劉建強(qiáng)，鄧帥卿，楊 彪

(太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引言

對(duì)心直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)在工程上的應(yīng)用較為廣泛，在已知凸輪輪廓列表曲線的情況下對(duì)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究具有重大意義。然而，目前國內(nèi)外對(duì)這方面的研究較少且已有的研究較為復(fù)雜。在該背景下，本文基于三點(diǎn)作圓圓弧逼近列表曲線法并巧妙地運(yùn)用幾何關(guān)系，給出了對(duì)心直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的較為簡單的求解方法。最后給出了通過MATLAB對(duì)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行求解的實(shí)例。

1 列表曲線處曲率中心與曲率半徑的近似求解

當(dāng)已知列表曲線時(shí)，即已知曲線上某些坐標(biāo)點(diǎn)但沒有給出方程的曲線，可以通過三點(diǎn)作圓圓弧逼近列表曲線的方法，求出列表曲線處曲率中心的坐標(biāo)及曲率半徑。下面給出三點(diǎn)作圓圓弧逼近列表曲線方法。

如圖1所示，Q1、Q2、Q3、Q4、Q5、Q6為列表曲線上的點(diǎn)，O1、R1分別為過Q1、Q2、Q3三點(diǎn)所做圓弧的圓心與半徑，即Q1、Q2、Q3點(diǎn)處的曲率中心與曲率半徑。

圖1 三點(diǎn)作圓圓弧逼近列表曲線法原理圖

設(shè)(X1,Y1)、(X2,Y2)與(X3,Y3)分別為Q1、Q2、Q3點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，(X1′,Y1′)與(X2′,Y2′)分別為Q1與Q2中點(diǎn)坐標(biāo)及Q2與Q3中點(diǎn)坐標(biāo)，(X0,Y0)為圓心坐標(biāo)。則：

(1)

Y0=K1(X0-X1′)+Y1′.

(2)

(3)

2 根據(jù)幾何關(guān)系求解從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律

如圖2所示為一對(duì)心直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)，其平底與從動(dòng)件導(dǎo)路中心線垂直。以凸輪回轉(zhuǎn)中心O為原點(diǎn)，以通過凸輪對(duì)稱軸并指向凸輪近休止處外法線方向建立OX軸，在OX軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°方向建立OY軸，凸輪基圓半徑為Rb。

圖2 對(duì)心直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)

凸輪以等角速度ω沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)“反轉(zhuǎn)法”原理，從動(dòng)件繞O點(diǎn)以等角速度-ω轉(zhuǎn)過φ角時(shí)，其對(duì)應(yīng)的位移為s。此時(shí)，平底與凸輪的接觸點(diǎn)由B1變?yōu)锽2。圖2中，θ與r分別為凸輪上B2點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的極角與極徑，O1與R1分別為B2點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的曲率中心和曲率半徑。

根據(jù)幾何關(guān)系，在△OB2O1中運(yùn)用余弦定理可得：

(4)

在直角△AOB2中有：

(5)

又OA//B2O1,則∠OB2O1=∠AOB2=θ-φ，則：

(6)

化簡得：

(7)

(8)

式(7)中，Rb已知，則對(duì)于給定的列表曲線r=r(θ)，可根據(jù)上述三點(diǎn)作圓圓弧逼近列表曲線法求出從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)應(yīng)的列表曲線s=s(φ)。

3 通過MATLAB求解從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算實(shí)例

表1是凸輪上部分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值以及通過計(jì)算得到的各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。

表1 極坐標(biāo)系下與直角坐標(biāo)系下凸輪部分點(diǎn)的坐標(biāo)值

MATLAB求解代碼如下：

clc,clear

x=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','D2:D629');%每個(gè)極徑極角對(duì)應(yīng)的x坐標(biāo)

y=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','E2:E629');%每個(gè)極徑極角對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)

Rb=2.413;%基圓半徑

r=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','B2:B629');%導(dǎo)入極徑

v=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','A2:A629');%導(dǎo)入極角

for i=1∶2∶626;

X5=(x(i)+x(i+1))/2;Y5=(y(i)+y(i+1))/2;

X6=(x(i+1)+x(i+2))/2;Y6=(y(i+1)+y(i+2))/2;

K1=(x(i)-x(i+1))/(y(i+1)-y(i));

K2=(x(i+1)-x(i+2))/(y(i+2)-y(i+1));

Ox((i+1)/2)=((K2*X6)-(K1*X5)+(Y5-Y6))/(K2-K1);%圓心橫坐標(biāo)

Oy((i+1)/2)=K1*(Ox((i+1)/2)-J5)+Y5;%圓心縱坐標(biāo)

R((i+1)/2)=sqrt((x(i)-Ox((i+1)/2))^2+(y(i)-Oy((i+1)/2))^2);%圓心到切點(diǎn)距離

RO((i+1)/2)=sqrt(Ox((i+1)/2)^2+Oy((i+1)/2)^2);%圓心到原點(diǎn)距離

s((i+1)/2)=((RO((i+1)/2))^2+r(i)^2+(R((i+1)/2))^2)/(2*R((i+1)/2))-Rb;%由幾何關(guān)系求推程

e((i+1)/2)=acos(((RO((i+1)/2))^2+r(i)^2+R((i+1)/2)^2)/(2*R((i+1)/2)*r(i)));%由幾何關(guān)系求極角與轉(zhuǎn)角的差值

b((i+1)/2)=v(i)-e((i+1)/2);%求轉(zhuǎn)角

end

for i=2∶313

if abs(s(i)-s(i-1))>1

s(i)=s(i-1);

b(i)=b(i-1);

end

end

plot(b,s,'+r')

title('凸輪從動(dòng)件位移與凸輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系')

xlabel('凸輪轉(zhuǎn)角/rad')

ylabel('從動(dòng)件位移')

通過上述代碼求得的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖3所示。

圖3 從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律

4 結(jié)語

本文基于三點(diǎn)作圓圓弧逼近列表曲線法并巧妙地運(yùn)用幾何關(guān)系，給出了求解對(duì)心直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的較為簡單的方法。在此基礎(chǔ)上，給出了通過MATLAB求解從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的代碼，對(duì)該類問題的求解具有借鑒意義。