張 禹，孫興偉，楊赫然，董祉序，楊 冬，張妮妮，杜曉宇

(1.遼寧省復(fù)雜曲面數(shù)控制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110870；2.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870；3.長(zhǎng)慶油田分公司 機(jī)械制造總廠，陜西 西安 710201；4.中國(guó)石油遼陽(yáng)石油化纖公司 芳烴公司，遼寧 遼陽(yáng) 111003)

0 引言

隨著機(jī)械工業(yè)的快速發(fā)展，各種型號(hào)的螺桿泵、螺桿馬達(dá)、螺桿式壓縮機(jī)等通用機(jī)械在石油、化工等不同行業(yè)中的應(yīng)用日益廣泛[1]。螺桿作為螺桿泵的核心組成部分，其精度對(duì)主機(jī)性能起著決定性作用，對(duì)其的精度要求也大幅度提升，因此，準(zhǔn)確擬合螺桿截面曲面，對(duì)加工軌跡進(jìn)行合理規(guī)劃，顯得尤為重要。

應(yīng)用于曲線插值點(diǎn)構(gòu)造的方法有多種，其中具有代表性的為PIA算法。該算法首先計(jì)算各數(shù)據(jù)點(diǎn)局部曲率半徑值，通過(guò)曲率半徑可以求出數(shù)值點(diǎn)曲率，然后篩選出可以反映圖形主特征的數(shù)據(jù)點(diǎn)以及局部曲率值大于曲率均值的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為所需擬合曲線的控制頂點(diǎn)，通過(guò)迭代獲取擬合曲線[2]。該算法具有適應(yīng)性強(qiáng)、收斂速度快、迭代步驟獨(dú)立、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)[3-4]，因此可以在保證原數(shù)據(jù)輪廓特征的基礎(chǔ)上,有效壓縮B樣條曲線的控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)曲線的精準(zhǔn)擬合[5]。

1 螺桿截面造型

為保證螺桿的加工精度，本文基于用戶提供的螺桿截面數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，采用PIA算法構(gòu)造曲線插值點(diǎn)，對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行光順擬合。

由于從動(dòng)螺桿截面一個(gè)周期內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值為已知量，但同一周期內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的間距不等，為保證擬合曲線光滑，首先將稠密的數(shù)據(jù)點(diǎn)等距分布，且不改變某些對(duì)逼近曲線形狀產(chǎn)生重要影響的特殊點(diǎn)數(shù)據(jù)，這些特殊點(diǎn)稱為輪廓關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，曲率信息對(duì)點(diǎn)的幾何特征具有重要意義，曲線的變化與曲率正相關(guān)。某型號(hào)從動(dòng)螺桿端面型線部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。

首先由空間解析幾何知識(shí)，采用近似局部曲率公式求解各數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率。各數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率ki計(jì)算公式為：

(1)

其中：ρi為曲線在第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率半徑；di-1、di、di+1分別為相鄰的3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

表1 從動(dòng)螺桿端面型線的部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)

將表1中的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(1)可得到各數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率。

輪廓關(guān)鍵點(diǎn)由螺桿截面各數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率臨界值確定，在可以保障曲線廓形精度的前提下盡量減少關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)，因此選取曲率平均值作為確定關(guān)鍵數(shù)據(jù)點(diǎn)的依據(jù)。對(duì)于擬合非封閉曲線時(shí)，曲線的首尾數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率對(duì)曲線的變化起決定性作用，因此在選取關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)可直接將這兩點(diǎn)確定為關(guān)鍵點(diǎn)。從動(dòng)螺桿在單周期內(nèi)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲率值如圖1所示。

由圖1可以看出：在單周期內(nèi)接近于首尾段數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率值普遍高于曲率均值，因此可以將該區(qū)間段的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)均選取為關(guān)鍵數(shù)據(jù)點(diǎn)，而在中間數(shù)據(jù)段內(nèi)可以先只選取高于曲率平均值的點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)。

確定關(guān)鍵點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置后進(jìn)行迭代計(jì)算，驗(yàn)證是否滿足曲線擬合精度，在不滿足擬合精度的區(qū)間段細(xì)化增值，并插入新節(jié)點(diǎn)，最終輸出擬合精度合格的螺桿截面曲線，如圖2所示。

由圖2可以看出：最終擬合的曲線幾乎通過(guò)原數(shù)據(jù)點(diǎn)，并逼近原數(shù)據(jù)點(diǎn)所反映的曲線輪廓，可以判斷出其滿足擬合精度的要求，確定為最終擬合曲線。

圖1 從動(dòng)螺桿在單周期內(nèi)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率及均值分布

圖2 螺桿截面數(shù)據(jù)擬合曲線

2 刀具運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃研究

刀具軌跡規(guī)劃的兩大重要參數(shù)為行距和步長(zhǎng)。行距的大小決定工件的加工效率，對(duì)于螺桿而言，其螺旋曲面有凹凸型，因此需要分別對(duì)兩種型面進(jìn)行行距的計(jì)算。根據(jù)幾何關(guān)系可得凹面行距L凹與凸面行距L凸表達(dá)式分別為：

(2)

(3)

其中：Rn為曲面曲率半徑；h為殘留高度；r為刀具半徑；kn為局部曲率。

圖3為刀具切削曲面位姿示意圖。其中，φ、β、θ是以刀觸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的瞬時(shí)坐標(biāo)系OM-XMYMZM與刀具坐標(biāo)系O-XYZ的三軸夾角。

根據(jù)等殘留高度法，在已知初始加工軌跡的前提下，結(jié)合行距的要求依次求解其余刀具軌跡。刀具和螺桿在任意刀位點(diǎn)處的曲率方程為：

(4)

其中：KMn為刀具走刀向法向曲率；Kmax、Kmin分別為曲面與刀尖圓弧接觸區(qū)域的最大、最小曲率；R為刀尖圓弧半徑；ω刀傾為刀軸傾角，即刀軸與Y軸的夾角。

圖3 刀具切削曲面位姿示意圖

根據(jù)式(4)可求解出刀具行距的極值和盤(pán)銑刀有效切削半徑。

對(duì)于復(fù)雜曲面而言，在其切削加工過(guò)程中，通常利用微小的直線段來(lái)逼近需要加工的表面[6]。若刀具為盤(pán)銑刀，由于刀盤(pán)回轉(zhuǎn)直徑相對(duì)所需加工的零件較大，因此刀軸直徑微小的變動(dòng)即會(huì)引起刀具有效切削半徑的改變。為實(shí)現(xiàn)加工準(zhǔn)確，給出刀軸傾角的計(jì)算公式：

(5)

其中：λ為誤差參數(shù)；kM為曲面曲率；kD為刀尖圓弧曲率;d為曲面與刀具之間的距離。

刀觸點(diǎn)參數(shù)方程為：

(6)

根據(jù)步長(zhǎng)得到離散點(diǎn)后，再根據(jù)式(2)或式(3)計(jì)算下一條軌跡刀位點(diǎn)，在符合加工范圍的前提下計(jì)算行距增量，并確定刀具軌跡上刀位點(diǎn)坐標(biāo)，最終輸出刀位點(diǎn)軌跡。

3 仿真分析

本文選用刀盤(pán)直徑為290 mm、刀尖角度為35°、刀尖圓弧半徑為1.2 mm的盤(pán)銑刀加工螺桿。設(shè)定銑削方式為往復(fù)式，主軸轉(zhuǎn)速為170 r/min，行距為0.8 mm，殘留高度為0.2 mm。模擬盤(pán)銑刀從進(jìn)刀至退刀的全過(guò)程，如圖4所示。為進(jìn)一步分析切削工程中是否存在過(guò)切或欠切現(xiàn)象，利用三維仿真軟件對(duì)切削曲面進(jìn)行余料測(cè)量，仿真過(guò)程及結(jié)果分別如圖5、圖6所示。由圖6可以看到，切削效果良好，可以達(dá)到切削精度要求。

圖4 刀具路徑仿真 圖5 刀具切削仿真

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先針對(duì)三螺桿泵從動(dòng)桿截面型線進(jìn)行擬合，并由此獲得從動(dòng)桿截面模型。在此基礎(chǔ)上，對(duì)盤(pán)銑刀加工從動(dòng)桿的走刀行距和刀軸傾角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后通過(guò)盤(pán)銑刀加工路徑的仿真驗(yàn)證，證明了本文所采

用的螺桿截面曲線擬合及刀具軌跡規(guī)劃方法的可行性。

圖6 刀具切削仿真結(jié)果