo)彈制導(dǎo)體制大多采用擴展比例導(dǎo)引法：

(13)

式中：N′為導(dǎo)航比；y為目標(biāo)與導(dǎo)彈在垂直方向的距離，與導(dǎo)彈視線角有關(guān)；Tgo為導(dǎo)彈剩余飛行時間，與彈目距離和彈目相對速度有關(guān)；aT為目標(biāo)法向加速度。由式(13)可見，測角、測速和測距的精度對制導(dǎo)系統(tǒng)的影響可見一斑。

測角信息相較于測速與測距而言更為重要，角度測量精度高可以保證目標(biāo)始終在雷達天線主波束范圍內(nèi)，使導(dǎo)彈可以持續(xù)鎖定，直至命中目標(biāo)。導(dǎo)引頭跟蹤目標(biāo)過程中，需要實時測量目標(biāo)的角度信息，并給出角度信息是否可信的標(biāo)志。若目標(biāo)釋放干擾信號或目標(biāo)機動，可能會造成目標(biāo)丟失，導(dǎo)致導(dǎo)引頭跟蹤信息的中斷，從而引起跟蹤不穩(wěn)定。因此，導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性可以通過導(dǎo)引頭失調(diào)角測量信息及是否可信來描述，即通過計算測角信息不可信的時間占末制導(dǎo)段總時間的比例，進行直接的考察。

速度的測量可以為導(dǎo)彈提供另一個維度的目標(biāo)信息?，F(xiàn)代雷達型空空導(dǎo)彈大多采用脈沖多普勒導(dǎo)引體制，根據(jù)武器系統(tǒng)提供的相對速度，檢測多普勒信號，提取制導(dǎo)信息。導(dǎo)引頭得到彈目相對速度測量信息后，經(jīng)過處理可以得到測速信息的估計值Ⅰ，同時，根據(jù)彈目空間位置關(guān)系，導(dǎo)彈還可以得到另一個測速信息的估計值Ⅱ，仿真分析中，可以計算其誤差，所以速度測量可以由三個參數(shù)表示，分別是速度測量誤差、估計測速誤差Ⅰ和估計測速誤差Ⅱ。導(dǎo)彈與目標(biāo)相對距離的測量精度同樣重要，也作為考察影響脫靶距離的參數(shù)。

由于末制導(dǎo)段導(dǎo)彈飛行速度極快，導(dǎo)引頭微小的測量誤差可能導(dǎo)致較大的脫靶距離。為了全面考察試驗數(shù)據(jù)，常將精度誤差的均值、方差和中位數(shù)同時作為脫靶距離的參考量，三個統(tǒng)計指標(biāo)相輔相成，均占有重要地位。在測量較為精確的情況下，均值、方差和中位數(shù)都應(yīng)收斂于較小的數(shù)值，即統(tǒng)計指標(biāo)與脫靶距離應(yīng)呈現(xiàn)正相關(guān)的趨勢。 如果導(dǎo)引頭給出的測角信息持續(xù)不可信，制導(dǎo)系統(tǒng)按照濾波算法進行外推的時間將會增大，大大降低目標(biāo)的追蹤準(zhǔn)確性，導(dǎo)致脫靶距離增大，所以導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性與脫靶距離同樣呈現(xiàn)正相關(guān)的關(guān)系。

2.2 建立線性回歸模型

構(gòu)造脫靶距離的一元回歸方程：

(14)

構(gòu)造脫靶距離的多元回歸模型：

Y=β0+β1X1+β2X2+…+β13X13

(15)

式中： 自變量與因變量的定義如表1所示；β0為回歸常數(shù)；β1，…，β13為回歸系數(shù)。

表1 模型變量的定義

3 回歸分析與檢驗

通過向后選擇法進行模型分析，得到脫靶距離的最優(yōu)回歸模型，利用標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)進行自變量對脫靶距離影響程度的對比，最后檢驗回歸模型的擬合程度。

干擾條件下的半實物仿真試驗共得到了647組數(shù)據(jù)，采用的干擾樣式包括： 自衛(wèi)式窄帶瞄準(zhǔn)噪聲和寬帶阻塞噪聲、自衛(wèi)欺騙式多假目標(biāo)和距離拖引等干擾，假目標(biāo)個數(shù)取1～3個，拖引方向分為接近和遠(yuǎn)離，目標(biāo)機動方式采用過載1～2的圓周機動。為了保證模型的適用性，本文僅選取后30組數(shù)據(jù)用于檢驗所建模型的精確程度，將前617組數(shù)據(jù)用來建立多元回歸模型。

3.1 向后選擇多元回歸分析

通過回歸建模，利用向后選擇法優(yōu)化多元回歸模型的計算步驟如圖1所示。

3.1.1 一元回歸分析

建立各個自變量與脫靶距離的回歸方程并且通過F檢驗法，統(tǒng)計自變量F值如表2所示。

圖1 向后選擇法計算步驟

表2 自變量F值統(tǒng)計

由表2可見，各自變量F值與臨界值對比均有F>F0.05(1,615)=1.733 8，即均與脫靶距離具有顯著性關(guān)系，保留所有自變量。

3.1.2 多元回歸分析

建立多元回歸模型，再通過多元回歸的F檢驗判定該方程的顯著性，計算該方程的F值：

F=65.064 7>F0.05(13,603)=1.736 4

(16)

即該多元回歸方程自變量與脫靶距離具有顯著線性關(guān)系。

3.1.3 篩選多元回歸自變量

通過t檢驗法，檢驗上述多元回歸模型中每個自變量，如表3所示。

表3 自變量t值統(tǒng)計

構(gòu)造t統(tǒng)計量，并與雙側(cè)檢驗臨界值t0.05/2(603)=1.647 4比較可得，自變量X2，X4，X7，X8，X9，X10，X11的線性關(guān)系不顯著，即|t|

Y=β0+β1X1+…+β7X7+β9X9+…+β13X13

(17)

按圖1所示迭代上述過程，利用保留的自變量建立新的多元回歸模型，通過顯著性檢驗，依次剔除自變量X8，X11，X2，X7，X9，X10，臨界值t0.05/2(609)=1.647 4，剩余自變量t值如表4所示。

表4 篩選自變量t值統(tǒng)計

最終得到多元回歸模型如下：

Y=-0.948 6+23.817 8X1+0.007 2X3+

0.137 6X4+0.078 2X5+0.007 9X6+

0.009 9X12+0.266 7X13

(18)

3.2 模型標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)[21]是指消除了因變量和自變量所取的單位影響之后的回歸系數(shù)，其絕對值大小直接反應(yīng)了自變量對因變量的影響程度。相對于回歸系數(shù)而言，標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)是一種相對的重要性，與特定情況下自變量的離散程度有關(guān)。

標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)的定義為

(19)

式中：bj為Xj對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)；βj為原方程多元回歸系數(shù)；s(Xj)為自變量Xj的標(biāo)準(zhǔn)差；s(Y)為因變量的標(biāo)準(zhǔn)差；j=1,2,…,p，p為自變量個數(shù)。

根據(jù)式(18)～(19)計算多元標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)，如表5所示。

通過標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)可以清晰地看到，導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性在回歸模型中對因變量脫靶距離的影響遠(yuǎn)高于其他參數(shù)，與工程經(jīng)驗相吻合。工程中常將導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性作為脫靶距離的重要參考值； 估計測速誤差Ⅰ中位數(shù)和速度測量誤差中位數(shù)比其他參數(shù)影響顯著，同樣印證了中位數(shù)在試驗數(shù)據(jù)分析中的重要地位。

表5 篩選自變量對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)

3.3 模型檢驗

將剩余30組數(shù)據(jù)代入回歸模型中對其進行有效性驗證。脫靶距離經(jīng)歸一化處理，1為有效脫靶距離遠(yuǎn)界，回歸模型的擬合度檢驗可通過決定系數(shù)r2判斷，r2是一個回歸直線與樣本觀測值擬合優(yōu)度的相對指標(biāo)，反映了因變量的波動中能用自變量解釋的比例[8]:

(20)

經(jīng)檢驗，回歸模型的檢驗有效率為69.99%，30組檢驗樣本的脫靶距離檢測值和實測值擬合情況如圖2所示。由圖2可以看出，檢測值和實測值整體擬合程度較好，證明了所建立回歸方程的有效性。

圖2 脫靶距離檢測值與實測值對比

擬合圖中，中段擬合點8、11、15～18、23～24，以及28均出現(xiàn)了較大程度的失真情況，通過查考試驗數(shù)據(jù)結(jié)合本文3.2節(jié)可以發(fā)現(xiàn)，擬合中失真點的導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性與最終的脫靶距離有較大出入，脫靶距離較大的點，導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性普遍沒有相應(yīng)偏大。進一步分析發(fā)現(xiàn)，造成此時脫靶的原因是導(dǎo)彈遇靶前導(dǎo)引頭丟失目標(biāo)，此刻導(dǎo)引頭給不出有效的失調(diào)角測量信息，因此產(chǎn)生導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性良好但脫靶距離很大的情況。從另一方面反映出還需要引入新的變量來建立跟蹤穩(wěn)定性。

目前，以拖曳式誘餌為代表的角度欺騙干擾對雷達導(dǎo)引系統(tǒng)的角度測量形成巨大威脅，角度測量誤差的增大會導(dǎo)致最終脫靶距離的增大。不同的干擾條件，對雷達型空空導(dǎo)彈的影響不同，本研究依據(jù)的試驗數(shù)據(jù)為多種自衛(wèi)式干擾條件下的試驗仿真，建立的是一種綜合檢驗?zāi)Ｐ?。如果需要考察以拖曳式誘餌為代表的角度欺騙干擾下的檢驗?zāi)Ｐ停枰虢嵌刃畔⒄`差作為自變量。若考慮進一步提高檢驗有效性，可以將不同干擾條件下的試驗分別進行建模。

本文所建立的是典型制導(dǎo)參數(shù)回路下的導(dǎo)引頭測量信息檢驗?zāi)Ｐ停⑽纯紤]制導(dǎo)系統(tǒng)自動駕駛儀時間常數(shù)等制導(dǎo)參數(shù)，若考慮這些制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)對脫靶距離的影響，將有利于回歸模型的優(yōu)化和檢測有效性的提高。

4 結(jié) 論

本文通過大量干擾條件下半實物仿真試驗數(shù)據(jù)，將向后選擇多元回歸方法應(yīng)用在雷達導(dǎo)引體制空空導(dǎo)彈參數(shù)的分析中，建立了典型制導(dǎo)參數(shù)回路下脫靶距離與導(dǎo)引頭測量參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，利用顯著性檢驗篩選出具有重要影響的測量參數(shù)，并使用標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)對比了影響程度，得到了約束量測參數(shù)控制側(cè)重點的條件，最后實現(xiàn)了對脫靶距離的檢驗，研究結(jié)果表明：

(1) 導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性、估計測速誤差Ⅰ方差、估計測速誤差Ⅰ中位數(shù)、估計測速誤差Ⅱ均值、估計測速誤差Ⅱ方差、速度測量誤差方差和速度測量誤差中位數(shù)均與脫靶距離有顯著關(guān)系，對距離誤差沒有顯著影響，與工程經(jīng)驗中距離測量的重要性相對弱于角度和速度測量相一致；

(2) 通過對比標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)可得，從影響程度上來看，導(dǎo)引頭跟蹤穩(wěn)定性遠(yuǎn)高于其他參數(shù)，是脫靶距離最主要的衡量要素，估計測速誤差Ⅰ中位數(shù)和速度測量誤差中位數(shù)的影響次之，與工程應(yīng)用經(jīng)驗相符合；

(3) 本文建立的向后選擇多元回歸模型對脫靶距離的檢驗有效率為69.99%，可以較好地檢驗導(dǎo)引頭測量參數(shù)對脫靶距離的影響。